Ignorując ekspansję wszechświata, entropię, rozkładające się orbity i ingerencję jakichkolwiek ciał zderzających się lub w inny sposób zakłócających ich orbity , czy osiem znanych planet w naszym Układzie Słonecznym kiedykolwiek się wyrówna?

Jaki jest „okres” planet; jak często idealnie do siebie pasują? A w oparciu o ich obecne pozycje, jak daleko w przyszłość jest ich następne teoretyczne wyrównanie?

To jest niska dokładność - ale prosta - odpowiedź

Pozwala obliczyć tylko konfigurację wyrównania promieniowego planet.

Jeśli chcesz uzyskać przybliżenie, powiedzmy, przybliżasz pozycję planet jako wskazówki zegara, możesz wyliczyć matematykę w ten sposób.

Załóżmy, że jest początkowym kątem dla planety w czasie - mierzonym od dowolnej, ale stałej pozycji, a jest długością roku - w dniach - dla planety . i t 0 l i$\theta_i$$i$$t_0$$l_i$$i$

Następnie wznawia się do rozwiązywania tego układu równań:

$$x \equiv \theta_i \left( \ mod\ l_i\right)$$

Odtąd po prostu zastosowałbyś chińskie twierdzenie o pozostałości .

Znalezienie minimalnego x da kąt, jaki planeta, która przy miała kąt , przemieściłaby się, dopóki nie zostanie osiągnięta konfiguracja wyrównania . Zakładając, że wybierzesz Ziemię jako wspomnianą planetę, a następnie podziel ten kąt przez całkowitą rewolucję ( ), a dostaniesz liczbę lat do osiągnięcia tej konfiguracji - z konfiguracji .θ i = 0 360 o t $t_0$$\theta_i = 0$$360^{o}$$t_0$

Różne w stopniach dla wszystkich planet w dniu 1 stycznia 2014 r. - możesz użyć tego jako swojego :t $\theta_i$$t_0$

$$\begin{align} Mercury &\quad 285.55 \\Venus &\quad 94.13 \\Earth &\quad 100.46 \\Mars &\quad 155.60 \\Jupiter &\quad 104.92 \\Saturn &\quad 226.71 \\Uranus &\quad 11.93 \\Neptune &\quad 334.90 \end{align}$$

Źródło

Różne w dniach dla wszystkich planet:$l_i$

$$\begin{align} Mercury &\quad 88 \\Venus &\quad 224.7 \\Earth &\quad 365.26 \\Mars &\quad 687 \\Jupiter &\quad 4332.6 \\Saturn &\quad 10759.2 \\Uranus &\quad 30685.4 \\Neptune &\quad 60189 \end{align}$$

Wreszcie przy aproksymacji wartości całkowitych i użyciu tego internetowego rozwiązania dla układu równań odpowiedź wynosi który podzielony przez daje w przybliżeniu 360 o 1,1218 × 10 $x = 4.0384877779832565 \times 10^{26}$$360^{o}$

$$1.1218 \times 10^{24} \quad\text{years}$$

Edytuj 1

Właśnie znalazłem tę stronę, z którą możesz się pobawić. Jest to interaktywna aplikacja flash z dokładnym położeniem planet.

Wiem również, że wszystkie informacje można uzyskać z tej strony NASA i są one tak dokładne, jak można je uzyskać, ale dla mnie są one teraz niezrozumiałe. Spróbuję to poprawić później, kiedy znajdę czas.

Również książka Jeana Meeusa zatytułowana Algorytmy astronomiczne obejmuje wszystkie podstawowe równania i formuły - nie ma to jednak nic wspólnego z algorytmami programowania.

Edytuj 2

Widząc, że jesteś programistą, warto sprawdzić stronę NASA, o której wspomniałem powyżej, dostęp do danych dla wszystkich planet można uzyskać nawet poprzez . Lub na tej stronie Sourceforge, gdzie mają implementacje wielu równań opisanych w książce również wspomnianej powyżej.$\tt{telnet}$

Prawidłowa odpowiedź to „ nigdy ” z kilku powodów. Po pierwsze , jak wskazano w komentarzu Florina, orbity planety nie są współpłaszczyznowe, a zatem nie mogą się ewentualnie wyrównać, nawet jeśli każda planeta mogłaby zostać dowolnie umieszczona na płaszczyźnie orbity. Po drugie , nawet czyste wyrównanie promieniowe nigdy się nie zdarza, ponieważ okresy planety są niewspółmierne - ich stosunki nie są liczbami wymiernymi. Wreszcie orbity planet ewoluują w milionach lat w czasie, głównie z powodu ich wzajemnego przyciągania grawitacyjnego. Ta ewolucja jest (słabo) chaotyczna, a zatem nieprzewidywalna na bardzo długi czas.

Błędne odpowiedzi przez harogaston zasadniczo przybliża okres orbitalny przez najbliższych numerów współmiernych, dających bardzo długo (choć mam to źle, współczynnik zaledwie ).$10^{16}$

O wiele bardziej interesujące pytanie (i być może to, czym naprawdę byłeś zainteresowany) dotyczy tego, jak często 8 planet prawie wyrównuje się promieniowo . Tutaj „ prawie ” może po prostu oznaczać „ do jak widać ze Słońca$10^\circ$ ”. W takiej sytuacji wzajemne przyciąganie grawitacyjne planet wyrówna się, a tym samym spowoduje silniejsze zmiany orbitalne niż średnia.

Jest na to znacznie łatwiejszy sposób.

1) Sprawdź długość roku słonecznego w dniach ziemskich

2) pomnóż długość lat w ten sposób: rok Merkurego * rok Wenus * rok Ziemi * rok Marsa * rok Jowisza * rok Saturna * rok Urana * rok Neptuna

3) Podziel przez 365, aby otrzymać lata ziemskie.

I masz czas, kiedy wyrównają się ponownie wzdłużnie (co oznacza, że ​​kąty będą różne, ale z widoku z góry utworzą linię). Nie wyrówna się przy żadnej wyższej częstotliwości, ponieważ niektóre z tych planet mają dziesiętną liczbę dni ziemskich w ciągu roku.

Z technicznego punktu widzenia prawdziwym sposobem znalezienia okresu między wyrównaniem wszystkich 8 planet jest znalezienie LCM dla wszystkich 8 ich rocznych długości.

LCM (88, 225, 365, 687, 4333, 10759, 30685, 60189) = 814252949520007202031000. Rozumiem, że jest to przybliżony szacunek, ponieważ są one zaokrąglone do najbliższej liczby całkowitej, ale daje dobry obraz liczby dni wziąłbym.

814252949520007202031000/365 = 2230829998684951238441. To ile lat.

Jakiekolwiek oszacowanie wspólnego okresu więcej niż dwóch planet (tj. Po jakim czasie ponownie w przybliżeniu wyrównują się na długości heliocentrycznej?) Zależy bardzo silnie od tego, jak duże odchylenie od idealnego wyrównania jest dopuszczalne.

Jeśli okres planety wynosi i jeśli dopuszczalne odchylenie w czasie wynosi (w tych samych jednostkach co ), wówczas łączny okres wszystkich planet wynosi w przybliżeniu więc zmniejszenie dopuszczalnego odchylenia o współczynnik 10 oznacza zwiększenie wspólnego okresu o współczynnikP i b P i P n P ≈ ∏ i P $i$$P_i$$b$$P_i$$P$$n$ 10n-

$$P \approx \frac{\prod_i P_i}{b^{n-1}}$$ $10^{n-1}$, co dla 8 planet to współczynnik 10 000 000. Nie ma więc sensu cytowanie wspólnego okresu, jeśli nie określi się również, ile odchyleń jest dopuszczalne. Kiedy dopuszczalne odchylenie spada do 0 (aby osiągnąć „idealne wyrównanie”), wówczas wspólny okres wzrasta do nieskończoności. Odpowiada to stwierdzeniom kilku komentujących, że nie ma wspólnego okresu, ponieważ okresy te nie są współmierne.

Dla okresów planet wymienionych przez harogaston, gdy są mierzone w latach juliańskich po 365,25 dni każdy, więc wspólny okres w latach wynosi w przybliżeniu jeżeli jest również mierzone w latach. Jeśli okresy są przybliżone do najbliższego dnia, wówczas lata i lat. Jeśli okresy są przybliżone do najbliższego 0,01 dnia, to i lat.$\prod_i P_i \approx 1.35\times10^6$$P_i$

$$P \approx \frac{1.35\times10^6}{b^7}$$ $b$$b \approx 0.00274$$P \approx 1.2\times10^{24}$$b \approx 2.74\times10^{-5}$$P \approx 1.2\times10^{38}$

Wyprowadzenie powyższego wzoru jest następujące:

Przybliż okresy planet przez wielokrotności jednostki podstawowej : gdzie jest liczbą całkowitą. Wówczas wspólny okres jest co najwyżej równy iloczynowi wszystkich . Ten produkt jest nadal mierzony w jednostkach ; musimy pomnożyć przez aby wrócić do oryginalnych jednostek. Tak więc wspólny okres to w przybliżeniuP i ≈ p i b p i p i b b P ≈ b ∏ i p i ≈ b ∏ i P $b$$P_i \approx p_i b$$p_i$$p_i$$b$$b$

$$P \approx b \prod_i p_i \approx b \prod_i \frac{P_i}{b} = b \frac{\prod_i P_i}{b^n} = \frac{\prod_i P_i}{b^{n-1}}$$

Powyższe wyprowadzenie nie bierze pod uwagę, że mogą mieć wspólne czynniki, więc wyrównanie nastąpi wcześniej niż sugeruje . Jednak to, czy jakieś dwa mają wspólne czynniki, zależy silnie od wybranego okresu bazowego , więc jest to efektywnie zmienna losowa i nie wpływa na globalną zależność od .∏ i p i p i b P $p_i$$\prod_i p_i$$p_i$$b$$P$$b$

Jeśli wyrazisz dopuszczalne odchylenie raczej w kategoriach kąta niż czasu , spodziewam się, że otrzymasz odpowiedzi zależne od wielkości dopuszczalnego odchylenia tak silnie, jak w powyższym wzorze.

Zobacz http://aa.quae.nl/en/reken/periode.html, aby zobaczyć wykres w funkcji dla wszystkich planet, w tym Plutona.$P$$b$

EDYTOWAĆ:

Oto szacunek z dopuszczalnym odchyleniem pod względem kąta . Chcemy, aby wszystkie planety znajdowały się w zakresie długości geograficznej szerokości wyśrodkowanej na długości geograficznej pierwszej planety; długość pierwszej planety jest wolna. Zakładamy, że wszystkie planety poruszają się w tym samym kierunku po współpłaszczyznowych orbitach kołowych wokół Słońca.$δ$

Ponieważ okresy planet nie są współmierne, wszystkie kombinacje długości planet występują z takim samym prawdopodobieństwem. Prawdopodobieństwo że w pewnym określonym momencie długość geograficzna planety mieści się w segmencie szerokości wyśrodkowanym na długości geograficznej planety 1, jest równa i > 1 $q_i$$i > 1$$δ$

$$q_i = \frac{δ}{360°}$$

Prawdopodobieństwo że wszystkie planety od 2 do znajdują się w tym samym segmencie długości geograficznej wyśrodkowanym na planecie 1, wynosi wtedy$q$$n$

$$q = \prod_{i=2}^n q_i = \left( \frac{δ}{360°} \right)^{n-1}$$

Tłumaczyć, że prawdopodobieństwo średnim okresie, musimy oszacować na ile czasu wszystkie planety są wyrównane (w granicach ) za każdym razem, wszyscy oni są wyrównane.$δ$

Dwie pierwsze planety, które utracą wzajemne ustawienie, są najszybszymi i najwolniejszymi z planet. Jeśli ich okres synodyczny wynosi , wówczas będą one w linii przez interwał a następnie przez pewien czas nie będą ustawione w linii, zanim ponownie znajdą się w linii . Tak więc każde wyrównanie wszystkich planet trwa około interwału , a wszystkie te wyrównania razem obejmują ułamek całego czasu. Jeśli średni okres, po którym następuje kolejne wyrównanie wszystkich planet, to , to musimy mieć , więc$P_*$

$$A = P_* \frac{δ}{360°}$$ $A$$q$$P$$qP = A$ $$P = \frac{A}{q} = P_* \left( \frac{360°}{δ} \right)^{n-2}$$

Jeśli są tylko dwie planety, to niezależnie od , co jest zgodne z oczekiwaniami.$P = P_*$$δ$

Jeśli jest wiele planet, najszybsza planeta jest znacznie szybsza niż najwolniejsza, więc jest prawie równa okresowi orbitalnemu najszybszej planety.$P_*$

Również w tym przypadku oszacowanie średniego czasu między kolejnymi ustawieniami jest bardzo wrażliwe na wybrany limit odchyleń (jeśli w grę wchodzą więcej niż dwie planety), więc nie ma sensu podawać takiego połączonego okresu, jeśli nie wspomina się również o czym odchylenie było dozwolone.

Ważne jest również, aby pamiętać, że (jeśli są więcej niż dwie planety), te (prawie) wyrównania wszystkich z nich nie występują w regularnych odstępach czasu.

Teraz podłączmy kilka liczb. Jeśli chcesz, aby wszystkie 8 planet były wyrównane z dokładnością do 1 stopnia długości geograficznej, średni czas między dwoma takimi wyrównaniami jest w przybliżeniu równy orbit najszybszej planety. W przypadku Układu Słonecznego Merkury jest najszybszą planetą z okresem około 0,241 lat, więc średni czas między dwoma ustawieniami wszystkich 8 planet z dokładnością do 1 stopnia długości geograficznej wynosi około lat. 5 × 10 $P = 360^6 = 2.2×10^{15}$$5×10^{14}$

Jeśli już jesteś zadowolony z wyrównania z dokładnością do 10 stopni długości geograficznej, wtedy średni okres między dwoma takimi wyrównaniami jest w przybliżeniu równy orbit Merkurego, który wynosi około 500 milionów lat.$P = 36^6 = 2.2×10^9$

Jakiego najlepszego dostosowania możemy się spodziewać w ciągu nadchodzących 1000 lat? 1000 lat to około 4150 orbit rtęci, więc , a więc . W losowym odstępie 1000 lat występuje średnio jedno wyrównanie wszystkich 8 planet w obrębie segmentu 90 °.δ ≈ 90 $(360°/δ)^6 \approx 4150$$δ \approx 90°$