Dlaczego orbity są eliptyczne zamiast okrągłych?

16

Dlaczego planety obracają się wokół gwiazdy na określonej orbicie eliptycznej z gwiazdą na jednym z jej ognisk? Dlaczego orbita nie jest kołem?

star orbit planet

— Devgeet Patel
źródło

2

Odpowiedź Eduardo podsumowuje większość. Chociaż możesz zobaczyć moją odpowiedź na podobne pytanie w sprawie Physics SE. physics.stackexchange.com/questions/56657/…

— Cheeku

2

Okrągłe orbity są szczególnym przypadkiem orbit eliptycznych.

— asawyer

13

Załóżmy, że planeta ma znikomą masę w porównaniu z gwiazdą, że obie są sferycznie symetryczne (tak utrzymuje się zasada grawitacji Newtona, ale zwykle dzieje się to z bardzo dobrym przybliżeniem) i że nie ma żadnych sił poza grawitacją między nimi . Jeśli pierwszy warunek nie jest spełniony, wówczas przyspieszenie każdy będzie w kierunku środka masy układu, jakby środka ciężkości było przyciągnięcie im siłę grawitacyjną z pewnej ograniczonej masie, więc problem jest matematycznie równoważne.

Weź gwiazdę, aby być na początku. Zgodnie z prawem grawitacji Newtona siła wynosi , gdziejest wektorem do planety,jest jego masą, ajest standardowym parametrem grawitacyjnym gwiazdy. $\mathbf{F} = -\frac{m\mu}{r^3}\mathbf{r}$ $\mathbf{r}$ $m$ $\mu = GM$

Prawa ochrony

Ponieważ siła jest czysto promieniowa , moment pędu jest zachowany: $(\mathbf{F}\parallel\mathbf{r})$ $\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}$ Jeśli prędkość początkowa jest różna od zera, a gwiazda znajduje się na początku, to pod względem położenia początkowego i prędkości orbita musi być ograniczona do płaszczyzny wszystkich punktów za pomocą wektorów

\dot{L.} = \frac{re}{re t} (r \times p) = m (\dot{r} \times \dot{r}) + r \times fa = 0 .

$\dot{\mathbf{L}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\mathbf{r}\times\mathbf{p}\right) = m(\dot{\mathbf{r}}\times \dot{\mathbf{r}}) + \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{0}\text{.}$

z początku, które nasycają

. Jeśli prędkość początkowa wynosi zero, wówczas ruch jest czysto promieniowy i możemy przyjąć dowolną z nieskończenie wielu płaszczyzn, które zawierają środek ciężkości i położenie początkowe.

x

$\mathbf{x}$

L \cdot x = 0

$\mathbf{L}\cdot\mathbf{x} = 0$

Całkowita energia orbitalna jest dana przez gdzie pierwsza część to energia kinetyczna, a druga to grawitacyjna energia potencjalna planety. O jego zachowaniu, a także o tym, że odwołuje się do prawidłowej energii potencjalnej, można udowodnić fundamentalne twierdzenie rachunku całkowego linii.

mi = \frac{p^{2)}}{2) m} - \frac{m μ}{r},

$\mathcal{E} = \frac{p^2}{2m} - \frac{m\mu}{r}\text{,}$

Zdefiniuj wektor Laplace'a-Runge-Lenza na Jest także zachowany:

ZA = p \times L. - \frac{m^{2)} μ}{r} r .

$\mathbf{A} = \mathbf{p}\times\mathbf{L} - \frac{m^2\mu}{r}\mathbf{r}\text{.}$

\begin{array}{rcl} \dot{ZA} & = & fa \times L. + p \times \dot{L.} - \frac{m μ}{r} p + \frac{m μ}{r^{3)}} (p \cdot r) r \\ = & - \frac{m μ}{r^{3)}} \underset{(r \cdot p) r - r^{2)} p}{\underset{⏟}{(r \times (r \times p))}} - \frac{m μ}{r} p + \frac{m μ}{r^{3)}} (p \cdot r) r \\ = & 0 . \end{array}

$\begin{eqnarray*} \dot{\mathbf{A}} &=& \mathbf{F}\times\mathbf{L} + \mathbf{p}\times\dot{\mathbf{L}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& -\frac{m\mu}{r^3}\underbrace{\left(\mathbf{r}\times(\mathbf{r}\times\mathbf{p})\right)}_{(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})\mathbf{r} - r^2\mathbf{p}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& \mathbf{0}\text{.} \end{eqnarray*}$

Na koniec weźmy również , który ma te same jednostki co , a ponieważ , leży on wzdłuż płaszczyzny orbity. Ponieważ jest to wektor zachowany skalowany przez zachowany skalar, łatwo jest wykazać, że jest również zachowane, o ile . $\mathbf{f} = \mathbf{A}/(m\mathcal{E})$ $\mathbf{r}$ $\mathbf{L}\cdot\mathbf{f} = 0$ $\mathbf{f}$ $\mathcal{E}\neq 0$

Uproszczenie

Stosując potrójny wektor, możemy napisać którego kwadrat normalny można łatwo wykręcić:

\begin{array}{rcl} \frac{1}{m} ZA & = & \frac{1}{m} [p^{2)} r - (p \cdot r) p] - \frac{m μ}{r} r \\ = & (mi + \frac{p^{2)}}{2) m}) r - \frac{1}{m} (p \cdot r) p \\ mi (fa - r) & = & (\frac{p^{2)}}{2) m}) r - \frac{1}{m} (p \cdot r) p, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{m}\mathbf{A} &=& \frac{1}{m}\left[p^2\mathbf{r}-(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{p}\right] -\frac{m\mu}{r}\mathbf{r}\\ &=& \left(\mathcal{E}+\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\\ \mathcal{E}(\mathbf{f}-\mathbf{r}) &=& \left(\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\text{,} \end{eqnarray*}$

gdzie

było używane do przełączania między warunkami kinetycznymi i potencjalnymi.

{mi}^{2)} | fa - r |^{2)} = {(mi + \frac{m μ}{r})}^{2)} r^{2)},

$\mathcal{E}^2|\mathbf{f}-\mathbf{r}|^2 = \left(\mathcal{E} + \frac{m\mu}{r}\right)^2r^2\text{,}$

E

$\mathcal{E}$

Dlaczego elipsy?

Ponieważ jest energią w stosunku do nieskończoności, aby mieć związaną orbitę potrzebujemy . Zatem z poprzedniej sekcji i dlatego $\mathcal{E}$ $\mathcal{E}<0$ $|\mathbf{f}-\mathbf{r}| = -\mathcal{E}^{-1}\left(\mathcal{E}r + m\mu\right)$

| fa - r | + | r | = - \frac{m μ}{mi},

$|\mathbf{f}-\mathbf{r}| + |\mathbf{r}| = -\frac{m\mu}{\mathcal{E}}\text{,}$ która definiuje elipsę o ogniskach

i oś główna

0, f

$\mathbf{0},\,\mathbf{f}$

.

2 a = - m μ / E

$2a=-m\mu/\mathcal{E}$

Dlaczego nie kręgi?

Okrąg jest szczególnym przypadkiem, w którym ogniska mają ten sam punkt, , który można przekształcić jako $\mathbf{f} = \mathbf{0}$

mi = - \frac{1}{2)} \frac{m μ}{r} = - \frac{p^{2)}}{2) m} .

$\mathcal{E} = -\frac{1}{2}\frac{m\mu}{r} = -\frac{p^2}{2m}\text{.}$

E < 0

$\mathcal{E}<0$

$\mathcal{E}>0$ $\mathcal{E}=0$ $\mathbf{f}$

$\mathbf{e} = \mathbf{A}/(m^2\mu)$

— Stan Liou
źródło

8

mi = \frac{r_{za} - r_{p}}{r_{za} + r_{p}}

$e = \frac{r_{a} - r_{p}}{r_{a} + r_{p}}$

r_{a}

$r_{a}$

r_{p}

$r_{p}$

e = 0.333

$e=0.333$

Ze wszystkich planet Układu Słonecznego, Wenus , z mimośrodem 0,007 ma najbardziej okrągłą orbitę.

$\dot{r}$ $\dot{\phi}$

v^{2)} = {\dot{r}}^{2)} + r^{2)} {\dot{ϕ}}^{2)} .

$v^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2\text{.}$ siła odśrodkowa w ramie korotującej dokładnie równoważy siłę grawitacji - nieco mniej lub bardziej nierównowaga zmieni prędkość radialną, psując koło.

Biorąc pod uwagę fakt, że prędkości różnią się z wielu powodów, nic dziwnego, że tylko kilka orbit jest okrągłych, a biorąc pod uwagę, że rzeczywiste orbity zmieniają się z czasem , wiemy, że nie mogą pozostać w tej pozycji na długo.

Jeśli szukasz matematycznego dowodu, ten link udostępnia kilka szczegółowych informacji na jego temat .

Oto zdjęcie pokazujące ekscentryczność niektórych ciał w Układzie Słonecznym wydobytych stąd :

Niektóre ciała Układu Słonecznego i ich ekscentryczność

— Eduardo Serra
źródło

Jest to całkowicie błędne: „Aby orbita była okrągła, prędkość planety musi być dokładnie taka, jak minimalna musi być na orbicie; ... trochę mniej, i uderzyłaby w planetę, na której krąży”. Akapit jest również dość zdezorientowany co do czego orbituje. Oczywiście minimalizują prędkość radialną , ale jest to inne i nie łączy się z dyskusją o energii kinetycznej. Rozbijając energię kinetyczną na części promieniowe i kątowe, okrągłe orbity również minimalizują potencjał efektywny, jeśli moment pędu jest utrzymywany na stałym poziomie.

— Stan Liou,

@Stan możesz zaproponować zmianę lub podać własną odpowiedź. Czy mógłbyś szczegółowo wyjaśnić, dlaczego to stwierdzenie jest błędne? Jeśli satelita opisuje orbitę kołową, a ty ją spowolnisz, zderzy się z planetą; jeśli przyspieszysz, utworzy ona eliptyczną orbitę.

— Eduardo Serra,

r_{a} = r_{p}

$r_a = r_p$

r_{p}^{'}

$r'_p$

1

@EduardoSerra - Zwolnij obiekt na orbicie kołowej, a będzie on na orbicie eliptycznej, a poprzedni promień orbity kołowej będzie teraz apofokalny.

— David Hammen

1

Zawsze wolę odpowiedzi, które próbują uniknąć jakiejkolwiek formuły i zamiast tego odpowiadam na argumentację. Jeśli chodzi o część pytania, dlaczego nie wszystkie orbity są okrągłe, argumentacja wyglądałaby następująco:

Rozważ nieruchomą gwiazdę i poruszającą się planetę. Dla każdego impulsu, jaki może mieć planeta, można przewidzieć krzywą dalszego ruchu. Jeśli ten impuls jest skierowany dokładnie prostopadle do linii od gwiazdy do planety, a jeśli prędkość ma dokładną wartość , wówczas ta krzywa ruchu może być dokładnym okręgiem.

Ale dla każdego odchylenia tego jednego dokładnego impulsu wynikowa krzywa nie może być okręgiem:

Jeśli prędkość jest zbyt niska, planeta spadnie w kierunku gwiazdy (w skrajnym przypadku impulsu zerowego, ten spadek będzie w linii prostej).
Jeśli prędkość jest zbyt wysoka, planeta zyska odległość od gwiazdy (podobnie jak proca).
Jeśli impuls nie jest prostopadły do linii do gwiazdy, pierwszy ruch przesunie się w kierunku lub od gwiazdy, więc ponownie krzywa nie będzie okręgiem.

Można więc po prostu argumentować, że okrąg jest bardzo szczególnym przypadkiem dla krzywej, jaką planeta może objąć gwiazdę.

— Alfe
źródło

(1) Początkowy argument ortogonalności jest dobrym początkiem. (2) Ale rozważania dotyczące „prędkości są zbyt [niskie / wysokie]” są nieuzasadnione: skąd wiadomo, że okrągłe orbity przy wielu prędkościach są niedozwolone na tej samej odległości? Można argumentować przeciwko możliwości wielu prędkości poprzez równoważenie sił grawitacyjnych i odśrodkowych, ale wtedy zarówno (1), jak i (2) zamieniają się dokładnie w to, co przedstawiono w odpowiedzi Eduardo Serry.

— Stan Liou

Masz na myśli, że można odnieść wrażenie, że siła grawitacji może być jak ciasna lina w tym sensie, że przyłoży ona większą siłę na planetę w kierunku gwiazdy, gdy „siła” będzie potrzebna, aby utrzymać planetę na okrągłej ścieżce ? Hmm… tak, w zależności od pochodzenia laika może się tego spodziewać. Dziękuję za pomysł; może uda mi się poprawić moją odpowiedź, aby rozwiązać ten problem!

— Alfe