Dlaczego odległość Ziemia-Księżyc nie jest taka sama dla każdego perygeum / apogeum?

Zastanawiam się, dlaczego odległość Ziemia-Księżyc nie jest taka sama dla każdego perygeum / apogeum. Czy orbita Księżyca nie jest stałą elipsą z Ziemią w jednym z ognisk? Jeśli tak, to czy odległość na perygeum / apogeum nie powinna być stałą wartością?

Czy orbita Księżyca nie jest stałą elipsą z Ziemią w jednym z ognisk?

Nie, nie jest. Nie dotyczy to nawet orbit planet wokół Słońca. Każda planeta zaburza orbity innych planet, powodując, że elipsy Keplera są w przybliżeniu poprawne, a nie dokładne. Orbita Księżyca jest silnie zaburzona przez Słońce na wiele sposobów. Orbita Księżyca odbiega od bycia stałą elipsą na wiele sposobów. Jednym z rezultatów tych zaburzeń słonecznych (oraz w znacznie mniejszym stopniu zaburzeń z Wenus i Jowisza, a jeszcze mniej z innych planet) jest to, że orbita Księżyca precesuje na wiele sposobów.

Jedną z takich precesji jest apsydalna precesja. Linia od Ziemi do punktu, w którym Księżyc osiąga perygeum, nie wskazuje stałej pozycji w przestrzeni. Zamiast tego precesje z okresem około 8,85 lat. To właśnie powoduje tak zwane supermoon, które występują, gdy orbita Księżyca znajduje się blisko perygeum, gdy Księżyc jest w pełni.

Inną taką precesją jest precesja węzłowa. Linia węzłów (gdzie Księżyc przecina z góry do dołu ekliptyki i odwrotnie), również ma precesje, ale z okresem około 18,6 lat. Zaćmienia otrzymujemy tylko wtedy, gdy Księżyc jest bardzo blisko węzła w syzygii (albo pełny Księżyc, co powoduje zaćmienie Księżyca, albo nowy Księżyc, co powoduje zaćmienie Słońca).

Gdyby Księżyc i Ziemia były daleko od jakichkolwiek innych ciał grawitacyjnych, wówczas orbita byłaby nie tylko bardzo spójna, ale także bardzo zbliżona do kołowej. Orbity takie jak Ziemia-Księżyc, gdzie wzajemna siła pływowa jest silna, a energia obrotowa ciała wewnętrznego jest przenoszona na energię orbitalną mniejszego ciała, orbity te mają tendencję do kręcenia się w czasie.

Matematyka leżąca u podstaw grawitacji 3-ciał jest dość intensywna i wyższa niż moja płaca, ale mogę to wyjaśnić wizualnie. Najłatwiej to zobrazować za pomocą sił pływowych.

Uważamy, że siły pływowe wpływają tylko na ciało stałe, takie jak fale na Ziemi lub na stałe wybrzuszenie pływowe na Księżycu, ale wszystkie siły pływowe są odmianą przyciągania grawitacyjnego na różne odległości i ponieważ Ziemia i Księżyc są związane z każdym inne grawitacja oznacza, że ​​słoneczna siła pływowa może być przyłożona do układu Ziemia-Księżyc.

Siła grawitacji ze Słońca jest silniejsza po stronie planety bliżej Słońca, a najsłabsza po przeciwnej stronie. Dzieje się tak również w stosunku do Ziemi i Księżyca, gdy jedno lub drugie znajduje się bliżej Słońca.

Kiedy orbita Ziemia / Księżyc znajduje się w pełni lub nowiu, siła pływowa wywierana przez słońce jest silniejsza na bliższym ciele, słabsza na dalszym ciele, a orbita skutecznie rozciąga się w kierunku strzałek na powyższym obrazku.

Kiedy orbita Ziemia-Księżyc znajduje się w ostatniej ćwiartce lub pierwszej ćwiartce, siła pływowa wywierana przez Słońce jest w kierunku prostopadłym do wewnątrz, a orbita skutecznie ulega zgnieceniu.

Co ciekawe, siły działają również na ćwierć punktu i wszędzie pomiędzy nimi. Kiedy Księżyc zbliża się do półksiężyca lub woskowatej garbaty, Słońce wywiera większą siłę na bliższy obiekt i mniejszą siłę na dalszy obiekt, nie powodując tak dużej zmiany kształtu, ale siła skutecznie przyspiesza obiekty względem siebie, tworząc poruszają się nieco szybciej. Przeciwnie dzieje się w przypadku zanikającego garbnika i woskowatego półksiężyca: Słońce skutecznie spowalnia względną prędkość między Ziemią a Księżycem.

Podsumowując, Słońce nieustannie ciągnie lub pcha Księżyc względem Ziemi, więc istnieje ciągłe rozciąganie i zgniatanie oraz przyspieszanie i zwalnianie orbity Księżyca wokół Ziemi (lub wokół waszego barycentrum dla was, purystów). Można by pomyśleć, że może to uwolnić Księżyc od Ziemi, i byłoby tak, gdyby Księżyc był o 30% -50% dalej niż obecnie. To pływowe ciągnięcie i rozciąganie określa niejasną granicę, która jest stabilnym regionem kuli Hill .

Ten efekt pływów słonecznych jest cykliczny i działa za każdym razem, gdy Księżyc zakończy pełny cykl księżyca, który jest orbitą synodową około 29,5 dnia.

Księżycowa „orbita Keplera” to gwiezdna orbita trwająca około 27,3 dni.

Jak to wygląda?

Ogólnym efektem (odnotowanym w drugiej odpowiedzi) jest niezwykle wysoka księżycowa precesja apsydalna trwająca zaledwie 8,85 lat lub nieco ponad 118 gwiazdowych (lub Keplera) orbit.

Oznacza to, że apogeum i perygeum Księżyca przesuwają się o około 3 stopnie dla każdej orbity księżycowej. Księżyc nie może osiąść na stałej orbicie z powodu działającego na nią grawitacji słonecznej, a siła pływowa na układzie Ziemia-Księżyc jest znacząca.

Dla porównania Ziemia ma apsydalną precesję , napędzaną głównie przez Jowisza i Saturna, trwającą około 112 000 lat lub 112 000 orbit. To około tysiąc razy mniejsza zmiana kątowa na orbitę. Jako pasek boczny obiekty wewnątrz orbity, na przykład Wenus, nie mają dużego wpływu na orbitę Ziemi. To planety zewnętrzne kierują przede wszystkim apsydalną precesją. Na przykład Neptun nie ma żadnych planet zewnętrznych, a jeśli planeta 9 zostanie znaleziona, będzie zbyt daleko, więc orbita Neptuna jest prawie okrągła.

Kolejne odległości apogeum / perygeum Księżyca od Ziemi rzeczywiście ulegają zmianom: zmiany te są prawie cykliczne, a ich okres główny wynosi blisko 205,89 dni (prawie 7 miesięcy synodycznych). Głównym czynnikiem przyczyniającym się do zmian odległości perygeum jest okresowe zaburzenie słoneczne znane jako ewekcja . Następnie, w malejącej kolejności maksymalnego rozmiaru, drugi wkład jest spowodowany zaburzeniem znanym jako zmiana .

Pozostała część odpowiedzi podsumowuje wyjaśnienia, w jaki sposób ewolucja (wraz z odmianą) wpływa na odległości perygeum: oferowany jest również numeryczny przykład ekstremalnych danych dotyczących perygeum księżyca z Astronomicznego Almanachu („AA”) za 2011 r . : dane te wskazują, w jaki sposób połączenie tych dwóch efektów może odpowiadać za prawie cały zaobserwowany zasięg w odległościach perygeum księżycowego. Charakter i rozmiar tych dwóch efektów wskazują również cechy, dzięki którym rzeczywista orbita Księżyca różni się (znacznie) od prostej stałej elipsy Keplerowskiego.

Ewekcja: starsze podręczniki omawiały sposób, w jaki ewekcja powoduje zmiany odległości apogeum / perygeum - na przykład H Godfray (1859), Elementary Treatise on the Lunar Theory . Wyjaśnienie Godfray przebiega przez pokazanie praktycznej równoważności między dwiema formami, w których wektor długości i promienia księżyca i c. może być wyrażone:

(1) Pierwszą formą jest zwykle nowoczesna forma reprezentacji szeregów trygonometrycznych, która skutecznie zakłada stałą (średnią) mimośrodowość orbity Księżyca. Wśród wielu innych terminów znajduje się główny osobny termin ewolucji, w formie podanej po raz pierwszy przez Eulera, z argumentem często wyrażanym obecnie jako , gdzie jest średnim wydłużeniem Księżyca względem Słońca, a jest średnią Księżyca anomalia, tj. średnie wydłużenie Księżyca od aktualnej pozycji jego średniej perygeum.D $(2D-l)$$D$$l$

(2) Druga postać to starsza reprezentacja ruchów Księżyca, która zakłada cyklicznie zmienną mimośrodowość, a zatem także cyklicznie zmienną odległość perygeum, największe równanie i c.

Książka Godfraya dość dokładnie objaśnia wpływ na długość i równanie środka (str. 66, art. 70 wraz z poprzednimi pochodnymi), a następnie znacznie krótsze podsumowanie analogicznej demonstracji wpływu na wektor promienia (na pp .76-77, art. 85). (W drobnym szczególe: pokazano, że element eliptyczny najniższego rzędu i element ewekcyjny mogą być trygonometrycznie łączone i przestawiane, aby dać jako równoważne przybliżenie zmiennej elipsy, w której mimośrodowość zmienia się cyklicznie i orientacja kątowa apogeum / perygeum cyklicznie kalibruje, a także pokazuje jego dobrze znaną średnią całkowitą szybkość obrotu. Odpowiedni współczesny rozwój trygonometryczny wykazuje zasadniczo taką samą relację między dwiema formami dla szeregów długości geograficznych, aż do trzeciego rzędu -SA Wepster (2010) , s. 100–104 w swoim historycznym i matematycznym studium XVIII-wiecznej teorii i tabel księżycowych Tobiasa Mayera.)

Niezależnie od tego starszego rodzaju wyjaśnień, szczegóły w załączniku A poniżej pokazują, w odniesieniu do współczesnych danych, w jaki sposób główny termin ewolucji wzmacnia główny eliptyczny termin, gdy Słońce jest w linii z absydą Księżyca, i przeciwstawia się temu, gdy Słońce jest pod kątem 90 ° do tej linii.

Wariacja: następna wielkość po ewolucji, wariacja (w wektorze promienia) przybliża Księżyc bliżej Ziemi przy nowiu i pełni księżyca, i zabiera go dalej w ćwiartki księżyca. Efekt ten został pokazany jako wynik działania siły zakłócającej Słońce przez Newtona, w Principia Book 1 Prop.66 następstwach 2-5 oraz w Book 3 Props.26-29 ; wyniki później udoskonalone przez wielu autorów, zwłaszcza GW Hill, patrz zwłaszcza jego dane dla wektora promienia odwrotnego, np. na str. 143 w (1895) Astron J 15, 137-143 . (W pracy Hill'a (tau) oznacza to samo co$\tau$$D$ powyżej.) Chwilowa wielkość zmiany zależy od fazy księżycowej, a zatem przyczynia się również do zmian odległości perygeum, ponieważ średni okres między perygeami (~ 27,55 dnia) jest około dwa dni krótszy niż średni okres między nowymi księżycami (~ 29,53 dni), stąd kolejne perygeje występują w różnych fazach lunacji i różnią się w różny sposób.

Przykład liczbowy: załącznik A poniżej przytacza niedawno wyrafinowane współczesne wartości (obserwatorium paryskie)dla amplitudy warunków trygonometrycznych wpływających na wektor promienia Księżyca. Główny termin ewolucji wynosi blisko 3699 km amplitudy, a główny termin zmiany wynosi blisko 2956 km. Ignorując wiele mniejszych efektów okresowych, można się spodziewać po tym, co już wspomniano, że kiedy nowy lub pełny księżyc pojawia się na perygeum (co oznacza również, że Słońce znajduje się w linii absyd), główne warunki ewolucji i zmiany działają zarówno w celu zmniejszenia odległość perygeum, o około sumę dwóch amplitud, tj. o około 6655 km. Z drugiej strony, gdy perygeum występuje w jednej z księżycowych ćwiartek (co oznacza również, że Słońce znajduje się pod kątem 90 ° do linii absyd), oba te warunki mają odwrotny skutek, tj. Zwiększają odległość perygeum o około 6655 km . Zatem główne warunki ewolucji i zmiany,

To oczekiwanie oparte na trygonometryce można porównać z danymi z niemal każdego ostatniego almanachu astronomicznego („AA”). (W ostatnich latach dane dotyczące odległości księżycowej w AA pochodzą z efemeryd zintegrowanych numerycznie, wersja DE405 dla lat 2003-2014 , patrz AA dla 2011, strona L4. Integracje zostały dopasowane do współczesnych danych księżycowego określania odległości laserowych, niezależnie od klasycznej analizy trygonometrycznej.) AA dla 2011 r. (Pod ręką podczas pisania tej odpowiedzi) zestawia dzienne odległości księżyca o 0 h TT (przy użyciu jednostek promienia równikowego ziemi, 6378,14 km ) i zawiera następujące dane przykładowe (patrz zwłaszcza strony D1, D8, D14). (i) Najmniejsza lokalna minimalna odległość księżyca w ciągu roku wystąpiła 20 marca (0 godz.) przy 55.912 promieniach ziemi, w pobliżu perygeum 19 marca 19 godz. i pełni księżyca 19 marca 18 godz. 10 m; oraz (ii) największa w tabeli lokalna minimalna odległość księżyca w ciągu roku wystąpiła 8 lipca (0 godz.) o 57,951, blisko perygeum o godz. 7 14 godz. i księżycowego pierwszego kwartału o 8 6 godz. 29 min. W datach, dla których odległości zostały zestawione, fazy i konfiguracje były bliskie, ale nie dokładne, księżyc znajdował się bardzo kilka stopni od perygeum, a także trochę dokładnie od syzygii lub kwadratury. Zlekceważąc tę ​​niedokładność, można uznać, z powodów wymienionych powyżej i przedstawionych w Załączniku, że w obu datach ewolucja i wariacja działają w tym samym sensie i zbliżają się do maksimów; oba zmniejszyły odległość perygeum w dniu (i) i oba zwiększyły ją w dniu (ii).

Różnica między danymi (i) i (ii) z AA 2011, zasięg tabelarycznie lokalnych minimalnych odległości (peryferyjnych) perygeum wynosił 2,039 promienia ziemi, co odpowiada około 13000 km. Różni się to mniej niż 2,5% od połączonego zakresu międzyszczytowego (13310 km) głównych warunków ewolucji i zmienności. Obliczenia i porównania są oczywiście dość przybliżone, zarówno z powodu niedokładności konfiguracji, jak i dlatego, że wiele mniejszych terminów trygonometrycznych jest ignorowanych. Niemniej jednak jest blisko i pomaga wskazać, w jaki sposób ewolucja wraz ze zmianą może uwzględniać prawie cały zakres odległości księżycowych perygeów obserwowanych w ciągu roku.

Dodatek:

Pokazano tutaj (A), w jaki sposób wspomniane powyżej efekty są również ilościowo nieodłączne w najnowszych opisach analitycznych ruchów Księżyca; oraz (B) jak niektóre (obecnie historyczne) relacje próbowały osobno nakreślić grawitacyjne przyczyny ewolucji - nieco bardziej niezręczne przedsięwzięcie, obejmujące przybliżenie i zaangażowanie się ze starszymi historycznymi formami wyrażania ruchów.

Odp .: Ilościowy opis różnych odległości księżycowego perygeum jest tutaj podany w kategoriach współczesnych wyrażeń analitycznych dla wektora długości i promienia Księżyca. Poniższe dane są zaokrąglone z „ELP 2000-85 - Pół-analityczna efemeryda księżycowa odpowiednia do czasów historycznych”, autorstwa Michelle Chapront-Touzé i Jean Chapront (1988) Astronomy & Astrophysics 190, 342-352 , szczególnie na stronie 351: to reprezentuje jedną z kilku wersji „ELP” autorów (Ephémérides Lunaires Parisiennes), patrz także ta strona na jednej ze stron internetowych Obserwatorium Paryskiego.

Trzy największe terminy trygonometryczne opisujące zmieniające się w czasie różnice między rzeczywistym i średnim wektorem promienia Księżyca, a jego rzeczywistą i średnią długością orbity, są znane odpowiednio jako największe z terminów eliptycznych oraz główne terminy ewolucji i zmienności. Są blisko -

(a) (dla wektora rzeczywistego promienia (w km), w odniesieniu do średniej odległości 385000.529 km), oraz$-20905.355 \cos (l) -3699.111 \cos (2D-l) -2955.968 \cos (2D)$

(b) (dla różnicy true minus średnia długość orbity w łuku"). $+22639.586" \sin (l) +4586.438" \sin (2D-l) +2369.914" \sin (2D)$

$D$ i mają już wspomniane znaczenia.$l$

Największy eliptyczny termin (lewy termin w (a) i (b)) można uznać za największy (najniższy rząd) termin w szeregu trygonometrycznym z argumentami w wielokrotnościach . Te podserysy można wyciągnąć z długiej serii terminów, w wielu argumentach, podanych na stronie 351 cytowanej pracy z 1988 roku, a zatem:$l$

(c) dla wektora promienia i$-20905.355 \cos (l) -569.925 \cos (2l) -23.210 \cos (3l) ...$

(d) dla długości orbity.$+22639.586" \sin (l) +769.026" \sin (2l) +36.124" \sin (3l) ...$

Są one w przybliżeniu zbliżone do szeregów dla równania środka (w wektorze promienia lub długości orbity), które można rozwinąć dla dokładnej orbity eliptycznej Keplera ze stałą („średnią”) ekscentrycznością około 0,0549 (porównaj na przykład formy podane w Brouwer i Clemence (1961) Methods of Celestial Mechanics , strony 76-77, równania 73 i 75). Razem, serie (c) i (d) wyrażają w przybliżeniu średnią elipsę, którą Księżyc mógłby podążać przy braku zaburzeń. W tym hipotetycznym stanie księżycowe odległości perygeum dla takiej średniej elipsy zawsze byłyby oczywiście takie same, około 363502 km, zgodnie z trzema początkowymi okresowymi okresami opisanymi tutaj.

Następnie co drugi termin w trzyterminowych fragmentach (a) i (b) powyżej jest głównym terminem odpowiedzialnym za ewekcję. Aby zobaczyć efekt warunków ewolucji, argument można uznać za skutecznie , który różni się od , argument nierówności eliptycznych, powoli zmieniającą się wielkością .$(2D-l)$$(l -(2l-2D))$$l$$(2l-2D)$

Okres („miesiąc anomalistyczny”) wynosi około 27,55 dni, ale okres wynosi około 205,89 dni (jest to średni odstęp między przejściami Słońca poza linią apsydów Księżyca, w jednym kierunku wskazuje na apogeum, a drugi na perygeum). (Średni odstęp między pasażami Słońca powyżej średniej apogeum Księżyca jest dwukrotnie większy niż poprzednie, około 411,78 dni, czyli nieco mniej niż 14 średnich miesięcy synodycznych).$l$$(2l-2D)$

Można z powodzeniem wskazać dwa przypadki konfiguracji: (i) Gdy ilość wynosi zero (co zdarza się raz w każdym 7-miesięcznym cyklu, gdy położenie Słońca jest połączone / przeciwne do kierunku apogeum księżyca / perygeum), to z fragmentów serii powyżej widać, że cytowany termin ewolucji w każdej serii wzmacnia działanie głównego terminu eliptycznego. (ii) W drugim przypadku, w przeciwnym biegunie, gdy wynosi 180 ° (co zdarza się, gdy pozycja Słońca jest 90 ° od kierunku apogeum / perygeum księżyca), można zauważyć, że termin ewolucji w każdej serii stoi w sprzeczności z głównym terminem eliptycznym.$(2l-2D)$$(2l-2D)$

Rezultat jest jak efekt „beatu” między dwiema oscylacjami. Z tego powodu maksymalne odchylenia od średniej, zarówno w wektorze promienia, jak i na długości orbity, nie są takie same w każdym cyklu : lokalne maksima zmieniają się w ilości, z okresem ~ 205,89 dnia, nieco poniżej 7 średniej miesiące synodyczne. $l$

Powyższe wyrażenia pokazują zatem, jak zmienia się odległość księżyca od perygeum, w zależności od głównego terminu ewolucji, w zakresie około +/- 3699 km. Odległość perygeum jest bliższa Ziemi w przypadku konfiguracji (i), kiedy Słońce łączy się / przeciwstawia kierunkowi apogeum / perygeum Księżyca; w tym momencie główny (e) termin (y) ewaluacji wzmacniają terminy eliptyczne), a także zmiany długości geograficznej są również większe. Wtedy odległość perygeum jest większa w drugim przypadku, gdy Słońce znajduje się 90 ° od linii absyd; w tym momencie przeciwstawiono się terminom ewidencyjnym i głównym terminom eliptycznym, a tutaj również długości geograficzne są mniejsze.

Podsumowując, wpływ warunków ewolucji na odległość perygeum i długość orbity jest w przybliżeniu podobny do efektów, które powstałyby w wyniku zwiększenia ekscentryczności orbity w pierwszym przypadku i zmniejszenia ekscentryczności w drugim. Wyniki są modyfikowane przez zmianę w zależności od fazy lunacji.

Wspomniano już o (prostszym) wpływie głównego terminu zmiany wektora promienia: Księżyc jest przybliżony o około 2956 km przy nowiu i pełni księżyca, a dalej o tę samą ilość w kwartałach. Na dokładne odległości perygeum wpływają również inne i ogólnie mniejsze okresowe terminy.

(Efekty te, rozpatrywane łącznie, pokazują również, w jaki sposób pełne księżyce na najbliższych możliwych odległościach perygeum, a zatem o największej widocznej średnicy, mają tendencję do występowania w odstępach około 14 miesięcy synodycznych: są to skutki czasami nazywane „super księżycami”, które powodować wzrost zainteresowania mediów).

B: Uwzględnianie grawitacyjne tych wybranych cech zaburzeń Księżyca jest nieco dziwne. Od połowy XVIII wieku do początku XX wieku analityczne techniki rozwiązań zwykle traktowały co najmniej główne znane siły zakłócające na Księżycu jako całości, aby dać przybliżone szeregowe rozwiązania ruchów Księżyca. Takie metody generują masy warunków trygonometrycznych i praktycznie nie można zobaczyć, które (jeśli w ogóle) poszczególne części sił zakłócających są odpowiedzialne za efekty ewolucji. Nowoczesne techniki numeryczne nie pokazują też żadnych łatwo oddzielalnych części efektów perturbacji.

Podjęto przynajmniej dwie próby pokazania, głównie geometrycznie i jakościowo, w jaki sposób efekty ewolucji mogą powstać grawitacyjnie. W tym celu ewolucja jest reprezentowana przez fluktuacje ekscentryczności orbity, równoważność omówioną powyżej oraz w cytowanym już odnośniku Godfray. Nowszą z dwóch ekspozycji podał FR Moulton (1914) Wstęp do mechaniki niebieskiej (w rozdziale 9, szczególnie z s. 323–360). Oryginalna ekspozycja została wydana przez Newtona w Księdze 1 Principia, Twierdzenie 66, szczególnie wniosek 9 (str. 233-5 w 1729 tłumaczeniu na język angielski z łaciny). Wyjaśnienia zależą od zbadania, w jaki sposób siła zakłócająca zmienia prawo mocy netto dla przyciągania Ziemi na Księżyc, i robi to inaczej w różnych częściach orbity Księżyca, dzięki czemu moc odwrotna jest nieco większa niż 2 w niektóre części orbity i trochę mniej w innych częściach. Poza tym opisanie tych wyjaśnień zajęłoby zbyt wiele miejsca, oryginały są dostępne w archiwach online.

Warto również zauważyć, że (1) Brak słonecznej siły zakłócającej nie spowodowałby, że orbita Księżyca byłaby kołowa lub prawie taka: mimośrodowość jest dowolnym parametrem odpowiadającym dowolnej stałej w integracji problemu dwóch ciał: na przykład Bate, Mueller, White (1971) Podstawy astrodynamiki na stronach 19-21 dają wyraźnie przejrzystą demonstrację tego.

(2) Siła słoneczna zaburzająca Księżyc podczas jego ruchu wokół Ziemi jest czasami opisywana jako reprezentowana przez absolutne przyciąganie Słońca na Księżyc: ale tak naprawdę jest reprezentowana przez (wektorową) różnicę między przyciąganiem Słońca na Księżyc oraz przyciąganie Słońca na Ziemię (Newton, Principia, następstwa 1, 2 i 6 do praw ruchu i Księga 3, Twierdzenie 25 ).

(3) Obrót (precesja) linii absyd sam w sobie nie zmienia odległości perygeum, zmienia kątowe miejsca perygeum i czasy, w których księżyc osiąga perygeum.

(4) Orbita Księżyca jest dość daleka od elipsy Keplerowskiej lub jakiejkolwiek elipsy, łączy w sobie cechy orbity wariacyjnej (prawie eliptycznej, ale z Ziemią w pobliżu środka nie w centrum uwagi) oraz elipsy o zmiennej ekscentryczności i fluktuacji linii apsyd. Newton już w niepublikowanym artykule wyraził przybliżone uznanie, że prawdziwa orbita Księżyca nie jest dokładnie ekscentryczną elipsą Keplerowską, ani dokładnie centralną elipsą z powodu tej zmiany, ale „owalem innego rodzaju” (patrz DT Whiteside (wyd. ) (1973), The Mathematical papers of Isaac Newton, tom VI: 1684-1691, Cambridge University Press, na stronie 533 .