Dystrybucja Weibull v / s Dystrybucja gamma

Jaka jest różnica między intuicją stojącą za dystrybucjami Gamma i Weibulla? Czy istnieje związek między dwiema gęstościami?

Uprzejma pomoc.

gamma-distribution weibull

— Vani
źródło

Zarówno rozkłady gamma, jak i Weibulla można postrzegać jako uogólnienia rozkładu wykładniczego. Jeśli spojrzymy na rozkład wykładniczy opisujący czas oczekiwania procesu Poissona (czas, który musimy poczekać, aż zdarzenie się wydarzy, jeśli to zdarzenie może równie dobrze wystąpić w dowolnym przedziale czasu), to rozkład opisuje czas, jaki musimy czekać na wystąpienie niezależnych zdarzeń. $\Gamma(k, \theta)$ $k$

Z drugiej strony rozkład Weibulla skutecznie opisuje czas, jaki musimy czekać na wystąpienie jednego zdarzenia, jeśli zdarzenie to z czasem staje się bardziej lub mniej prawdopodobne. Tutaj parametr opisuje, jak szybko rośnie prawdopodobieństwo (proporcjonalne do ). $k$ $t^{k-1}$

Widzimy różnicę w działaniu, patrząc na pliki pdf obu dystrybucji. Ignorując wszystkie stałe normalizujące:

f_{Γ} (x) \propto x^{k - 1} \exp (- \frac{x}{θ}) f_{W} (x) \propto x^{k - 1} \exp (- {(\frac{x}{λ})}^{k})

$f_{\Gamma}(x) \propto x^{k-1} \exp\left(-\frac{x}{\theta}\right) \\ f_{W}(x) \propto x^{k-1} \exp\left(-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k\right)$

Jak widać z tego, pdf dla rozkładu Weibulla spada znacznie szybciej (dla ) lub powoli (dla ) niż rozkład gamma. W przypadku, gdy , oba zmniejszają się do rozkładu wykładniczego. $k > 1$ $k < 1$ $k = 1$

— Martin O'Leary
źródło

To jest bardzo pomocne! Oczywiście oba rozkłady są często używane dla zmiennych innych niż czas oczekiwania, tak więc wyprowadzenie i motywacja mogą być bardzo różne. Z drugiej strony, Weibull i Poisson zasługują na swoje początkowe stolice, ponieważ są nazwane na cześć ludzi, ale wiele (zaryzykuję większość) dyskusji na temat wykładniczej i gamma nie używa początkowych wielkich liter.

— Nick Cox,

Naprawiono wielkie litery - byłem zmęczony, kiedy napisałem odpowiedź, a PO skapitalizowało wartość Gamma, więc pobiegłem z nią. Oczywiście masz rację, że nie każde użycie tych dystrybucji jest czasem oczekiwania, ale myślę, że zapewnia to najlepszą intuicję. Jeśli istnieje inny dobry sposób myślenia o tym, chciałbym to usłyszeć.

— Martin O'Leary,

Nie mam lepszej ogólnej historii! Wielkie litery (np. Gamma / Gamma) to oczywiście kwestia konwencji, gdy nazwiska nie są zaangażowane.

— Nick Cox,