Bezstronny estymator dla mniejszej z dwóch zmiennych losowych

13

Załóżmy, że i $X \sim \mathcal{N}(\mu_x, \sigma^2_x)$ $Y \sim \mathcal{N}(\mu_y, \sigma^2_y)$

Interesuje mnie . Czy istnieje obiektywny estymator dla ? $z = \min(\mu_x, \mu_y)$ $z$

Prosty estymator $\min(\bar{x}, \bar{y})$ gdzie $\bar{x}$ i $\bar{y}$ są przykładowymi średnimi $X$ i $Y$ , na przykład jest tendencyjny (choć spójny). Ma tendencję do niedoścignięcia $z$ .

Nie mogę wymyślić obiektywnego oszacowania dla $z$ . Czy istnieje?

Dziękuję za wszelką pomoc.

random-variable unbiased-estimator minimum

— pazam
źródło

8

To tylko kilka komentarzy, a nie odpowiedź (brak wystarczającej liczby powtórzeń).

(1). Istnieje wyraźny wzór na odchylenie prostego estymatora tutaj: $min(\bar{x},\bar{y})$

Clark, CE 1961, marzec-kwiecień. Największy ze skończonego zestawu zmiennych losowych. Badania operacyjne 9 (2): 145–162.

Nie jestem jednak pewien, jak to pomaga

(2). To tylko intuicja, ale myślę, że taki estymator nie istnieje. Jeśli istnieje taki estymator, powinien również być bezstronny, gdy . Zatem każde „obniżenie poziomu”, które powoduje, że estymator jest mniejszy niż powiedzenie średniej ważonej dwóch średnich próbek, powoduje, że estymator jest stronniczy w tym przypadku. $\mu_x=\mu_y=\mu$

— Lub Zuk
źródło

1

można sobie wyobrazić, że każda korekta może w tym przypadku mieć średnią zero.

— kardynał

Jednak dla wyjaśnienia nie twierdzę, że wierzę, że istnieje obiektywny szacownik. W rzeczywistości zgadzam się, że prawdopodobnie nie ma .

— kardynał

1

Tak, zgadzam się - to tylko intuicja. Poniższy artykuł podaje warunki istnienia obiektywnego estymatora dla funkcji jednowymiarowej średniej gaussowskiej - być może można ją rozszerzyć na wielowymiarową: stat.ncsu.edu/library/mimeo.archive/ISMS_1988_1929.pdf

— Lub Zuk

Znając błąd systematyczny, możesz go poprawić, aby uzyskać obiektywny szacunek. Właściwie poszedłem tą drogą, ale obliczenie dokładnej stronniczości wymaga posiadania i - czego my nie mamy. Więc naturalnie próbowałem użyć zamiast tego próbki, aby zobaczyć, co się stanie. To nie pomaga. W symulacjach skorygowany estymator wykazuje również stronniczość. Skłaniam się ku nieistniejącemu obiektywnemu estymatorowi, ale nie znalazłem na to dobrego dowodu.

u_{x}

$u_x$

u_{y}

$u_y$

— pazam

5

Masz rację, że obiektywny estymator nie istnieje. Problem polega na tym, że parametr będący przedmiotem zainteresowania nie jest płynną funkcją leżącego u podstaw rozkładu danych z powodu braku możliwości różnicowania w . $\mu_x=\mu_y$

Dowód jest następujący. Pozwolić $T(X,Y)$ będzie obiektywnym estymatorem. Następnie . Lewa strona jest wszędzie rozróżnialna w odniesieniu do i (różnicuj pod znakiem integralnym). Jednak po prawej stronie nie można odróżnić w , co prowadzi do sprzeczności. $E_{\mu_x,\mu_y}[T(X,Y)]=\min\{\mu_x,\mu_y\}$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\mu_x=\mu_y$

Hirano i Porter mają ogólny dowód w nadchodzącym artykule Econometrica (patrz ich Propozycja 1). Oto wersja robocza:

http://www.u.arizona.edu/~hirano/papers/hp4_2011_11_03.pdf

— użytkownik8817
źródło

Bardzo dobrze! Dziękujemy za odpowiedź na to pytanie.

— whuber

1

Istnieje oszacowanie dla minimalnego (lub maksymalnego) zbioru liczb dla danej próbki. Patrz Laurens de Haan, „Oszacowanie minimum funkcji za pomocą statystyki zamówień”, JASM, 76 (374), czerwiec 1981, 467-469.

— Jan Galkowski
źródło

Niestety nie sądzę, że cytowany artykuł rozwiązuje ten problem. Artykuł dotyczy sytuacji, w której masz zestaw zmiennych nie stochastycznych A i znalezienia najmniejszego elementu w A poprzez próbkowanie. W kontekście tego problemu każdy element w A byłby zmienną losową, w której leży kicker. Trzeba znaleźć nieobciążonym estymatorem średni najmniejszego zmiennej losowej w A.

— pazam

0

Byłbym całkiem pewien, że obiektywny estymator nie istnieje. Ale obiektywne estymatory nie istnieją dla większości wielkości, a obiektywizm nie jest szczególnie pożądaną właściwością. Dlaczego chcesz taki tutaj?

Próbki są drogie do uzyskania, więc nie mogę po prostu zwiększyć wielkości próbki, dopóki odchylenie nie zniknie. Pożądana jest bezstronność, ponieważ używam wyniku estymatora jako w regresji liniowej. Posiadanie uprzedzeń oznacza, że będzie zawierać nienormalne zakłócenia, które są równoważne z błędem specyfikacji i prowadzą do bałaganu. Nie będę w stanie dokładnie oszacować nachylenia, wariancji, skonstruować przedziały ufności itp.

Y

$Y$

Y

$Y$

— pazam