Jak generować równomiernie rozmieszczone punkty w trójwymiarowej kulce?

Wysłałem poprzednie pytanie , jest to powiązane, ale myślę, że lepiej jest rozpocząć inny wątek. Tym razem zastanawiam się, jak wygenerować równomiernie rozmieszczone punkty w sferze jednostki 3-d oraz jak sprawdzić rozkład wizualnie i statystycznie? Nie widzę strategii tam zamieszczonych, które można by bezpośrednio przenieść na tę sytuację.

random-generation

— Qiang Li
źródło

Techniki z poprzedniego pytania mają zastosowanie bezpośrednio, gdy zauważysz, że liczba punktów w odległości

początku musi być proporcjonalna do

. Zatem, jeśli generowania niezależnych jednolitego variate

wraz z punktu

na powierzchni kuli, skalowanie

wystarcza.

r

$r$

r^{3}

$r^3$

u

$u$

[0, 1]

$[0,1]$

w

$w$

w

$w$

u^{1 / 3}

$u^{1/3}$

— whuber

@ whuber: może po prostu nie zrozumiałem istoty poprzednich technik. Pozwól mi spróbować tego, co opisałeś. Ponadto, jakie są sposoby, aby ponownie sprawdzić jednolitość tutaj?

— Qiang Li

@ Qiang Ripley funkcja K i testy chi-kwadrat. Można również sprawdzić jednorodność rzutu promieniowego punktów na powierzchni kuli, jednorodność sześcianu długości punktów i niezależność tych dwóch.

— whuber

Dla mnie nie jest tak oczywiste, co oznacza „równomiernie rozłożony” ... I prawdopodobnie próba zdefiniowania go automatycznie stworzy algorytm generujący (=

f_{R, Θ, Φ} (r, θ, ϕ) = r^{2}

$f_{R, \Theta, \Phi}(r,\theta, \phi)=r^2$

Odpowiedzi:

$\frac{4}{3}\pi r^3 = 0.523...$

— bayerj
źródło

+1. Jest to jedna z technik zalecanych przez comp.graphics.algorytmy FAQ „Ujednolicenie losowych punktów na kuli”.

— David Cary,

n > 100

$n > 100$

Nazywa się to „metodą odrzucenia”. Pracując dobrze w trzech wymiarach, o dwadzieścia siedem wymiarów, tylko jeden na bilion punktów leży w kuli 27, a nie w pozostałej części 27 kostek, więc metoda odrzucania nie uogólnia się dobrze. Wspominam o tym, ponieważ obecnie potrzebuję próbek równomiernie w kulce o wymiarach 2440.

— Reb.Cabin

$x$ $y$ $z$ $x = r \sin \theta \cos \phi$ $y = r \sin \theta \sin \phi$ $z = r \cos \theta$

$\phi$ $0$ $2\pi$ $r$ $\theta$ $r$ $r^3$ $r$ $3 r^2$ $r$ $\theta$ $(1-\cos\theta)/2$ $1 - (1-\cos (-\theta))/2$ $\theta > \pi/2$ $\theta$ $sin(\theta)/2$

$\theta$ $-1$ $1$

W R wyglądałoby to tak, jak pokazano poniżej.

n <- 10000 # For example n = 10,000.
phi <- runif(n, max=2*pi)
r <- runif(n)^(1/3)
cos_theta <- runif(n, min=-1, max=1)
x <- r * sqrt(1-cos_theta^2) * cos(phi)
y <- r * sqrt(1-cos_theta^2) * sin(phi)
z <- r * cos_theta

Podczas pisania i edytowania tej odpowiedzi zdałem sobie sprawę, że rozwiązanie jest mniej trywialne, niż myślałem.

$(x,y,z)$ $r$

xyz <- matrix(rnorm(3*n), ncol=3)
lambda <- runif(n)^(1/3) / sqrt(rowSums(xyz^2))
xyz <- xyz*lambda

— gui11aume
źródło

Jest to o wiele lepsza odpowiedź z powodu braku odrzucenia. W przestrzeniach o dużych wymiarach próbka odrzucenia może być bardzo kosztowna ze względu na małe prawdopodobieństwo akceptacji.

— kingledion

Powiedzmy, że ostatni fragment kodu można dostosować do wyższego wymiaru d. W tym celu, należy wymienić wszystkie wystąpienia 3przez d.

— gui11aume

$P$ $P = N/||N|| * U^{1/n}$ $N$ $U$ $[0,1]$ $1/n$ $n$

Zrobione!

— Jean-Luc Bouchot
źródło

Równomiernie rozłożony promień nie da jednorodnego punktu w piłce ...

— kjetil b halvorsen

U

$U$