Czy zastosowanie ARMA-GARCH wymaga stacjonarności?

Zamierzam użyć modelu ARMA-GARCH do finansowych szeregów czasowych i zastanawiałem się, czy seria powinna być stacjonarna przed zastosowaniem tego modelu. Wiem, że stosuję model ARMA, seria powinna być stacjonarna, jednak nie jestem pewien co do ARMA-GARCH, ponieważ uwzględniam błędy GARCH, które sugerują grupowanie zmienności i niestałą wariancję, a zatem szereg niestacjonarny bez względu na to, jaką transformację wykonuję .

Czy finansowe szeregi czasowe są zwykle stacjonarne czy niestacjonarne? Próbowałem zastosować test ADF do kilku serii lotnych i uzyskałem wartość p <0,01, co wydaje się wskazywać na stacjonarność, ale sama zasada serii niestabilnych mówi nam, że seria nie jest stacjonarna.

Czy ktoś może mi to wyjaśnić?

Kopiowanie z streszczenia oryginalnej pracy Engle'a :
„Są to średnie zero, szeregowo nieskorelowane procesy z niestałymi wariancjami uwarunkowanymi przeszłością, ale stałe bezwarunkowe wariancje. W przypadku takich procesów niedawna przeszłość dostarcza informacji o wariancji prognozy na jeden okres”.

Kontynuując odniesienia, jak pokazuje autor, który przedstawił GARCH (Bollerslev, Tim (1986). „ Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity ”, Journal of Econometrics, 31: 307-327) dla procesu GARCH (1,1), wystarczy, że dla stacjonarności drugiego rzędu.$\alpha_1 + \beta_1 <1$

Stacjonarność (potrzebna do procedur szacowania) jest definiowana w odniesieniu do bezwarunkowego rozkładu i momentów.

DODATEK
Podsumowując tutaj dyskusję w komentarzach, podejście do modelowania GARCH jest genialnym sposobem modelowania podejrzanej heteroskedastyczności w czasie, tj. Pewnej formy niejednorodności procesu (co spowodowałoby, że proces byłby niestacjonarny) jako obserwowana cecha pochodząca z istnienie pamięci procesu, w istocie indukujące stacjonarność na bezwarunkowym poziomie.

Innymi słowy, wzięliśmy naszych dwóch „wielkich przeciwników” do analizy procesów stochastycznych (heterogeniczność i pamięć) i wykorzystaliśmy jednego do zneutralizowania drugiego - i to jest rzeczywiście strategia inspirowana.

Tak, seria powinna być stacjonarna. Modele GARCH są w rzeczywistości procesami białego szumu o nietrywialnej strukturze zależności. Klasyczny model GARCH (1,1) jest zdefiniowany jako

z

gdzie są niezależnymi standardowymi zmiennymi normalnymi o wariancji jednostkowej.$\varepsilon_t$

Następnie

i

dla . Stąd jest procesem białego szumu. Można jednak pokazać, że jest w rzeczywistości procesem . Zatem GARCH (1,1) jest procesem stacjonarnym, ale ma nie stałą warunkową wariancję.r t r 2 t A R M A ( 1 , 1 $h>0$$r_t$$r_t^2$$ARMA(1,1)$

Dla każdego, kto wciąż zastanawia się nad tym pytaniem, wyjaśnię - grupowanie zmienności wcale nie oznacza, że ​​seria jest niestacjonarna. Sugerowałoby to, że istnieje zmienny reżim warunkowej wariancji, który może nadal spełniać stałość bezwarunkowego rozkładu.

Model GOLCH (1,1) Bollersleva nie jest słabo stacjonarny, gdy , jednak tak naprawdę jest sztywno stacjonarny dla znacznie większego zakresu, Nelson 1990. Dalej Rahbek i Jensen 2004 (wnioskowanie asymptotyczne w niestacjonarnej GARCH), pokazał, że estymator ML dla i jest spójny i asymptotycznie normalny dla każdej specyfikacji parametru, która zapewnia, że ​​model jest niestacjonarny. Łącząc to z wynikami Nelsona 1990 (wszystkie słabe lub ściśle stacjonarne modele GARCH (1,1) mają estymator MLE jako spójny i asymptotycznie normalny), sugeruje, że dowolna kombinacja parametrów i będzie miała spójne i asymptotycznie normalne estymatory.$\alpha_{1}+\beta>1$$\alpha_{1}$$\beta$$\alpha_{1}$$\beta>1$

Należy jednak zauważyć, że jeśli model GARCH (1,1) jest niestacjonarny, to stały warunek wariancji warunkowej nie jest konsekwentnie szacowany.

Niezależnie od tego sugeruje to, że nie musisz martwić się o stacjonarność przed oszacowaniem modelu GARCH. Musisz się jednak zastanawiać, czy wydaje się mieć rozkład symetryczny i czy seria ma wysoką trwałość, ponieważ nie jest to dozwolone w klasycznym modelu GARCH (1,1). Po oszacowaniu modelu warto sprawdzić, czy jeśli pracujesz z szeregami czasu finansowego, ponieważ oznaczałoby to trend warunkowy, który trudno wyobrazić sobie jako tendencję behawioralną wśród inwestorów . Testowanie tego można jednak wykonać za pomocą normalnego testu LR.$\alpha_{1}+\beta=1$

Stacjonarność jest dość niezrozumiana i jest tylko częściowo związana z tym, czy wariancja lub średnia wydaje się zmieniać zawodowo - ponieważ może to nadal występować, podczas gdy proces zachowuje stały bezwarunkowy rozkład. Powodem, dla którego możesz myśleć, że pozorne przesunięcia wariancji mogą spowodować odejście od stacjonarności, jest to, że coś takiego jak trwałe przesunięcie poziomu w równaniu wariancji (lub równanie średnie) z definicji złamałoby stacjonarność. Ale jeśli zmiany są spowodowane dynamiczną specyfikacją modelu, może on być nadal stacjonarny, mimo że średniej nie można zidentyfikować, a zmienność ciągle się zmienia. Innym pięknym przykładem tego jest model DAR (1,1) wprowadzony przez Ling w 2002 roku.

Stacjonarność jest koncepcją teoretyczną, która jest następnie modyfikowana do innych form, takich jak Stałość słabości, którą można łatwo przetestować. Większość testów, takich jak test ADF, jak wspomniałeś, testuje tylko warunki liniowe. efekty ARCH są tworzone dla serii, które nie mają autokorelacji w pierwszej kolejności, ale istnieje zależność w serii kwadratowej.

Proces ARMA-GARCH, o którym mówisz, tutaj zależność drugiego rzędu jest usuwana za pomocą części GARCH, a następnie każda zależność w kategoriach liniowych jest przechwytywana przez proces ARMA.

Sposobem na obejście jest sprawdzenie autokorelacji szeregów kwadratowych, jeśli istnieje zależność, następnie zastosowanie modeli GARCH i sprawdzenie resztek dla jakichkolwiek właściwości liniowych szeregów czasowych, które można następnie modelować przy użyciu procesów ARMA.