Jaka jest mediana niecentralnego rozkładu t?

10

Jaka jest mediana niecentralnego rozkładu t z parametrem ? To może być beznadziejne pytanie, ponieważ CDF wydaje się być wyrażony jako nieskończona suma i nie mogę znaleźć żadnych informacji o odwrotnej funkcji CDF. $\delta \ne 0$

— shabbychef
źródło

11

Możesz to przybliżyć.

Na przykład, wykonałem następujące nieliniowe dopasowania dla (stopnie swobody) od 1 do 20 i (parametr niecentryczności) od 0 do 5 (w krokach 1/2). Pozwolić $\nu$ $\delta$

za (ν) = 0,963158 + \frac{0,051726}{ν - 0,705428} + 0,0112409 \log (ν),

$a(\nu) = 0.963158 + \frac{0.051726}{\nu-0.705428} + 0.0112409\log(\nu),$

b (ν) = - 0,0214885 + \frac{0,406419}{0,659586 + ν} + 0,00531844 \log (ν),

$b(\nu) = -0.0214885+\frac{0.406419}{0.659586 +\nu}+0.00531844 \log(\nu),$

i

sol (ν, δ) = δ + za (ν) \exp (b (ν) δ) - 1.

$g(\nu, \delta) = \delta + a(\nu) \exp(b(\nu) \delta) - 1.$

Następnie szacuje medianę w granicach 0,15 dla , 0,03 dla $g$ $\nu=1$ , 0,015 dla , i 0,007 dla . $\nu=2$ $\nu=3$ $\nu = 4, 5, \ldots, 20$

Ocenę przeprowadzono przez obliczenie wartości i dla każdej wartości $a$ $b$ od 1 do 20, a następnie oddzielnie montażui do . I zbadano wykresyi , aby określić odpowiednią formę funkcjonalną tych pasowań. $\nu$ $a$ $b$ $\nu$ $a$ $b$

Możesz zrobić to lepiej, skupiając się na interwałach tych parametrów, które Cię interesują. W szczególności, jeśli nie interesują Cię naprawdę małe wartości możesz łatwo poprawić te szacunki, prawdopodobnie w granicach 0,005. $\nu$

Oto wykresy mediany funkcji dla , najtrudniejszy przypadek i ujemne wartości resztkowe (prawdziwa mediana minus wartość przybliżona) w porównaniu do : $\delta$ $\nu=1$ $\delta$

Środkowa t mediana, delta od 0 do 5, nu = 1

Reszty niecentralne t mediany, delta od 0 do 5, nu = 1

Resztki są naprawdę małe w porównaniu do median.

BTW, dla wszystkich oprócz najmniejszych stopni swobody mediana jest zbliżona do parametru niecentryczności. Oto wykres mediany dla od 0 do 5 i (traktowane jako rzeczywisty parametr) od 1 do 20. $\delta$ $\nu$

Środkowa t mediana w stosunku do nu i delty (w pseudo 3D)

Do wielu celów za pomocą $\delta$ do oszacowania mediany może być wystarczające. Oto wykres błędu (w stosunku do ) popełnionego przy założeniu, że mediana jest równa (dla od 2 do 20). $\delta$ $\delta$ $\nu$

(Mediana - delta) / delta kontra delta i nu

— Whuber
źródło

3

+1, super. Jak wymyśliłeś funkcjonalną formę dla

?

g

$g$

— mpiktas

1

@mpiktas Kombinacja patrzenia na formuły dla CDF i wykreślania median kontra

. Wykładniczy, z dwoma parametrami, faktycznie pasuje tak samo jak kwadratowy wielomian (z trzema parametrami).

ν

$\nu$

— whuber

5

Jeśli jesteś zainteresowany (stopniami swobody) ν> 2, następujące wyrażenie asymptotyczne [pochodzące z przybliżenia interpolacyjnego do niecentralnego kwantyla ucznia-t, DL Bartley, Ann. Okupować Hyg., Tom. 52, 2008] jest wystarczająco dokładny do wielu celów:

 Median[ t[δ,ν] ] ~ δ(1 + 1/(3ν)).

Przy ν> 2 maksymalna wartość odchylenia powyższego wyrażenia w stosunku do niecentralnej mediany t-studenta wynosi około 2% i szybko spada wraz ze wzrostem ν. Schemat konturowy pokazuje odchylenie asymptotycznego przybliżenia w stosunku do niecentralnej mediany student-t:

— David Bartley
źródło