Statystyki to nie matematyka?

Czy statystyki są matematyczne, czy nie?

Biorąc pod uwagę, że są to wszystkie liczby, głównie nauczane przez działy matematyki, a dostaniesz za to kredyty matematyczne, zastanawiam się, czy ludzie mają na myśli żart, kiedy to mówią, na przykład mówiąc, że to niewielka część matematyki, czy tylko matematyka stosowana.

Zastanawiam się, czy coś w rodzaju statystyki, w której nie można zbudować wszystkiego na podstawowych aksjomatach, można uznać za matematykę. Na przykład wartość , która jest koncepcją, która powstała, aby zrozumieć dane, ale nie jest to logiczną konsekwencją bardziej podstawowych zasad.$p$

Matematyka zajmuje się wyidealizowanymi abstrakcjami, które (prawie zawsze) mają absolutne rozwiązania, lub fakt, że takiego rozwiązania nie ma, można ogólnie opisać w pełni. Jest to nauka polegająca na odkrywaniu złożonych, ale koniecznych konsekwencji prostych aksjomatów.

Statystyki wykorzystują matematykę, ale to nie matematyka. To wykształcone zgadywanie. To hazard.

Statystyka nie zajmuje się wyidealizowanymi abstrakcjami (chociaż wykorzystuje niektóre z nich jako narzędzia), zajmuje się zjawiskami z prawdziwego świata. Narzędzia statystyczne często upraszczają założenia, aby zredukować bałagan w świecie rzeczywistym do czegoś, co pasuje do dziedziny problemowej rozwiązanej abstrakcji matematycznej. To pozwala nam na wykształcone domysły, ale to naprawdę wszystko, co statystyki: sztuka tworzenia bardzo dobrze poinformowanych domysłów.

Rozważ testowanie hipotez przy użyciu wartości p. Powiedzmy, że testujemy jakąś hipotezę o znaczeniu , a po zebraniu danych znajdujemy wartość p . Dlatego odrzucamy hipotezę zerową na rzecz hipotezy alternatywnej.$\alpha = 0.01$$0.001$

Ale czym tak naprawdę jest ta wartość p? Jakie jest znaczenie? Nasza statystyka testowa została opracowana w taki sposób, aby była zgodna z określonym rozkładem, prawdopodobnie t-studenta. Zgodnie z hipotezą zerową percentyl naszej obserwowanej statystyki testowej jest wartością p. Innymi słowy, wartość p daje prawdopodobieństwo, że otrzymalibyśmy wartość tak daleką od oczekiwań rozkładu (lub dalej), jak obserwowana statystyka testowa. Poziom oznakowania jest dość arbitralnym punktem odcięcia od reguły: ustawienie go na jest równoznaczne z powiedzeniem: „dopuszczalne jest, jeśli 1 na 100 powtórzeń tego eksperymentu sugeruje odrzucenie wartości zerowej, nawet jeśli w rzeczywistości wartość zerowa jest prawdziwa. „$0.01$

Wartość p daje nam prawdopodobieństwo, że obserwujemy dostępne dane, biorąc pod uwagę, że wartość null jest prawdziwa (a raczej staje się nieco bardziej techniczna, że ​​obserwujemy dane pod hipotezą zerową, która daje nam co najmniej tak ekstremalną wartość przetestowana statystyka jak ta, którą znaleźliśmy). Jeśli zamierzamy odrzucić wartość zerową, chcemy, aby to prawdopodobieństwo było małe, aby zbliżyć się do zera. W naszym konkretnym przykładzie stwierdziliśmy, że prawdopodobieństwo zaobserwowania danych, które zebraliśmy, jeśli hipoteza zerowa jest prawdziwa, wynosi zaledwie , więc odrzuciliśmy wartość zerową. To było wykształcone przypuszczenie. Tak naprawdę nigdy nie wiemy na pewno, że hipoteza zerowa jest fałszywa, po prostu opracowujemy miarę tego, jak silnie nasze dowody wspierają alternatywę.$0.1\%$

Czy użyliśmy matematyki do obliczenia wartości p? Pewnie. Ale matematyka nie dała nam naszych wniosków. Na podstawie dowodów stworzyliśmy wykształconą opinię, ale nadal jest to hazard. Odkryliśmy, że narzędzia te są niezwykle skuteczne w ciągu ostatnich 100 lat, ale ludzie przyszłości mogą z przerażeniem zastanawiać się nad kruchością naszych metod.

Język mocno w policzek:

Einstein najwyraźniej napisał

O ile prawa matematyki odnoszą się do rzeczywistości, nie są pewne; i jeśli są pewne, nie odnoszą się do rzeczywistości.

więc statystyki to gałąź matematyki opisująca rzeczywistość. ; o)

Powiedziałbym, że statystyka jest gałęzią matematyki w taki sam sposób, jak logika jest gałęzią matematyki. Z pewnością zawiera element filozofii, ale nie sądzę, że jest to jedyna gałąź matematyki, w której tak jest (patrz np. Morris Kline, „Mathematics - The Loss of Certainty”, Oxford University Press, 1980).

Cóż, jeśli powiesz, że „ coś w stylu statystyki, w której nie można zbudować wszystkiego na podstawowych aksjomatach ”, prawdopodobnie powinieneś przeczytać o aksjomatycznej teorii prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Kołmogorow określa prawdopodobieństwo w sposób abstrakcyjny i aksjomatyczny, jak widać w tym pliku PDF na stronie 42 lub tutaj na dole strony 1 i kolejnych stron .

Aby dać Wam przedsmak jego abstrakcyjnych definicji, definiuje zmienną losową jako funkcję „mierzalną”, co wyjaśniono tutaj w bardziej „intuicyjny” sposób: Jeśli zmienna losowa jest funkcją, to jak zdefiniujemy funkcję zmienna losowa

Mając bardzo ograniczoną liczbę aksjomatów i korzystając z wyników teorii matematyki, może zdefiniować pojęcia zmienne losowe, rozkłady, prawdopodobieństwo warunkowe ... w abstrakcyjny sposób i uzyskać wszystkie dobrze znane wyniki, takie jak prawo wielkich liczb, ... z tego zestawu aksjomatów. Radzę spróbować, a będziesz zaskoczony matematycznym pięknem tego.

Aby uzyskać wyjaśnienie wartości p, odsyłam do: Niezrozumienie wartości p?

Nie mam żadnych rygorystycznych ani filozoficznych podstaw, aby odpowiedzieć na to pytanie, ale słyszałem skargę „statystyki nie są matematyką” często od ludzi, zwykle fizyków. Myślę, że ludzie chcą gwarancji z matematyki, a statystyki (zwykle) oferują jedynie probabilistyczne wnioski z powiązanymi wartościami p. Właściwie to właśnie uwielbiam statystyki. Żyjemy w zasadniczo niepewnym świecie i robimy wszystko, co w naszej mocy, aby go zrozumieć. I wykonujemy świetną robotę, biorąc pod uwagę wszystko.

Może dlatego, że jestem plebeją i nie brałem żadnych zaawansowanych kursów matematycznych, ale nie rozumiem, dlaczego statystyki nie są matematyką. Argumenty tutaj i na zduplikowanym pytaniu wydają się argumentować dwa podstawowe punkty, dlaczego statystyki nie są matematyką ^* .

1. Nie jest to dokładne / pewne i jako takie opiera się na założeniach.
2. Stosuje matematykę do problemów i za każdym razem, gdy stosujesz matematykę, nie jest to już matematyka.

Nie jest dokładny i wykorzystuje założenia

Założenia / aproksymacje są przydatne dla wielu matematyki.

Uważam, że właściwości trójkąta, o którym dowiedziałem się w szkole podstawowej, są prawdziwą matematyką, nawet jeśli nie są prawdziwe w geometrii nieelucydyjskiej. Tak więc wyraźne przyznanie się do granic, lub stwierdzenie w inny sposób „zakładając, że XYZ obowiązuje następująca zasada”, do gałęzi matematyki nie dyskwalifikuje gałęzi jako „prawdziwej” matematyki.

Rachunek jestem pewien, że byłby uważany za czystą formę matematyki, ale ograniczenia są podstawowym narzędziem, na którym ją zbudowaliśmy. Możemy kontynuować obliczanie aż do limitu, tak jak możemy zwiększać rozmiar próbki, ale żaden nie daje większego wglądu powyżej pewnego progu.

Po zastosowaniu matematyki nie jest to matematyka

Oczywistą sprzecznością tutaj jest to, że używamy matematyki do udowodnienia twierdzeń matematycznych i nikt nie twierdzi, że udowodnienie twierdzeń matematycznych nie jest matematyką.

Następnym stwierdzeniem może być, że thing xnie jest matematyka, jeśli używasz matematyki, aby uzyskać wynik. To też nie ma sensu.

Stwierdzenie, z którym się zgodzę, jest takie, że kiedy używasz wyników obliczeń do podjęcia decyzji, decyzja nie jest matematyką . To nie znaczy, że analiza prowadząca do podjęcia decyzji nie jest matematyką .

Myślę, że kiedy używamy analizy statystycznej, cała matematyka jest prawdziwa. Dopiero gdy przekazujemy wyniki komuś do interpretacji, statystyki wychodzą z matematyki. Jako takie statystyki i statystycy zajmują się prawdziwą matematyką i są prawdziwymi matematykami. Jest to interpretacja dokonana przez firmę i / lub tłumaczenie wyników przez firmę statystyczną, która nie jest matematyką.

Z komentarzy:

Whuber powiedział:

Gdyby zastąpić „statystyki” słowami „chemia”, „ekonomia”, „inżynieria” lub jakakolwiek inna dziedzina, w której stosuje się matematykę (np. Ekonomia domowa), wydaje się, że żaden z twoich argumentów nie zmieniłby się.

Myślę, że kluczową różnicą między „chemią”, „inżynierią” i „równoważeniem mojej książeczki czekowej” jest to, że te pola wykorzystują tylko istniejące pojęcia matematyczne. Rozumiem, że statystycy tacy jak Guass rozszerzyli zbiór pojęć matematycznych. Uważam ^{(może to być rażąco błędne),} że aby uzyskać tytuł doktora w dziedzinie statystyki, musisz w jakiś sposób przyczynić się do poszerzenia zbioru pojęć matematycznych. Doktoranci chemii / inżynierii nie mają tego wymogu do mojej wiedzy.

Rozróżnienie, które statystyki wnoszą do zbioru pojęć matematycznych, odróżnia je od innych dziedzin, które jedynie używają pojęć matematycznych .

*: Godnym uwagi wyjątkiem jest ta odpowiedź, która skutecznie stwierdza, że ​​granice są sztuczne z różnych powodów społecznych. Myślę, że to jedyna prawdziwa odpowiedź, ale gdzie jest w tym zabawa? ;)

Testy statystyczne, modele i narzędzia wnioskowania są formułowane w języku matematyki, a statystycy sprawdzili matematycznie grube księgi zawierające bardzo ważne i interesujące wyniki na ich temat. W wielu przypadkach dowody dostarczają przekonujących dowodów na to, że dane narzędzia statystyczne są wiarygodne i / lub potężne.

Statystyka i jej społeczność może nie być wystarczająco „czysta” dla matematyków o określonym guście, ale zdecydowanie jest bardzo głęboko zainwestowana w matematykę, a statystyki teoretyczne są tak samo gałęzią matematyki jak fizyka teoretyczna lub informatyka teoretyczna.

„Różnica” polega na: wnioskowaniu indukcyjnym a wnioskowaniu dedukcyjnym a wnioskowaniu. Na przykład żadne twierdzenie matematyczne nie jest w stanie powiedzieć, jakiego rozkładu lub wcześniej można użyć dla danych / modelu.

Nawiasem mówiąc, statystyki bayesowskie to obszar aksjatyzowany.

To może być bardzo niepopularna opinia, ale biorąc pod uwagę historię i sformułowanie pojęć statystyki (i teorii prawdopodobieństwa), uważam statystyki za podgałęzienie fizyki .

Rzeczywiście, Gauss początkowo sformalizował model regresji metodą najmniejszych kwadratów w prognozach astronomicznych. Większość danych statystycznych przed Fisherem pochodziła od fizyków (lub matematyków o wysokich stosunkach, których prace będą nazywane fizyką według dzisiejszych standardów): Lapunow, De Moivre, Gauss i jeden lub więcej Bernoullich.

Nadrzędną zasadą jest charakterystyka błędów i pozornej przypadkowości propagowana z nieskończonej liczby nie mierzonych źródeł zmienności. Ponieważ eksperymenty stały się trudniejsze do kontrolowania, błędy eksperymentalne musiały zostać formalnie opisane i uwzględnione w celu skalibrowania przewagi dowodów eksperymentalnych w stosunku do proponowanego modelu matematycznego. Później, gdy fizyka cząstek zagłębiła się w fizykę kwantową , sformalizowanie cząstek jako losowe rozkłady dało o wiele bardziej zwięzły język do opisania pozornie niekontrolowanej losowości za pomocą fotonów i elektronów.

Właściwości estymatorów, takie jak ich średnia (środek masy) i odchylenie standardowe (drugi moment odchyleń) są bardzo intuicyjne dla fizyków. Większość twierdzeń o granicach może być luźno związana z prawem Murphy'ego, tzn. Że ograniczeniem rozkładu normalnego jest maksymalna entropia.

Tak więc statystyki są podobizną fizyki.