Warunkowa homoskedastyczność vs. heteroskedastyczność

Z ekonometrii , autor: Fumio Hayashi (rozdział 1):

Bezwarunkowa homoskedastyczność:

Drugi moment wyrażenia błędu E (εᵢ²) jest stały we wszystkich obserwacjach
Forma funkcjonalna E (εᵢ² | xi) jest stała we wszystkich obserwacjach

Warunkowa homoskedastyczność:

Zniesiono ograniczenie, że drugi moment składników błędu E (εᵢ²) jest stały w obserwacjach
- Zatem warunkowy drugi moment E (εᵢ² | xi) może się różnić między obserwacjami poprzez możliwą zależność od xᵢ.

Więc moje pytanie:

Czym różni się warunkowa homoskedastyczność od heteroterapii?

Rozumiem, że istnieje heteroskedastyczność, gdy druga chwila różni się w zależności od obserwacji (xᵢ).

— Alec
źródło

Może to pomoże: www2.econ.iastate.edu/classes/econ674/falk/…

— whuber

Istnieje niewielki problem polegający na tym, że wykład mówi „Dlatego warunkowa homoskedastyczność implikuje bezwarunkową homoskedastyczność” w przeciwieństwie do książki Econometrics. Wydają się zależeć od różnych rzeczy.

— Henry

@Henry Z obecnego pytania trudno jest stwierdzić, które definicje są dokładne, a które nie - niektóre z nich wydają się nie mieć sensu w kontekście podręcznika. Mile widziane wyjaśnienia.

— whuber

Zacznę od cytowania od Hayashi, aby pomóc każdemu, kto chciałby komentować. Próbowałem zachować formatowanie i oryginalne liczby równań.

Rozpocznij cytat ze strony Hayashi 126, sekcja 2.6:

Warunkowa a bezwarunkowa homoskedastyczność

Warunkowe założenie homoskedastyczności jest następujące:

Założenie 2.7 (warunkowa homoskedastyczność): To założenie implikuje, że bezwarunkowy drugi moment jest równy według Prawa Całkowitych Oczekiwań. Aby wyjaśnić różnicę między bezwarunkową i warunkową homoskedastycznością, rozważ następujący przykład [Przykład 2.6 (bezwarunkowo homoskedastyczne, ale warunkowo heteroskedastyczne błędy) ...]

\begin{aligned} (2.6.1) & E (ϵ_{i}^{2} | x_{i}) = σ^{2} > 0. \end{aligned}

$\begin{align*} \tag{2.6.1} E(\epsilon_i^2|\mathbf{x}_i)=\sigma^2>0. \end{align*}$

E (ϵ_{i}^{2})

$E(\epsilon_i^2)$

σ^{2}

$\sigma^2$

Zakończ wycenę.

\begin{aligned} (1.1.12) & E (ϵ_{i}^{2} | X) = σ^{2} > 0 (i = 1, 2, \dots, n) \\ (1.1.17) & E (ϵ_{i}^{2} | x_{i}) = σ^{2} > 0 (i = 1, 2, . \dots, n) . \end{aligned}

$\begin{align*} \tag{1.1.12} E(\epsilon_i^2|\mathbf{X})=\sigma^2>0 \quad (i=1,2,\ldots,n) \\\ \tag{1.1.17} E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)=\sigma^2>0 \quad (i=1,2,.\ldots,n). \end{align*}$

$(\epsilon_i,\mathbf x_i)$ $i$ $E(\epsilon_i^2)$ $i$ $E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)$ $i$ $i$ $E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)$ $i$ $\mathbf x_i$

[Żadnych dalszych cytatów od Hayashi, po prostu moje zrozumienie po tym punkcie.]

$E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)=\sigma^2$ $E(\epsilon_i^2)=E[E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)]=E[\sigma^2]=\sigma^2$

$\mathbf x_i$ $\epsilon_i$ $\sigma^2$ $E(\epsilon_i^2)=\sigma^2$ $E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)\ne\sigma^2$ ; Przykłady 2.6 (strona 127) ilustrują to. Być może odpowiada również na pytanie o nakładanie się homo- i heteroskedastyczności: daje przykład, w którym występuje bezwarunkowa homoskedastyczność, a także warunkowa heteroskedastyczność.

Są to mylące koncepcje, szczególnie bez dużego doświadczenia z warunkowymi oczekiwaniami / dystrybucjami, ale mam nadzieję, że doda to pewnej przejrzystości (i materiału źródłowego do przyszłych dyskusji).

— David M. Kaplan
źródło

Pomocne może być tutaj podsumowanie tych przykładów, aby pełniej wyjaśnić różnicę między tymi mylącymi pojęciami.

— gung - Przywróć Monikę