Czy nad moją głową jest gwiazda?

Powiedzmy, że stoję prosto i rysuję linię prostą od rdzenia przez czubek głowy (prostopadle do ziemi). Jakie jest prawdopodobieństwo, że linia ta przecina się z gwiazdą?

EDYCJA: Nie próbuję wykluczyć żadnych gwiazd. Powinno to obejmować gwiazdy, które zaobserwowaliśmy, i gwiazdy, których jeszcze nie zaobserwowaliśmy, ale które można przewidzieć na podstawie innych rzeczy, które ustaliliśmy (takich jak ogólna gęstość gwiazd we wszechświecie). Powinien także obejmować wszystkie gwiazdy bez względu na limit jasności gołym okiem.

Podsumowanie

Istnieje szansa 1 na 500 miliardów, że stoisz pod gwiazdą poza Drogą Mleczną, szansa 1 na 3,3 miliarda, że ​​stoisz pod gwiazdą Drogi Mlecznej, i szansa 1 na 184 tysięcy, że stoisz pod Słońcem, w prawo teraz.

Duży, gruby, śmierdzący, Ostrzeżenie! Starałem się, aby matematyka była prosta, ale to wszystko, co właśnie wymyśliłem. Nie udzielam żadnych gwarancji, że jest całkowicie dokładny, ale liczby wydają się pozytywnie sprawdzone pod względem zdrowia psychicznego, więc myślę, że jesteśmy dobrzy.

_{Zastrzegamy pierwszy : Liczby gwiazd innych niż Słońce oparte są na danych z dużą niepewnością, takich jak liczba gwiazd we wszechświecie i średni rozmiar gwiazdy. Powyższe liczby mogą być z łatwością pomniejszone o współczynnik 10 w obu kierunkach i mają jedynie na celu przybliżenie, jak pusta jest przestrzeń.}

_{Zastrzegaj drugi : liczby dla Słońca i Drogi Mlecznej oparte są na założeniu, że stoisz (lub unosisz się) w losowym punkcie na Ziemi. Nikt poza tropikami nigdy nie będzie miał Słońca nad głową. Ludzie na półkuli północnej częściej mają gwiazdy Drogi Mlecznej nad głową, przy czym największe szanse to ludzie w pobliżu 36,8 ° N, ponieważ na tej szerokości geograficznej prosto przez centrum galaktyki przechodzi raz dziennie. ²⁶}

_{Uwaga : Możesz w większości zignorować wszystko w tej odpowiedzi i po prostu spojrzeć na stały kąt Słońca, aby uzyskać ten sam wynik. Wszystkie pozostałe gwiazdy są naprawdę daleko i bardzo rozproszone. Różnica w podanym kącie bryłowym wynosi pięć tysięcznych procenta więcej, gdy dodamy resztę wszechświata do Słońca.}

tło

Spróbujmy uzyskać nieco realistyczną, twardą liczbę. Aby to zrobić, potrzebujemy pewnych założeń.

Jak wskazano w odpowiedzi Michaela Walsby'ego ¹ , jeśli wszechświat jest nieskończony (i jednorodny ² ), istnieje tylko nieskończenie mała szansa, że nie będzie gwiazdy nad głową, co normalna matematyka traktuje jako dokładnie zerową szansę. Załóżmy więc, że wszechświat jest skończony.

Domniemania

• W szczególności załóżmy, że wszechświat składa się tylko z obserwowalnego wszechświata. (Więcej informacji na temat ekspansji wszechświata ³ ).
• Ponadto załóżmy, że zawartość obserwowalnego wszechświata jest mierzona w ich bieżących (zakładanych) pozycjach, a nie w pozycji, w jakiej się wydają. (Jeśli zobaczymy światło gwiazdy z 400 milionów lat po rozpoczęciu wszechświata, zmierzymy ją jako oddaloną o około 13,5 miliarda lat świetlnych, ale obliczamy, że z powodu ekspansji jest ona prawdopodobnie bliższa 45 miliardów lat świetlnych.)
• Przyjmiemy liczbę gwiazd we obserwowalnym wszechświecie jako . 2013 oszacowanie ⁴ było , A 2014 oszacowanie ⁵ było , a 2017 oszacowanie ⁶ było , z każdego artykułu spodziewa oszacowanie zwiększyć, ponieważ mamy lepsze teleskopy w czasie. Więc weźmiemy najwyższą wartość i wykorzystamy ją.$10^{24}$ 10 21 10 23 10 24$10^{21}$$10^{23}$$10^{24}$
• Weźmiemy wielkości obserwowalnego świata ⁷ się , dając powierzchnię ⁸ o ⁹ i tom ¹⁰ od ¹¹ .$8.8\cdot10^{26} \text{m (diameter)}$2,433 ⋅ 10 54 m 2 3,568 ⋅ 10 80 m 3$2.433\cdot10^{54} \text{m}^2$ $3.568\cdot10^{80} \text{m}^3$
• Przyjmiemy, że średni rozmiar gwiazdy jest wielkością Słońca, ¹² . (Nie mogę znaleźć żadnych źródeł średniej wielkości gwiazd, tylko to, że Słońce jest gwiazdą średnią).$1.4\cdot10^{9}\text{m (diameter)}$

Model

Odtąd będziemy oszukiwać. Realistycznie powinniśmy modelować każdą galaktykę osobno. Ale zamierzamy udawać, że cały wszechświat jest idealnie jednolity (jest to wystarczające, gdy oddalamy się od Ziemi w wielkim schemacie kosmosu). Co więcej, zaczniemy liczyć na tyle daleko, aby całkowicie zignorować Drogę Mleczną i Słońce, a następnie dodać je później z różnymi obliczeniami.

Biorąc pod uwagę powyższe domniemania, możemy łatwo obliczyć gęstość gwiazdową obserwowalnego wszechświata, tak aby był ¹³ .$\delta = \frac{10^{24}\text{stars}}{3.568\cdot10^{80} m^3} = 2.803\cdot10^{-57} \frac{\text{stars}}{\text{m}^3}$

Następnie musimy obliczyć kąt bryłowy ^{14 w} oparciu o gwiazdę. Kąt bryłowy kuli podaje ¹⁵ , gdzie to kąt bryłowy w steradianach ¹⁶ (sr), to odległość od kuli, a to promień kuli. Użycie jako średnicy, która konwertuje na . Biorąc pod uwagę średnią średnicę zakładaną powyżej ( ), daje to średni kąt bryłowy$\Omega=2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d^2-r^2}}{d}\right)\text{ sr}$ ΩdrDΩ=2π(1- √$\Omega$$d$$r$$D$$\Omega=2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d^2-\left(\frac{D}{2}\right)^2}}{d}\right)\text{ sr}$$1.4\cdot10^{9}\text{m}$$\Omega=2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d^2-4.9\cdot10^{17}\text{m}^2}}{d}\right)\text{ sr}$ ¹⁷ .

W tym momencie moglibyśmy ustawić właściwą całkę, ale mój rachunek jest raczej zardzewiały i na początek niezbyt ostry. Przybliżę odpowiedź za pomocą serii koncentrycznych powłok, z których każda ma grubość (około miliona lat świetlnych). Odłożymy naszą pierwszą powłokę , a następnie wyruszymy stamtąd.$10^{22}\text{m}$$10^{22}\text{m}$

Obliczymy całkowity kąt bryły każdej skorupy, a następnie dodamy wszystkie skorupy razem, aby uzyskać kąt bryły objęty przez cały obserwowalny wszechświat.

Ostatnim problemem do rozwiązania jest nakładanie się. Niektóre gwiazdy w dalszych powłokach zachodzą na gwiazdy w pobliskich powłokach, co powoduje, że przeceniamy całkowity zasięg. Obliczymy zatem prawdopodobieństwo nakładania się danej gwiazdy i stamtąd zmodyfikujemy wynik.

Zignorujemy nakładanie się powłoki, modelując tak, jakby każda gwiazda w skorupie znajdowała się w stałej odległości, równomiernie rozmieszczonej w skorupie.

Prawdopodobieństwo nakładania się

Aby dana gwiazda zachodziła na gwiazdy bliższe, musi znajdować się w pozycji już pokrytej przez gwiazdy bliższe. Dla naszych celów będziemy traktować nakładanie się jako układ podwójny: albo gwiazda jest całkowicie zachodząca na siebie, albo wcale się nie nakłada.

Prawdopodobieństwo będzie podane przez ilość kąta bryłowego już uwzględnionego przez poprzednie pociski podzieloną przez całkowity kąt bryłowy na niebie ( ).$4\pi\text{ sr}$

Nazwijmy prawdopodobieństwo, że dana gwiazda, , zachodzi na siebie , kąt bryłowy objęty przez tę gwiazdę , a liczba gwiazd . Ilość niezakładającego się kąta bryłowego objętego przez daną powłokę, , wynosi wtedy . Ponieważ powiedzieliśmy, że gwiazdy w powłoce nie nakładają się na siebie, jest takie samo dla wszystkich w danej powłoce, co pozwala nam uprościć powyższe równanie do , gdzie$i$$P_i$$\Omega_i$$n$$k$$\Omega_{kT}=(1-P_1)\Omega_1+(1-P_2)\Omega_2+\ldots+(1-P_n)\Omega_n\frac{\text{ sr}}{star}$$P_i$$i$$\Omega_{kT}=(1-P_k)(\Omega_1+\Omega_2+\ldots+\Omega_n)\frac{\text{ sr}}{star}$$P_k$to prawdopodobieństwo nakładania się powłoki . Ponieważ traktujemy wszystkie gwiazdy jako mające ten sam, średni rozmiar, upraszcza to jeszcze bardziej do , gdzie to kąt bryły gwiazdy w powłoce .$k$$\Omega_{kT}=(1-P_k)\Omega_k n\frac{\text{ sr}}{star}$$\Omega_k$$k$

Obliczanie kąta bryłowego

Liczba gwiazd w skorupie jest podana przez objętość powłoki pomnożoną przez gęstość gwiazdową tej powłoki. W przypadku skorup odległych możemy traktować objętość skorupy jako jej pole powierzchni razy jej grubość. , gdzie to odległość od skorupy, a to jej grubość. Używając jako gęstości gwiazdowej, liczba gwiazd jest po prostu .$V_\text{shell}=4\pi d^2 t$$d$$t$$\delta$$n=\delta V_\text{shell}=\delta 4\pi d^2 t$

Stąd możemy użyć obliczenia kąta bryłowego skorupy (z prawdopodobieństwa nakładania się powyżej), aby uzyskać .$\Omega_{kT}=(1-P_k)\Omega_k \delta 4\pi d^2 t\frac{\text{ sr}}{star}$

Zauważ, że jest podane jako częściowa suma kąta bryłowego dla wszystkich poprzednich powłok podzielona przez całkowity kąt bryłowy. A podaje (z modelu powyżej).$P_k$$\Omega_k$$\Omega_k=2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d_k^2-4.9\cdot10^{17}\text{m}^2}}{d_k}\right)\frac{\text{ sr}}{star}$

To daje nam . Biorąc pod uwagę, że każda powłoka znajduje się w odległości , możemy zastąpić przez . Podobnie, można zastąpić . I już obliczyliśmy (z modelu powyżej).$\Omega_{kT}=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d_k^2-4.9\cdot10^{17}\text{m}^2}}{d_k}\right) \delta 4\pi d^2 t\text{ sr}$$10^{22}\text{m}$$d_k$$k 10^{22}\text{m}$$t$$10^{22}\text{m}$$\delta=2.803\cdot10^{-57} \frac{\text{stars}}{\text{m}^3}$

To daje nam
$\Omega_{kT}=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)2\pi\left(1-\frac{\sqrt{(k 10^{22}\text{m})^2-4.9\cdot10^{17}\text{m}^2}}{k 10^{22}\text{m}}\right) 2.803\cdot10^{-57}\frac{\text{stars}}{\text{m}^3} 4\pi (k 10^{22}\text{m})^2 10^{22}\text{m}\frac{\text{ sr}}{star}$

$=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)\left(1-\frac{\sqrt{k^2 10^{44}-4.9\cdot10^{17}}}{k 10^{22}}\right) 2.803\cdot10^{-57} 8\pi^2 k^2 10^{66}\text{ sr}$

$=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)\,2.213\cdot 10^{11}\,k^2\left(1-\frac{\sqrt{k^2 10^{44}-4.9\cdot10^{17}}}{k 10^{22}}\right)\text{ sr}$

Stąd możemy po prostu podłączyć liczby do programu obliczeniowego.

$\Omega_{T}=\sum_{k=1}^{k_\text{max}} \Omega_{kT}$

Gdzie to tylko promień obserwowalnego wszechświata podzielony przez grubość danej powłoki. Zatem$k_\text{max}$$k_\text{max}$$=\frac{4.4\cdot 10^{26} \text{m}}{10^{22} \text{m}}$$=4.4\cdot 10^4$$=44000$

$\Omega_{T}=\sum_{k=1}^{44000} \Omega_{kT}$

Wyniki

Ze względu na dużą liczbę trudno jest po prostu uruchomić to w programie. Zacząłem pisać niestandardowy program C ++ przy użyciu biblioteki ttmath ¹⁸ dla dużych liczb. Wynik to lub całego nieba. Z drugiej strony istnieje około 1 na 500 miliardów szans, że staniesz teraz pod gwiazdą.$2.386\cdot 10^{-11}\text{ sr}$$1.898\cdot 10^{-12}$

Zauważ, że zignorowaliśmy w tym celu Drogę Mleczną i Słońce.

_{Program C ++ można znaleźć na PasteBin ²⁵ . Będziesz musiał poprawnie działać. Dodałem kilka instrukcji na początku kodu C ++, aby zacząć, jeśli chcesz, aby działał. Nie jest elegancki ani nic, wystarczy, aby funkcjonować.}

Słońce

WolframAlpha poinformował mnie, że Słońce ma stały kąt około , czyli około 2,8 miliona razy więcej niż wszystkie gwiazdy wszechświata razem wzięte. Powyższa formuła kąta bryłowego daje tę samą odpowiedź ^18, jeśli podamy odległość Słońca wynoszącą 150 gigametrów i promień 0,7 gigametru.$6.8\cdot 10^{-5}\text{ sr}$

Droga Mleczna

Możemy uzyskać przybliżenie Drogi Mlecznej, biorąc jej rozmiar i gęstość i wykonując te same obliczenia, co powyżej, z wyjątkiem mniejszej skali. Jednak galaktyka jest bardzo płaska, więc szanse w dużym stopniu zależą od tego, czy staniesz w płaszczyźnie galaktycznej, czy nie. Poza tym jesteśmy z boku, więc w kierunku centrum galaktyki jest znacznie więcej gwiazd niż w oddali.

Jeśli przybliżymy galaktykę jako walec o promieniu (około 52000 lat świetlnych) i wysokości (około 2 lata świetlne), otrzymujemy objętość ²⁰ .$5\cdot 10^{20}\text{ m}$$2\cdot 10^{16}\text{ m}$$1.571\cdot 10^{58}\text{ m}^3$

_{Obecne oszacowania promienia galaktyki są bliższe 100 000 lat świetlnych ^{21 22} , ale przypuszczam, że ogromna większość gwiazd jest znacznie bliżej.}

Szacuje się, że w Drodze Mlecznej znajduje się od 100 do 400 miliardów gwiazd ²¹ . Wybierzmy 200 miliardów na nasze cele. To stawia gęstość Drogi Mlecznej na ²² , czyli około 4,5 miliarda razy gęstsze niż cały wszechświat.$\delta = \frac{200\cdot10^{9}\text{stars}}{1.571\cdot 10^{58}\text{ m}^3} = 1.273\cdot10^{-47} \frac{\text{stars}}{\text{m}^3}$

Tym razem weźmiemy pociski o grubości (około 10 lat świetlnych) i stamtąd wyjdziemy. Ale musimy ponownie uporządkować matematykę w sferyczną formę, więc założymy, że galaktyka ma taką samą objętość, ale jest kulą. Daje to promień ²⁴ lub 155,4 pocisków. Zaokrąglimy do 155 pocisków.$10^{17}\text{ m}$$1.554\cdot 10^{19}\text{ m}$

$\Omega_{T}=\sum_{k=1}^{155} \Omega_{kT}$

Korzystając z powyższej formuły ( Obliczanie kąta bryłowego ), możemy zacząć zastępować liczby.

$\Omega_{kT}=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d_k^2-4.9\cdot10^{17}\text{m}^2}}{d_k}\right) \delta 4\pi d^2 t\frac{\text{sr}}{\text{star}}$

$=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)2\pi\left(1-\frac{\sqrt{(k\cdot 10^{17}\text{ m})^2-4.9\cdot10^{17}\text{ m}^2}}{k\cdot 10^{17}\text{ m}}\right) 1.273\cdot10^{-47} \frac{\text{stars}}{\text{m}^3} 4\pi (k\cdot 10^{17}\text{ m})^2 10^{17}\text{ m}\frac{\text{sr}}{\text{star}}$

$=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)\left(1-\frac{\sqrt{k^2\cdot 10^{34}\text{ m}^2-4.9\cdot10^{17}\text{ m}^2}}{k 10^{17}\text{ m}}\right) 1.273\cdot 10^{-47} \frac{\text{stars}}{\text{m}^3} 8\pi^2 k^2 10^{51}\text{ m}^3\frac{\text{sr}}{\text{star}}$

$=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)\cdot\,1.005\cdot 10^6\,k^2\,\left(1-\frac{\sqrt{k^2\cdot 10^{34}-4.9\cdot10^{17}}}{k 10^{17}}\right)\text{ sr}$

Podłączenie tego do programu daje , co stanowi całego nieba. Szanse, że stoisz pod gwiazdą w Drodze Mlecznej, wynoszą około 1 na 3,3 miliarda.$3.816\cdot 10^{-9}\text{ sr}$$3.037\cdot 10^{-10}$

Sumy z pełnym kątem

Kąt bryłowy wynosi:

• Sun,$6.8\cdot 10^{-5}\text{ sr}$
• Droga Mleczna,$3.816\cdot 10^{-9}\text{ sr}$
• Wszechświat,$2.386\cdot 10^{-11}\text{ sr}$
• Łącznie, (dodatkowe cyfry są w zasadzie bez znaczenia, dodając około pięciu tysięcznych procent do stałego kąta Słońca) $6.800384\cdot 10^{-5}\text{ sr}$
• Droga Mleczna plus Wszechświat, (około 0,6% więcej niż tylko Droga Mleczna)$3.840\cdot 10^{-9}\text{ sr}$

Bibliografia

_{^{1 Odpowiedź} Michaela Walsby'ego na to pytanie , czy jest gwiazda nad moją głową? . https://astronomy.stackexchange.com/a/33294/10678
² Artykuł w Wikipedii , zasada kosmologiczna . https://en.wikipedia.org/wiki/Cosmological_principle
³ Artykuł w Wikipedii , Ekspansja wszechświata . https://en.wikipedia.org/wiki/Expansion_of_the_universe
⁴ Zadanie UCSB ScienceLine , O ilu gwiazdach jest kosmos? , od 2013 roku. https://scienceline.ucsb.edu/getkey.php?key=3775
⁵ AArtykuł Sky and Telescope , Ile gwiazd jest we wszechświecie? , od 2014 roku. https://www.skyandtelescope.com/astronomy-resources/how-many-stars-are-there/
⁶ Artykuł Space.com , Ile gwiazd jest we wszechświecie? , od 2017 r. https://www.space.com/26078-how-many-stars-are-there.html
⁷ Artykuł w Wikipedii , Obserwowalny wszechświat . https://en.wikipedia.org/wiki/Observable_universe
⁸ Artykuł w Wikipedii , Kula , sekcja Tom zamknięty . https://en.wikipedia.org/wiki/Sphere#Enclosed_volume
⁹ WolframAlpha obliczeniowej powierzchni kuli o średnicy 8,8 * 10 ^ 26 m . https://www.wolframalpha.com/input/?i=surface+area+of+a+sphere%2C+diameter+8.8*10%5E26+m
¹⁰ Artykuł w Wikipedii , Kula , sekcja Powierzchnia . https://en.wikipedia.org/wiki/Sphere#Surface_area
¹¹ WolframAlpha obliczeniowy objętości kuli o średnicy 8,8 * 10 ^ 26 m . https://www.wolframalpha.com/input/?i=volume+of+a+sphere%2C+diameter+8.8*10%5E26+m
¹² nineplanets.org artykuł, Słońce .https://nineplanets.org/sol.html
¹³ A Obliczenia WolframAlpha , (10 ^ 24 gwiazdki) / (3,568⋅10 ^ 80 m ^ 3) . https://www.wolframalpha.com/input/?i=%2810%5E24+stars%29+%2F+%283.568%E2%8B%8510%5E80+m%5E3%29
¹⁴ Artykuł w Wikipedii , Kąt bryłowy . https://en.wikipedia.org/wiki/Solid_angle
^{15 Odpowiedź} Harisha Chandry Rajpoot na pytanie geometry.se , Obliczanie kąta bryłowego dla kuli w przestrzeni . https://math.stackexchange.com/a/1264753/265963
¹⁶ Artykuł w Wikipedii , Steradian .https://en.wikipedia.org/wiki/Steradian
¹⁷ A Obliczenia WolframAlpha , 2 * pi * (1-sqrt (d ^ 2- (1,4 * 10 ^ 9 m / 2) ^ 2) / d) . https://www.wolframalpha.com/input/?i=2*pi*%281-sqrt%28d%5E2-%281.4*10%5E9+m%2F2%29%5E2%29%2Fd%29
¹⁸ Strona internetowa dla matematyki. https://www.ttmath.org/
¹⁹ A Obliczenie WolframAlpha , 2 * pi * (1 - sqrt (d ^ 2 - r ^ 2) / d), gdzie d = 150 miliardów, r = 0,7 miliarda . https://www.wolframalpha.com/input/?i=2*pi*%281+-+sqrt%28d%5E2+-+r%5E2%29%2Fd%29%2C+where+d+%3D+150 + miliard% 2C + r% 3D 0,7 + miliard
²⁰ A Obliczenia WolframAlpha , pi * (5 * 10 ^ 20 m) ^ 2 * (2 * 10 ^ 16 m) .https://www.wolframalpha.com/input/?i=pi+*+%285*10%5E20+m%29%5E2+*+%282*10%5E16+m%29
²¹ Artykuł w Wikipedii , Droga Mleczna . https://en.wikipedia.org/wiki/Milky_Way
²² Artykuł Space.com z 2018 roku, zajęłoby 200 000 lat z prędkością światła, aby przekroczyć Drogę Mleczną . https://www.space.com/41047-milky-way-galaxy-size-bigger-than-thought.html
²³ A Obliczenia WolframAlpha , (200 * 10 ^ 9 gwiazdek) / (1,571 * 10 ^ 58 m ^ 3 ) . https://www.wolframalpha.com/input/?i=(200*10^9+stars)+%2F+(1.571*10^58+m^3)
²⁴ A Obliczenia WolframAlpha ,rozwiąż dla r: (4/3) * pi * r ^ 3 = 1,571 * 10 ^ 58 m ^ 3 . https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+for+r%3A++%284%2F3%29*pi*r%5E3+%3D+1.571*10%5E58+m%5E3
²⁵ Mój program C ++ kod na PasteBin . https://pastebin.com/XZTzeRpG
²⁶ Fizyka Forum zakładać, orientacji Ziemi, Słońca i Układu Słonecznego w Drodze Mlecznej . W szczególności, rysunek 1 , pokazujący kąty 60,2 ° dla Słońca i 23,4 ° mniejsze niż dla Ziemi. https://www.physicsforums.com/threads/orientation-of-the-earth-sun-and-solar-system-in-the-milky-way.888643/}

Krótko mówiąc: nikt nie jest tego pewien, ale obecnie wygląda na to, że prawdopodobieństwo wynosi 1.

Dłużej: W naszym obecnym rozumieniu Wszechświat jest prawdopodobnie nieskończony w przestrzeni. Zależy to od ostatnich wyników satelity WMAP , które wykazały zerową krzywiznę Wszechświata poniżej dokładności pomiaru. Pozostałe dwie opcje to dodatnia krzywizna (w ten sposób żylibyśmy kulą 4D) lub ujemna:

Jeśli krzywizna ma dokładnie zero (ostatnia opcja na zdjęciu) lub jest ujemna, a Wszechświat nie ma żadnej egzotycznej topologii , jest nieskończony.

A nieskończony Wszechświat ma nieskończoną liczbę gwiazd, dlatego nie ma znaczenia, gdzie widzisz, gdzieś znajdziesz gwiazdę.

Jednak najprawdopodobniej nie masz opcji, aby ją zobaczyć - prawie na pewno znajduje się ona ponad horyzontem kosmologicznym , dlatego nie ma możliwości uzyskania z niej żadnych informacji lub interakcji z nimi w jakikolwiek sposób, z powodu ekspansji Wszechświata. Zauważ, że obecnie przyspieszająca ekspansja stale zmniejsza nawet liczbę gwiazd w horyzoncie kosmologicznym.

Bez powszechnej ekspansji całe niebo byłoby wypełnione gwiazdami i byłoby tak jasne niż Słońce ( paradokson Olbersa ).

Jeśli policzysz tylko gwiazdy obok kosmologicznego horyzontu, prawdopodobieństwo jest bardzo małe. Typowy rozmiar gwiazd jest rzędu 1 miliona km, a są one oddalone od siebie o kilka lat świetlnych ( km). Są razy bardziej od siebie oddalone niż ich średnica. I nawet te obliczenia nie liczą, że większość przestrzeni Wszechświata nie jest wypełniona żadną galaktyką - galaktyki są obiektami przypominającymi dyski około 20 razy dalej od siebie niż ich średnica. Dokładniejsze obliczenia można znaleźć w ładnej odpowiedzi Michaela .$\approx$$\approx 10^{13}$$\approx 10^7$

Czy „nad głową” oznacza nad środkiem głowy, czy nad jakąś częścią głowy? Jeśli przyjmiemy to drugie, zmienia to problem!

Nie chcę podsumować wszystkich wspaniałych prac Michaela powyżej, więc zrobię szybkie obliczenie z tyłu koperty, korzystając z jego liczb.

Obszar z ludzką głową, patrząc z góry (lub poniżej), umm, zobaczmy, średnią głowę szerokość od 6 do 7 cali, konwersja do nowoczesnych jednostek, ignorować faktu, że głowice nie są okrągłe - to około po drugiej, co sprawia, nieco poniżej na głowę.$17cm$$0.03m^2$

Powierzchnia Ziemi wydaje się wynosić około . Obszar ten odpowiada pełnej kulistej powierzchni w odległości jednego promienia Ziemi od centrum Ziemi.$500\cdot 10^{12} m^2$

Na podstawie tego możemy stwierdzić, że jedna głowa, widziana z centrum Ziemi, pokrywa około całego nieba.$6\cdot 10^{-17}$

Jeśli założymy, że te gwiazdek (może być ich więcej lub mniej) są równomiernie rozmieszczone (nie są), to istnieje ... dużo, dużo i wiele gwiazdek nad twoją głową w danym momencie! W rzeczywistości ponad milion.$10^{24}$

Prawdopodobnie może.

Istnieją co najmniej dwa sposoby odpowiedzi na pytanie. Jednym z nich jest pytanie, jakie były twoje współrzędne, kiedy pisałeś pytanie i dokładnie o której godzinie. Następnie musimy narysować linię w modelu, aby zobaczyć, co trafisz i czy którekolwiek z tych trafień są gwiazdami. Zakłada to pełną mapę, która jest problemem. Odpowiedź jest inna dla każdego na Ziemi i ciągle się zmienia. Staje się właściwym pytaniem, czy jesteśmy na statku kosmicznym. Biorąc pod uwagę ogrom przestrzeni, prawdopodobnie lepiej zapytać: „Jak daleko, aż coś trafimy”.

Druga odpowiedź dotyczy prawdopodobieństwa. Jak często gwiazda jest bezpośrednio nad głową? Zasugeruję jeden sposób na uzasadnienie tego. Wydaje się, że istnieje wiele czynników ograniczających. Wskażę też kilka z nich.

Najpierw kontrola jelit. Nasze Słońce jest przez cały czas bezpośrednio nad powierzchnią ziemi, zapewniając dobry obszar Ziemi. Słońce jest stosunkowo blisko, więc jego zasięg jest wyjątkowy. Wydaje się prawdopodobne, że biliony miliardów innych gwiazd pokryte są resztą planety.

Doskonałym szczegółem tego pytania jest to, czy wyobrażona linia przecina się z gwiazdą. Rozumiem, że oznacza to, czy linia abstrakcyjna przechodzi przez dowolną część masy gwiazdy, nie tylko jej środek masy, czy inne centra.

Szanse są takie, że nie jesteśmy w centrum Wszechświata, jeśli „centrum Wszechświata” ma nawet jakieś znaczenie. Można argumentować (argumentuje się), że jesteśmy w centrum obserwowalnego wszechświata, zasadniczo dlatego, że patrzymy we wszystkich kierunkach z tym samym ograniczonym sprzętem. Możemy więc wyobrazić sobie gigantyczną sferę obserwowalności, aby dać temu problemowi trochę przestrzeni. Wyobraź sobie siebie jak ziarnko piasku unoszące się na środku dużego balonu. W rzeczywistości ziarno piasku jest o wiele za duże w stosunku do prawdziwego balonu, ale wyobraź sobie, że jesteśmy w martwym środku balonu na niemożliwie małym ziarnie.

Dla wymiarów balonu rozważ kulę o promieniu 4, gdzie jednostki wynoszą metrów. Powierzchnia tej kuli będzie wynosić lub jednostek kwadratowych. Jeśli wolimy nie rozmawiać z pomieszanym „ ”, jest to około 200 z tych dużych kwadratowych jednostek.$1.1\times 10^{26}$$4\pi r^2$$64\pi$$\pi$

Wyobraź sobie, że jest to obszar, na który patrzymy od środka balonu, siedząc na naszym mikroskopijnym i niemożliwie koncentrycznym ziarnie piasku. Widzimy tylko połowę obszaru naraz (nawet mniej, naprawdę), ale kręcimy się wokół. Dzięki temu możemy obrysowywać całą wewnętrzną powierzchnię balonu w ciągu dnia.

Tak więc, patrząc na tę specyfikę piasku, patrzymy na tę część balonu, którą widzimy. Jeden z nas ma wskaźnik laserowy, za pomocą którego możemy wskazywać różne części balonu i mówić o nich. W rzeczywistości fajnie byłoby wyobrazić sobie wskaźnik laserowy z rodzajem trybu „świetlnego pióra”, za pomocą którego możemy rysować napisy na powierzchni balonu. Umieszczenie twojego imienia na nocnym niebie byłoby niezłym pokazem. Na potrzeby ilustracji należy sobie wyobrazić te rekwizyty o właściwościach metafizycznych. Lekkie pióro nie interesuje nas tak naprawdę. Wyobraź sobie, że rysujemy linie.

Teraz wyobraź sobie, że próbowaliśmy umieścić w balonie, w skali, wszystkie rzeczy z obserwowalnego wszechświata lub, ze względu na pytanie, tylko gwiazdy. Umieścilibyśmy wszystko w balonie dokładnie tam, gdzie byłoby to względne w stosunku do naszego punktu obserwacyjnego.

Teraz możemy przejść pojedynczo i rozważyć każdą gwiazdę indywidualnie. Za każdym razem, gdy badamy gwiazdę, możemy narysować od niej linię za pomocą naszego wskaźnika laserowego. Za pomocą pióra świetlnego możemy prześledzić kontur gwiazdy za pomocą wskaźnika laserowego, wpisując mały okrąg na powierzchni balonu za nim. Za każdym razem, gdy robiliśmy to z określoną gwiazdą, dodawaliśmy okrąg na balonie, aby budować płaską mapę gwiazd. Możemy przetwarzać każdą gwiazdę, jedna po drugiej, i eliminować każdą gwiazdę, aż balon będzie ponownie pusty. To tylko my, patrząc wstecz na mapę, którą stworzyliśmy.

Powiedzmy teraz, że balon był pierwotnie czerwony, a nasz lekki długopis rysował na zielono. Powiedzmy też, że narysowane przez nas zielone kółka były kolorowe, wypełnione zielonym. Po przetworzeniu wszystkich gwiazd mamy zielone kropki na całym balonie. Rozmiar każdej zielonej kropki byłby najpierw funkcją wielkości gwiazdy. Większe gwiazdy rysowałyby na mapie stosunkowo większe koła.

Ta analogia jest niedoskonała pod wieloma względami. Pod tym względem jest to niedoskonałe. Jeśli wyobrażasz sobie, że śledzimy gwiazdy ruchem okrężnym w dłoni, co jest naturalne, zniekształcamy mapę. Kąt lekkiego pióra w dłoni podczas wykonywania ruchu kołowego byłby rzutowany na dużą odległość. Ta mapa byłaby interesująca z innych powodów, ale staramy się zidentyfikować tylko obszary, które są z nami w linii, gwiazdy, pod którymi jesteśmy „pod”. Chcemy, aby rzeczywisty rozmiar gwiazdy znajdował się na mapie, a nie rozmiar w stosunku do odległości między nami a nią.

Aby pozostać prawdą, musimy sobie wyobrazić, że na naszej mapie jest po prostu okrąg, którego środek jest w linii z nami i gwiazdą, którą reprezentuje. Rozmiar koła gwiazdy jest jego rzeczywistym rozmiarem. Nasze słońce ma średnicę około 1,39 miliona kilometrów, więc narysowany przez niego okrąg miałby tę średnicę na naszej mapie. Jest to obszar punktów, które niezależnie od odległości poprowadzą linię między nimi a nami, aby kandydat na gwiazdę znajdował się „nad głową”.

Odpowiedzią na pytanie, czy w danym momencie jest co najmniej jedna gwiazda, jest, w pewnym sensie, proporcja czerwieni i zieleni na mapie. Jaka część całej mapy jest zielona? Z grubsza prawdopodobne jest, że będziemy w każdej chwili w linii z gwiazdą.

Jeśli chcemy kontynuować tę linię prawdopodobieństwa, nadszedłby czas, aby uzyskać średni rozmiar każdej obserwowalnej gwiazdy, obliczyć średnią średnicę, pomnożyć ją przez liczbę gwiazd i wyznaczyć szacowany obszar. Będzie to bardzo szalone, ponieważ spłaszczyliśmy trzy lub cztery wymiary na dwa i nie uwzględnialiśmy nakładania się. Niestety nakładanie się narzutów nie wydaje się spójne. Zauważ, że patrząc w nocne niebo, widzimy Drogę Mleczną, której jesteśmy częścią.

Ponadto, aby uzyskać te średnie, musiałbyś naprawdę dokładnie zindeksować obserwowalny Wszechświat. Wiele osób pracowało nad tym od dłuższego czasu, ale jest ono bardzo duże. Jeśli więc mamy wystarczającą ilość danych, aby uzyskać dość dobre średnie dla takich rzeczy jak rozmiar gwiazdy, równie dobrze możemy zapomnieć o średnich i stworzyć rzeczywistą mapę. W ten sposób zadbamy również o nakładanie się kręgów. Skoro już to robimy, całkowicie zapomnij o mapie. Po prostu poproś GPS w swoim telefonie, aby podał Twoją pozycję na świecie w modelu, który wyznaczy linię i sprawdzi wszystko nad tobą. To prawdziwy problem, od którego zaczęliśmy, biorąc po prostu pod uwagę, że bezkres kosmosu jest tak ogromnie duży, że obliczenia wymagane do sprawdzenia, co nad głową może mieć krótszy promień niż promień obserwowalnego wszechświata.

Czytałem też ostatnio, że wszechświat może być (są to domysły i argumenty) co najmniej 250 razy większy niż to, co możemy zaobserwować. Przeczytałem również, że ziemia jest płaska. Może wszechświat trwa nieskończenie długo. Rozumowanie na ten temat będzie miało podobne warunki brzegowe.

Najlepszym rozwiązaniem jest wprowadzenie swojej lokalizacji do modelu i ograniczenie modelu, aby uzyskać dość szybkie obliczenia. Zmień pytanie na: „Jaka jest najbliższa gwiazda na tej linii, biorąc pod uwagę granicę przestrzenną i obliczeniową?” Musisz zaakceptować, że gdzieś poza tym, co można obliczyć, nawet poza tym, co można zobaczyć, wciąż może być gwiazda .

Według Olbersa, o paradoksalnej sławie, jeśli wszechświat jest nieskończony, linia wzroku w dowolnym kierunku powinna ostatecznie dotrzeć do gwiazdy. Dlaczego więc nocne niebo było tak ciemne, skoro teoretycznie powinno być jasne jak dzień? Pomijając to szczególne pytanie, nie mamy dowodu na to, że wszechświat jest nieskończony, ale jest wystarczająco duży, aby linia w dowolnym kierunku wcześniej lub później dotarła na powierzchnię gwiazdy. To, czy linia będzie musiała przebyć tylko kilkadziesiąt lat świetlnych, aby dotrzeć do gwiazdy, czy wiele miliardów, zależy od tego, gdzie stoisz i w którym konkretnym momencie zdecydujesz się narysować linię. Jeśli zdarzyło Ci się być na równiku o właściwej porze roku i o właściwej porze dnia, linia może podróżować tylko nieco ponad osiem minut świetlnych, aby dotrzeć do gwiazdy. We wszechświecie, a nie na papierze,