Wiem, że algebra liniowa i analiza (szczególnie teoria miar) są ważne. Czy warto brać udział w kursach dla absolwentów w rzeczywistej i złożonej analizie? Czy powinienem brać kursy z algebry abstrakcyjnej poza kursami wprowadzającymi, np. Algebry przemiennej i geometrii algebraicznej?
Odpowiedzi:
Moim zdaniem, niektórymi opcjami do zbadania na poziomie absolwenta mogą być: analiza funkcjonalna (naturalne ramy dla formuł statystycznych), procesy stochastyczne, kontrola stochastyczna (analiza sekwencyjna jest optymalnym zatrzymaniem), różne smaki PDE (wiele problemów probabilistycznych formułowanych jest jako paraboliczne i nieliniowe PDE). Prawie wszystkie z nich wymagają prawdziwej analizy na poziomie licencjackim. Jeśli interesują Cię rzeczy teoretyczne, teoria pomiaru jest również bardzo ważna jako warunek pełnego traktowania tych tematów. Złożona analiza będzie miała pewne zastosowanie, ale mniej niż wyżej; istnieją powiązania z prawdopodobieństwem (tj. funkcje harmoniczne), ale równie dobrze może nie być tego warte
Algebra komutacyjna i geometria algebraiczna nie będą zbyt przydatne (jedno połączenie, o którym myślę, to statystyki algebraiczne, o których się nie uczy). Tematy te będą również bardzo trudne bez solidnego doświadczenia w matematyce.
Uzyskaj prawdziwą analizę, ale nie w sposób, w jaki widzę, że ludzie to robią. Kiedy przeprowadzamy wywiad z studentami matematyki, wydaje się, że nie opanowali narzędzi prawdziwej analizy, dla większości z nich proste rzeczy, takie jak przyjmowanie całek, są niedostępne. Nadal nie rozumiem dlaczego. Moja rada: zwracaj uwagę przede wszystkim na aplikacje.
Zdobądź także kurs ODE i PDE oraz analizę funkcjonalną i geometrię różnicową. Oczywiście algebra liniowa i tensory. Wszystko z naciskiem na aplikacje.
Co się tyczy algebry przemiennej i geometrii algebraicznej, czyli tematów, które są najmniej poruszane w innych odpowiedziach, mam wrażenie, że dopóki unikniesz statystyki algebraicznej, możesz się bez nich obejść. Unikanie statystyki algebraicznej może być w przyszłości coraz trudniejsze, ponieważ ma wiele zastosowań i skrzyżowań z uczeniem maszynowym / statystycznym, co jest bardzo widoczne we współczesnych badaniach, a także zastosowania w innych obszarach. Algebra komutacyjna i geometria algebraiczna to przedmioty, których chcesz się najbardziej nauczyć w zakresie statystyki algebraicznej, zobacz na przykład odpowiedzi na to pytanie: Geometria algebraiczna dla statystyki
Natomiast wszystkie podpola statystyki wykorzystują analizę. (Jednak niezbyt złożona analiza, chociaż może być przydatna do zrozumienia charakterystycznych funkcji, kwestia, która wydaje się jeszcze nie podniesiona.) Myślę, że teoria miar na poziomie licencjackim prawdopodobnie byłaby wystarczająca, ponieważ spotkałem profesjonalnych statystów (np. Profesorów w najlepszych działach), którzy patrzą z góry na teorię miary, ale jeśli naprawdę chcesz zrozumieć teorię miary, kurs realnej analizy dla absolwentów jest bardzo pomocny. Teoria miar licencjackich koncentruje się wyłącznie na miary Lebesgue'a na linii rzeczywistej, która ma wiele dobrych właściwości, które niekoniecznie muszą mieć ogólne miary, a ponadto jest miarą nieskończoną. Natomiast kurs analizy rzeczywistej na poziomie absolwenta będzie miał większy nacisk na abstrakcyjne miary, które sprawiają, że miary prawdopodobieństwa są ogólnie łatwiejsze do zrozumienia, a także sprawiają, że relacja między ciągłymi i dyskretnymi miarami prawdopodobieństwa jest wyraźniejsza - innymi słowy, po raz pierwszy będziesz mógł zobaczyć, jak oba podmioty spotykają się w ramach jednej struktury. Podobnie można udowodnić twierdzenie Kołmogorowa o przedłużeniu w takim przebiegu. Zrozumienie abstrakcyjnych miar jest naprawdę niezbędne do dokładnego zrozumienia procesów stochastycznych w ciągłym czasie. Jest nawet przydatny do zrozumienia procesów stochastycznych w dyskretnym czasie, choć mniej ważny niż w przypadku ciągłym. będziecie mogli zobaczyć po raz pierwszy oba tematy w jednym umyśle. Podobnie można udowodnić twierdzenie Kołmogorowa o przedłużeniu w takim przebiegu. Zrozumienie abstrakcyjnych miar jest naprawdę niezbędne do dokładnego zrozumienia procesów stochastycznych w ciągłym czasie. Jest nawet przydatny do zrozumienia procesów stochastycznych w dyskretnym czasie, choć mniej ważny niż w przypadku ciągłym. będziecie mogli zobaczyć po raz pierwszy oba tematy w jednym umyśle. Podobnie można udowodnić twierdzenie Kołmogorowa o przedłużeniu w takim przebiegu. Zrozumienie abstrakcyjnych miar jest naprawdę niezbędne do dokładnego zrozumienia procesów stochastycznych w ciągłym czasie. Jest nawet przydatny do zrozumienia procesów stochastycznych w dyskretnym czasie, choć mniej ważny niż w przypadku ciągłym.