Ogólna metoda wyprowadzania błędu standardowego

Nie mogę nigdzie znaleźć ogólnej metody wyprowadzania standardowych błędów. Przeglądałem google, tę stronę internetową, a nawet podręczniki, ale wszystko, co mogę znaleźć, to wzór na standardowe błędy średniej, wariancji, proporcji, współczynnika ryzyka itp., A nie sposób, w jaki te formuły zostały osiągnięte.

Gdyby jakikolwiek organ mógł to wyjaśnić w prosty sposób, a nawet połączyć mnie z dobrym zasobem, który to wyjaśnia, byłbym wdzięczny.

standard-error

— Daniel Gardiner
źródło

Podaję ogólny prosty model i stosuję go, z dopracowanymi wszystkimi szczegółami, w poście na stronie stats.stackexchange.com/a/18609/919 . Ten i wiele innych postów na temat standardowych błędów (prawie tysiąc do tej pory) można znaleźć, przeszukując naszą stronę w poszukiwaniu „standardowego błędu”

— whuber

Odpowiedzi:

To, co chcesz znaleźć, to odchylenie standardowe rozkładu próbkowania średniej. To znaczy, w prostym języku angielskim, rozkład próbkowania ma miejsce, gdy wybierzesz elementów z populacji, dodasz je razem i podzielisz sumę przez . Następnie znajdujemy wariancję tej wielkości i uzyskujemy odchylenie standardowe, biorąc pierwiastek kwadratowy z tej wariancji. $n$ $n$

Niech wybrane elementy będą reprezentowane przez losowe zmienne , każdy z nich identycznie rozłożony z wariancją . Próbki są pobierane niezależnie, więc wariancja sumy jest tylko sumą wariancji. $X_i, 1\le i \le n$ $\sigma^2$

Var (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} Var (X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} σ^{2} = n σ^{2}

$\text{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n\text{Var}\left(X_i\right) = \sum_{i=1}^n\sigma^2 = n\sigma^2$

Następnie dzielimy przez . Wiemy ogólnie, że , więc stawiając mamy $n$ $\text{Var}(kY)=k^2 \text{Var}(Y)$ $k=1/n$

Var (\frac{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}}{n}) = \frac{1}{n^{2}} Var (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \frac{1}{n^{2}} n σ^{2} = \frac{σ^{2}}{n}

$\text{Var}\left(\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}\right) = \frac{1}{n^2} \text{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n^2} n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$

Na koniec weź pierwiastek kwadratowy, aby uzyskać odchylenie standardowe . Gdy odchylenie standardowe populacji nie jest dostępne, przykładowe odchylenie standardowe jest używane jako oszacowanie, dając . $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ $s$ $\dfrac{s}{\sqrt{n}}$

Wszystko powyższe jest prawdą bez względu na rozkład , ale nasuwa się pytanie, co tak naprawdę chcesz zrobić ze standardowym błędem? Zazwyczaj możesz chcieć skonstruować przedziały ufności, a następnie ważne jest przypisanie prawdopodobieństwa do skonstruowania przedziału ufności zawierającego średnią. $X_i$

Jeśli twoje są normalnie rozłożone, jest to łatwe, ponieważ wtedy rozkład próbkowania jest również normalnie rozłożony. Można powiedzieć, że 68% próbek średniej będzie mieściło się w granicach 1 błędu standardowego od prawdziwej średniej, 95% będzie w granicach 2 błędów standardowych itp. $X_i$

Jeśli masz wystarczająco dużą próbkę (lub mniejszą próbkę, a nie są zbyt nienormalne), możesz odwołać się do centralnego twierdzenia granicznego i powiedzieć, że rozkład próbkowania jest w przybliżeniu normalnie rozłożony, a twoje twierdzenia prawdopodobieństwa są również przybliżone. $X_i$

$p$ $n$ $X_i$ $p(1-p)$ $\sqrt{p(1-p)/n}$ $p$ $np$ $n(1-p)$ $\ge5$ tutaj dla sprawdzonego przykładu standardowych błędów z proporcją).

$\pm1$

— TooTone
źródło

Dzięki, to podejście ma sens i widzę, jak odnosi się do średniej, ale nie widzę, jak rozszerzyć ją na inne statystyki. Na przykład, jak znaleźć błąd standardowy stawki? czy współczynnik szybkości?

— Daniel Gardiner

Zaktualizowałem swój post. Kluczową kwestią jest to, że wielkości takie jak średnia, wariancja itp. - a zatem stderr - można znaleźć dla dowolnego rozkładu. Ale aby złożyć oświadczenia o prawdopodobieństwie, musisz wiedzieć coś o rozkładzie, czy to normalnym, dwumianowym czy czymkolwiek. Stderr zawsze można znaleźć, ale to, jak użyteczne jest, zależy od sytuacji.

— TooTone

v a r (X_{i}) = σ^{2}

$var(X_i) = \sigma^2$

s^{2}

$s^2$

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

s^{2}

$s^2$

s^{2}

$s^2$

X_{i}

$X_i$

s^{2}

$s^2$

— TooTone

Błąd standardowy jest odchyleniem standardowym statystyki (pod hipotezą zerową, jeśli testujesz). Ogólną metodą znajdowania błędu standardowego byłoby najpierw znalezienie funkcji rozkładu lub generowania momentu w statystyce, znalezienie drugiego momentu centralnego i wyprowadzenie pierwiastka kwadratowego.

$\mu$ $\sigma^2$ $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$ $\mu$ $\sigma^2/n$

Suma niezależnych zmiennych losowych jest normalna,
$\mathrm{E}\left[\sum_{i=1}^{n} a_i X_i\right] = \sum_{i=1}^{n} a_i \mathrm{E}\left[ X_i \right]$
$X_1$ $X_2$ $\mathrm{Var}\left(a_1 X_1 + a_2 X_2 \right) = a_1^2 \mathrm{Var}\left(X_1\right) + a_2^2 \mathrm{Var}\left( X_2 \right)$

$\sigma/\sqrt{n}$

Istnieją skróty, na przykład, że niekoniecznie musisz znaleźć rozkład statystyki, ale myślę, że koncepcyjnie warto mieć rozkłady z tyłu głowy, jeśli je znasz.

— P. Schnell
źródło