Czy geometria różnicowa ma coś wspólnego ze statystyką?

Robię mistrza statystyki i radzę się uczyć geometrii różnicowej. Z przyjemnością dowiedziałbym się o zastosowaniach statystycznych w geometrii różnicowej, ponieważ to mnie zmotywowało. Czy ktoś zna aplikacje do geometrii różnicowej w statystyce?

Dwie kanoniczne książki na ten temat, z recenzjami, a następnie dwa inne odniesienia:

• Geometria różnicowa i statystyka , MK Murray, JW Rice

  Od czasu wprowadzenia przez Rao w 1945 r. Metryki informacyjnej Fishera dotyczącej rodziny rozkładów prawdopodobieństwa, statystycy byli zainteresowani zastosowaniem geometrii różniczkowej do statystyki. Zainteresowanie to gwałtownie wzrosło w ciągu ostatnich kilku dekad dzięki pracy wielu badaczy. Do tej pory przeszkodą w rozprzestrzenianiu się tych pomysłów w szerszej społeczności statystyków jest brak odpowiedniego tekstu wprowadzającego nowoczesne swobodne podejście do geometrii różniczkowej w sposób dostępny dla statystyków. Ta książka ma wypełnić tę lukę. Autorzy wnoszą do książki bogate doświadczenie badawcze w geometrii różnicowej i jej zastosowaniu do statystyki. Książka rozpoczyna się od studium najprostszych rozmaitości różnicowych - przestrzeni afinicznych i ich znaczenia dla wykładniczych rodzin i przechodzi do ogólnej teorii, metryki informacji Fishera, połączenia Amari i asymptotyki. Kulminuje to w teorii wiązek wektorów, zasadniczych wiązek i dżetów oraz ich zastosowania w teorii strun - temat będący obecnie w czołówce badań w dziedzinie statystyki i geometrii różnicowej.

• Metody geometrii informacji , S.-I. Amari, H. Nagaoka

  Geometria informacji zapewnia naukom matematycznym nowe ramy analizy. Wyłoniło się to z badania naturalnej różniczkowej struktury geometrycznej na rozmaitości rozkładów prawdopodobieństwa, która składa się z metryki Riemanniana określonej przez informację Fishera i jednoparametrowej rodziny połączeń afinicznych zwanych połączeniami . Dualizm między połączeniem α i ( - $\alpha$$\alpha$$(-\alpha)$-łączenie wraz z metryką odgrywa istotną rolę w tej geometrii. Ten rodzaj dualności, wyłoniony z różnorodnych rozkładów prawdopodobieństwa, jest wszechobecny, pojawia się w różnych problemach, które mogą nie mieć wyraźnego związku z teorią prawdopodobieństwa. Poprzez dualność możliwe jest analizowanie różnych podstawowych problemów w ujednoliconej perspektywie. Pierwsza połowa tej książki poświęcona jest kompleksowemu wprowadzeniu do matematycznych podstaw geometrii informacji, w tym wstępnej geometrii różniczkowej, geometrii rozmaitości lub rozkładów prawdopodobieństwa oraz ogólnej teorii podwójnych połączeń afinicznych. Druga połowa tekstu zawiera przegląd wielu obszarów zastosowań, takich jak statystyka, systemy liniowe, teoria informacji, mechanika kwantowa, analiza wypukła, sieci neuronowe, i afiniczna geometria różniczkowa. Książka może służyć jako odpowiedni tekst do kursu tematycznego dla zaawansowanych studentów i doktorantów.

• Geometria różniczkowa w wnioskowaniu statystycznym , S.-I. Amari, OE Barndorff-Nielsen, RE Kass, SL Lauritzen i CR Rao, IMS Notatki z wykładu Monogr. Ser. Tom 10, 1987, 240 s.

• Rola geometrii różnicowej w teorii statystycznej , OE Barndorff-Nielsen, DR Cox i N. Reid, International Statistics Review / Revue Internationale de Statistique, t. 54, nr 1 (kwiecień, 1986), s. 83–96

Geometria riemannowska jest wykorzystywana w badaniu pól losowych (uogólnienie procesów stochastycznych), gdzie proces nie musi być stacjonarny. Referencje, które badam, podane są poniżej z dwiema recenzjami. Istnieją zastosowania w oceanografii, astrofizyce i obrazowaniu mózgu.

Random Fields and Geometry , Adler, RJ, Taylor, Jonathan E.

http://www.springer.com/us/book/9780387481128#otherversion=9781441923691

Recenzje:

$f$$\Bbb{P}\{\sup_{t\in M}f(t)\ge u\}$$M$są warstwowe rozmaitości Riemannian, a ich podejście ma charakter geometryczny. Książka podzielona jest na trzy części. Część I poświęcona jest prezentacji niezbędnych narzędzi procesów i pól gaussowskich. Część II zwięźle przedstawia wymagane warunki dotyczące integralnej i różniczkowej geometrii. Wreszcie, w części III, jądro książki, formuła przewidująca funkcję charakterystyczną dla Eulera dla zbioru wycieczek i jej przybliżenie do rozkładu maksimów pola, jest dokładnie ustalona. Książka została napisana w nieformalnym stylu, co zapewnia bardzo przyjemną lekturę. Każdy rozdział zaczyna się od przedstawienia zagadnień, które mają zostać poruszone, a przypisy znajdujące się w całym tekście służą jako niezbędne uzupełnienie i wielokrotnie jako odniesienia historyczne.

„Ta książka przedstawia współczesną teorię prawdopodobieństw wycieczek i geometrię zbiorów wycieczek dla… pól losowych określonych na rozmaitościach.… Książka jest zrozumiała dla studentów… z dobrym doświadczeniem w analizie.… Interdyscyplinarny charakter tej książki , piękno i głębia prezentowanej teorii matematycznej sprawiają, że jest ona nieodzowną częścią każdej biblioteki matematycznej i półką na książki wszystkich probabilistów zainteresowanych procesami Gaussa, polami losowymi i ich zastosowaniami statystycznymi. ” (Ilya S. Molchanov, Zentralblatt MATH, t. 1149, 2008)

Jednym z obszarów statystyki / matematyki stosowanej, w którym geometria różniczkowa jest wykorzystywana w istotny sposób (wraz z wieloma innymi obszarami matematyki!), Jest teoria wzorów . Możesz zajrzeć do książki Ulfa Grenandera: https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Representation-Inference-European/dp/0199297061/ref=asap_bc?ie=UTF8 lub nieco bardziej dostępny tekst autorstwa David Mumford (zdobywca medalu w dziedzinie nie mniej): https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Stochastic-Real-World-Mathematics/dp/1568815794/ref=pd_bxgy_14_img_2?_encoding=UTF8&pd_rd_i=156881579W&__D_4040 = LIesY & psc = 1 i refRID = Q40ESHME10ZPC7XYVT59

Z przedmowy ostatniego tekstu:

Termin „teoria wzorców” został ukuty przez Ulfa Grenandera, aby odróżnić jego podejście do analizy struktur wzorzystych na świecie od „rozpoznawania wzorców”. W tej książce używamy go w dość szerokim znaczeniu, aby uwzględnić metody statystyczne stosowane w analizie wszystkie „sygnały” generowane przez świat, niezależnie od tego, czy są to obrazy, dźwięki, tekst pisany, łańcuchy DNA lub białka, pociągi skokowe w neuronach lub szeregi czasowe cen lub pogody; przykłady z nich wszystkich pojawiają się albo w książce Grenandera Elements of Pattern Theory [94], albo w pracy naszych kolegów, współpracowników i studentów na temat teorii wzorców.

Jednym z przykładów zastosowania geometrii różnicowej są modele ścian.

Próbując odpowiedzieć na pytanie (w komentarzach) @whuber, spójrz na rozdział 16 książki Grenandera z tytułem „anatomia obliczeniowa”. Tam rozmaitości są używane do reprezentowania różnych części ludzkiej anatomii (takich jak palenisko), a dyfeomorfizmy używane do reprezentowania zmian tych anatomicznych rozmaitości, umożliwiając porównanie, modelowanie wzrostu, modelowanie działania niektórych chorób. Idee te sięgają monumentalnego traktatu D'Arcy Thompsona „O rozwoju i formie” z 1917 roku!

Grenander przytacza cytat z tego traktatu:

W bardzo dużej części morfologii naszym zasadniczym zadaniem jest raczej porównywanie powiązanych form, a nie dokładna definicja każdej z nich; a deformacja skomplikowanej figury może być zjawiskiem łatwym do zrozumienia, chociaż sama figura może wymagać pozostawienia niezanalizowanego i niezdefiniowanego. Ten proces porównywania, polegający na rozpoznaniu w jednej formie określonej permutacji lub deformacji innej, oprócz dokładnego i odpowiedniego zrozumienia pierwotnego „rodzaju” lub standardu porównania, leży w bezpośredniej prowincji matematyki i znajduje swoje rozwiązanie w elementarne zastosowanie pewnej metody matematyka. Ta metoda jest metodą współrzędnych, na której opiera się teoria transformacji.

Najbardziej znanym przykładem tych pomysłów jest to, kiedy jakieś dziecko zniknęło, powiedzmy trzy lata temu, i opublikowano zdjęcie jego twarzy, przekształconej (zwykle za pomocą splajnów), w to, jak mógłby wyglądać dzisiaj.