dotyczące niezależności warunkowej i jej reprezentacji graficznej

Podczas studiowania doboru kowariancji przeczytałem kiedyś następujący przykład. W odniesieniu do następującego modelu:

Macierz kowariancji i odwrotna macierz kowariancji podano w następujący sposób:

I nie rozumiem, dlaczego niezależności i decyduje odwrotnym kowariancji tutaj?$x$$y$

Jaka jest matematyczna logika leżąca u podstaw tego związku?

Ponadto, wykres po lewej stronie na poniższym rysunku zastrzeżono uchwycić związek niezależności pomiędzy i ; dlaczego?$x$$y$

Macierz odwrotnej kowariancji można wykorzystać do obliczenia warunkowych wariancji i kowariancji dla wielowymiarowych rozkładów Gaussa. Wcześniejsze pytanie zawiera pewne odniesienia

Na przykład, aby znaleźć warunkową kowariancję i przy wartości , należy wziąć prawy dolny róg macierzy odwrotnej kowariancjiZ X = $Y$$Z$$X=x$

$$\left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{array} \right) \text{ and re-invert it to }\left( \begin{array}{rr} \tfrac32 & \tfrac12 \\ \tfrac12 & \tfrac12 \end{array} \right)$$

co faktycznie daje macierz kowariancji i uwarunkowaną wartością .Z X = $Y$$Z$$X=x$

Podobnie, aby znaleźć warunkową macierz kowariancji i biorąc pod uwagę wartość , weź lewy górny róg macierzy odwrotnej kowariancjiY Z = $X$$Y$$Z=z$

$$\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \text{ and re-invert it to }\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$$

mówiąc ci, że kowariancja warunkowa między i dla wynosi (i że każda z ich warunkowych wariancji wynosi ). Y Z = z 0 $X$$Y$$Z=z$$0$$1$

Aby dojść do wniosku, że ta zerowa kowariancja warunkowa implikuje warunkową niezależność, musisz również wykorzystać fakt, że jest to wielowymiarowy gaussowski (ponieważ ogólnie zerowa kowariancja niekoniecznie oznacza niezależność). Wiesz o tym z budowy.

Prawdopodobnie wiesz także o warunkowej niezależności od konstrukcji, ponieważ powiedziano ci, że i są iid, więc są uwarunkowane określoną wartością dla , i są również iid . Jeśli wiesz, , nie istnieje dodatkowe informacje od , który pomaga powiedzieć nic na temat możliwych wartości .ϵ 2 Z = z X = z + ϵ 1 Y = z + ϵ 2 Z = z X $\epsilon_1$$\epsilon_2$$Z=z$$X=z+\epsilon_1$$Y=z+\epsilon_2$$Z=z$$X$$Y$

Jest to uzupełnienie poprawnej i zaakceptowanej odpowiedzi. W szczególności pierwotne pytanie zawiera pytanie uzupełniające na temat stwierdzenia wydanego przez książkę.

$X$$Y$

To jest poruszone w tej odpowiedzi i jest to jedyna kwestia poruszona w tej odpowiedzi.

Aby upewnić się, że jesteśmy na tej samej stronie, w dalszej części wykorzystuję tę definicję (nieukierowanego) grafu niezależności warunkowej, który odpowiada (przynajmniej z grubsza) losowym polom Markowa:

$X$$G=(K,E)$$K=\{ 1, 2, \dots, k \}$$(i,j)$$X_i \perp \! \! \! \perp X_j | X_{K \setminus \{i,j\}}$$X_{K \setminus \{i,j\}}$$X_i$$X_j$

Od p. 60 Whittaker, Modele graficzne w stosowanej matematycznej wielowymiarowej statystyce (1990).

$X$$Y$$Z$$X \perp \! \! \perp Y \ | Z$

$X, Y$$Z$$X$$Y$$Z$

$X$$Y$

Jeśli chodzi o lewy wykres, nie ma jasności bez większego kontekstu, ale myślę, że chodzi o to, aby pokazać, jak wyglądałby wykres warunkowej niezależności, gdybyśmy nie mieli zer w tych pozycjach odwrotnej macierzy kowariancji.

$X, Y, Z$