Dopasowane wartości modelu ARMA

Próbuję zrozumieć, w jaki sposób obliczane są dopasowane wartości dla modeli ARMA (p, q). Znalazłem już pytanie dotyczące dopasowanych wartości procesów ARMA, ale nie byłem w stanie tego zrozumieć.

Jeśli mam model ARMA (1,1), tj

i otrzymałem (stacjonarny) szereg czasowy, mogę oszacować parametry. Jak obliczyć dopasowane wartości przy użyciu tych szacunków. Dla modelu AR (1) dopasowane wartości są podane przez

Ponieważ innowacje w modelu ARMA są nieobserwowalne, w jaki sposób miałbym zastosować oszacowanie parametru MA? Czy po prostu zignoruję część MA i obliczę dopasowane wartości części AR?

Aby odpowiedzieć na twoje pytania, w zasadzie musisz wiedzieć, w jaki sposób obliczane są reszty tj. w modelu. Ponieważ wtedy . Najpierw wygenerujmy fałszywe dane ( ) i dopasuj model (bez średniej):^ X t = X t$e_t$arma X $\hat{X_{t}}=X_{t}-e_{t}$$X_t$arima(.5,.6)arma

library(forecast)
n=1000
ts_AR <- arima.sim(n = n, list(ar = 0.5,ma=0.6))
f=arima(ts_AR,order=c(1,0,1),include.mean=FALSE)
summary(f)
    Series: ts_AR 
    ARIMA(1,0,1) with zero mean     

    Coefficients:
             ar1     ma1
          0.4879  0.5595
    s.e.  0.0335  0.0317

    sigma^2 estimated as 1.014:  log likelihood=-1426.7
    AIC=2859.4   AICc=2859.42   BIC=2874.12

    Training set error measures:
                         ME    RMSE       MAE      MPE     MAPE      MASE
    Training set 0.02102758 1.00722 0.8057205 40.05802 160.1078 0.6313145

Teraz tworzę reszty w następujący sposób: (ponieważ nie ma reszty w 1), a dla mamy: , gdziet = 2 , . . . , n e t = X t - A r ∗ X t - 1 - M a ∗ e t - 1 A $e_1=0$$t=2,...,n$$e_t=X_t-Ar*X_{t-1}-Ma*e_{t-1}$$Ar$$Ma$

e = rep(1,n)
e[1] = 0 ##since there is no residual at 1, e1 = 0
for (t in (2 : n)){
  e[t] = ts_AR[t]-coef(f)[1]*ts_AR[t-1]-coef(f)[2]*e[t-1]
}

$e_{t}$$\hat{X_{t}}=X_{t}-e_{t}$$e_{t}$

cbind(fitted.from.package=fitted(f)[1:10],fitted.calculated.manually=ts_AR[1:10]-e[1:10])
      fitted.from.package fitted.calculated.manually
 [1,]          -0.4193068                 -1.1653515
 [2,]          -0.8395447                 -0.5685977
 [3,]          -0.4386956                 -0.6051324
 [4,]           0.3594109                  0.4403898
 [5,]           2.9358336                  2.9013738
 [6,]           1.3489537                  1.3682191
 [7,]           0.5329436                  0.5219576
 [8,]           1.0221220                  1.0283511
 [9,]           0.6083310                  0.6048668
[10,]          -0.5371484                 -0.5352324

$e_{1}=0$arima$e_t$
Teraz model Ar (1). Dopasowałem model (bez średniej) i bezpośrednio pokazuję, jak obliczyć dopasowane wartości za pomocą współczynników. Tym razem nie obliczyłem resztek. Zauważ, że zgłosiłem pierwsze 10 dopasowanych wartości, usuwając pierwszą (ponieważ znowu byłoby inaczej w zależności od tego, jak ją zdefiniujesz). Jak widać, są one całkowicie takie same.

f=arima(ts_AR,order=c(1,0,0),include.mean=FALSE)
cbind(fitted.from.package=fitted(f)[2:10],fitted.calculated.manually=coef(f)*ts_AR[1:9])
      fitted.from.package fitted.calculated.manually
 [1,]          -0.8356307                 -0.8356307
 [2,]          -0.6320580                 -0.6320580
 [3,]           0.0696877                  0.0696877
 [4,]           2.1549019                  2.1549019
 [5,]           2.0480074                  2.0480074
 [6,]           0.8814094                  0.8814094
 [7,]           0.9039184                  0.9039184
 [8,]           0.8079823                  0.8079823
 [9,]          -0.1347165                 -0.1347165