limn→∞(1−1/n)n=e−1
e−1=1/e≈1/3
Nie działa przy bardzo małym - np. Przy , . Przechodzi przy , przechodzi przy , a przez . Gdy przekroczysz , jest lepszym przybliżeniem niż .nn=2(1−1/n)n=1413n=60.35n=110.366n=99n=111e13
Szara linia przerywana to ; czerwona i szara linia to .131e
Zamiast przedstawiać formalne wyprowadzenie (które można łatwo znaleźć), przedstawię zarys (jest to intuicyjny, praktyczny argument), dlaczego (nieco) bardziej ogólny wynik zawiera:
ex=limn→∞(1+x/n)n
(Wiele osób podejmuje to być definicja z , ale można to udowodnić z prostszych wyników takich jak definiowanie jako .)exp(x)elimn→∞(1+1/n)n
Fakt 1: Wynika to z podstawowych wyników na temat mocy i potęgowaniaexp(x/n)n=exp(x)
Fakt 2: Gdy jest duże, Wynika to z rozszerzenia szeregu dla .nexp(x/n)≈1+x/nex
(Mogę podać pełniejsze argumenty dla każdego z nich, ale zakładam, że już je znasz)
Zastępuje (2) w (1). Gotowy. (Aby działało to jako bardziej formalny argument, zajęłoby trochę pracy, ponieważ musiałbyś wykazać, że pozostałe warunki w Fakcie 2 nie stają się wystarczająco duże, aby spowodować problem, gdy przejmie się władzę . Ale to intuicja zamiast formalnego dowodu).n
[Alternatywnie, po prostu weź serię Taylora dla do pierwszego rzędu. Drugim łatwym podejściem jest wzięcie dwumianowego rozszerzenia i przyjęcie limitu termin po semestrze, pokazując, że daje on warunki w szeregu dla .]exp(x/n)(1+x/n)nexp(x/n)
Więc jeśli , wystarczy podstawić .ex=limn→∞(1+x/n)nx=−1
Natychmiast mamy wynik u góry tej odpowiedzi:limn→∞(1−1/n)n=e−1
Jak wskazuje Gung w komentarzach, wynikiem twojego pytania jest pochodzenie reguły 632 bootstrap
np. patrz
Efron, B. i R. Tibshirani (1997),
„Improvements on Cross-Validation: The .632+ Bootstrap Method”,
Journal of the American Statistics Association Vol. 92, nr 438. (Jun), s. 548–560