Wykorzystanie BIC do oszacowania liczby k w KMEANS

Obecnie próbuję obliczyć BIC dla mojego zestawu danych zabawek (ofc iris (:). Chcę odtworzyć wyniki, jak pokazano tutaj (ryc. 5). Ten papier jest również moim źródłem dla formuł BIC.

Mam z tym 2 problemy:

• Notacja:
  • $n_i$ I = liczba elementów w klastrze$i$
  • $C_i$ i = współrzędne środkowe klastra$i$
  • $x_j$ i = punkty danych przypisane do klastra$i$
  • $m$ = liczba klastrów

1) Wariancja zdefiniowana w równaniu. (2):

Z tego, co widzę, jest problematyczne i nieujęte, że wariancja może być ujemna, gdy w klastrze jest więcej klastrów $m$ niż elementów. Czy to jest poprawne?

2) Po prostu nie mogę zmusić mojego kodu do działania w celu obliczenia poprawnego BIC. Mam nadzieję, że nie ma błędu, ale byłoby bardzo mile widziane, gdyby ktoś mógł to sprawdzić. Całe równanie można znaleźć w równaniu. (5) w pracy. Używam scikit learning do wszystkiego teraz (aby uzasadnić słowo kluczowe: P).

from sklearn import cluster
from scipy.spatial import distance
import sklearn.datasets
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def compute_bic(kmeans,X):
    """
    Computes the BIC metric for a given clusters

    Parameters:
    -----------------------------------------
    kmeans:  List of clustering object from scikit learn

    X     :  multidimension np array of data points

    Returns:
    -----------------------------------------
    BIC value
    """
    # assign centers and labels
    centers = [kmeans.cluster_centers_]
    labels  = kmeans.labels_
    #number of clusters
    m = kmeans.n_clusters
    # size of the clusters
    n = np.bincount(labels)
    #size of data set
    N, d = X.shape

    #compute variance for all clusters beforehand
    cl_var = [(1.0 / (n[i] - m)) * sum(distance.cdist(X[np.where(labels == i)], [centers[0][i]], 'euclidean')**2)  for i in xrange(m)]

    const_term = 0.5 * m * np.log10(N)

    BIC = np.sum([n[i] * np.log10(n[i]) -
           n[i] * np.log10(N) -
         ((n[i] * d) / 2) * np.log10(2*np.pi) -
          (n[i] / 2) * np.log10(cl_var[i]) -
         ((n[i] - m) / 2) for i in xrange(m)]) - const_term

    return(BIC)



# IRIS DATA
iris = sklearn.datasets.load_iris()
X = iris.data[:, :4]  # extract only the features
#Xs = StandardScaler().fit_transform(X)
Y = iris.target

ks = range(1,10)

# run 9 times kmeans and save each result in the KMeans object
KMeans = [cluster.KMeans(n_clusters = i, init="k-means++").fit(X) for i in ks]

# now run for each cluster the BIC computation
BIC = [compute_bic(kmeansi,X) for kmeansi in KMeans]

plt.plot(ks,BIC,'r-o')
plt.title("iris data  (cluster vs BIC)")
plt.xlabel("# clusters")
plt.ylabel("# BIC")

Moje wyniki dla BIC wyglądają tak:

Co nie jest nawet bliskie temu, czego się spodziewałem, a także nie ma sensu ... Patrzyłem teraz na równania od jakiegoś czasu i nie dostaję dalszej lokalizacji mojego błędu):

Wygląda na to, że masz kilka błędów w formułach, które zostały określone na podstawie:

• https://www.cs.cmu.edu/~dpelleg/download/xmeans.pdf (w dokumencie są błędy)
• https://github.com/bobhancock/goxmeans/blob/master/km.go
• https://github.com/mynameisfiber/pyxmeans/blob/master/pyxmeans/xmeans.py
• https://github.com/bobhancock/goxmeans/blob/master/doc/BIC_notes.pdf

1.

np.sum([n[i] * np.log(n[i]) -
               n[i] * np.log(N) -
             ((n[i] * d) / 2) * np.log(2*np.pi) -
              (n[i] / 2) * np.log(cl_var[i]) -
             ((n[i] - m) / 2) for i in range(m)]) - const_term

Tutaj są trzy błędy w dokumencie, w czwartej i piątej linii brakuje współczynnika d, ostatnia linia zastępuje m dla 1. Powinno to być:

np.sum([n[i] * np.log(n[i]) -
               n[i] * np.log(N) -
             ((n[i] * d) / 2) * np.log(2*np.pi*cl_var) -
             ((n[i] - 1) * d/ 2) for i in range(m)]) - const_term

2)

Const_term:

const_term = 0.5 * m * np.log(N)

Powinien być:

const_term = 0.5 * m * np.log(N) * (d+1)

3)

Formuła wariancji:

cl_var = [(1.0 / (n[i] - m)) * sum(distance.cdist(p[np.where(label_ == i)], [centers[0][i]], 'euclidean')**2)  for i in range(m)]

powinien być skalarem:

cl_var = (1.0 / (N - m) / d) * sum([sum(distance.cdist(p[np.where(labels == i)], [centers[0][i]], 'euclidean')**2) for i in range(m)])

4

Używaj dzienników naturalnych zamiast dzienników base10.

5

Co najważniejsze, obliczany przez ciebie BIC ma odwrotny znak w stosunku do zwykłej definicji. więc chcesz zmaksymalizować zamiast zminimalizować

Jest to w zasadzie rozwiązanie eyalera, z kilkoma notatkami. Napisałem to, jeśli ktoś chciałby szybko skopiować / wkleić:

Uwagi:

1. eyalers 4. komentarz jest niepoprawny np. log jest już logiem naturalnym, nie trzeba wprowadzać żadnych zmian

2. eyalers Piąty komentarz na temat odwrotności jest poprawny. W poniższym kodzie szukasz MAKSIMUM - pamiętaj, że przykład ma ujemne liczby BIC

Kod jest następujący (ponownie, cały kredyt dla eyalera):

from sklearn import cluster
from scipy.spatial import distance
import sklearn.datasets
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
import numpy as np

def compute_bic(kmeans,X):
    """
    Computes the BIC metric for a given clusters

    Parameters:
    -----------------------------------------
    kmeans:  List of clustering object from scikit learn

    X     :  multidimension np array of data points

    Returns:
    -----------------------------------------
    BIC value
    """
    # assign centers and labels
    centers = [kmeans.cluster_centers_]
    labels  = kmeans.labels_
    #number of clusters
    m = kmeans.n_clusters
    # size of the clusters
    n = np.bincount(labels)
    #size of data set
    N, d = X.shape

    #compute variance for all clusters beforehand
    cl_var = (1.0 / (N - m) / d) * sum([sum(distance.cdist(X[np.where(labels == i)], [centers[0][i]], 
             'euclidean')**2) for i in range(m)])

    const_term = 0.5 * m * np.log(N) * (d+1)

    BIC = np.sum([n[i] * np.log(n[i]) -
               n[i] * np.log(N) -
             ((n[i] * d) / 2) * np.log(2*np.pi*cl_var) -
             ((n[i] - 1) * d/ 2) for i in range(m)]) - const_term

    return(BIC)



# IRIS DATA
iris = sklearn.datasets.load_iris()
X = iris.data[:, :4]  # extract only the features
#Xs = StandardScaler().fit_transform(X)
Y = iris.target

ks = range(1,10)

# run 9 times kmeans and save each result in the KMeans object
KMeans = [cluster.KMeans(n_clusters = i, init="k-means++").fit(X) for i in ks]

# now run for each cluster the BIC computation
BIC = [compute_bic(kmeansi,X) for kmeansi in KMeans]

print BIC