Notacja w indeksie dolnym w oczekiwaniach

Jakie jest dokładne znaczenie notacji indeksu dolnego w oczekiwaniach warunkowych w ramach teorii miar? Te indeksy dolne nie pojawiają się w definicji warunkowego oczekiwania, ale możemy zobaczyć na przykład na tej stronie wikipedii . (Pamiętaj, że nie zawsze tak było, ta sama strona kilka miesięcy temu). $\mathbb{E}_X[f(X)]$

Jakie powinno być na przykład znaczenie z i ? $\mathbb{E}_X[X+Y]$ $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ $Y=X+1$

conditional-expectation notation

— Emile
źródło

Bez wątpienia ktoś wprowadzi formalne definicje, nieformalnie wszystkie oczekiwania są oczekiwaniami względem rozkładu (/ oczekiwań w odniesieniu do) niektórych (ewentualnie wielowymiarowych) zmiennych losowych, bez względu na to, czy zostało to wyraźnie określone, czy też dorozumiane. W wielu przypadkach jest to oczywiste (

E (X)

$\text{E}(X)$ oznacza

E_{X} (X)

$\text{E}_X(X)$ zamiast

E_{W} (X)

$\text{E}_W(X)$ ). W innych przypadkach konieczne jest rozróżnienie; rozważmy prawo całkowitej wariancji na przykład:

Var [Y] = E_{X} [Var [Y ∣ X]] + {Var}_{X} [E [Y ∣ X]]

$\text{Var}[Y] = \text{E}_X\left[\text{Var}[Y\mid X]\right] + \text{Var}_X\left[\text{E}[Y\mid X]\right]$ .

— Glen_b,

@Glen_b Czy naprawdę konieczne jest określenie w prawie całkowitej wariancji? Ponieważ , dla niektórych , czy nie jest jasne, że przekracza ?

E [Y | X] = f (X)

$E[Y|X]=f(X)$

f

$f$

Var [E [Y | X]]

$\text{Var}[E[Y|X]]$

X

$X$

— Thomas Ahle,

@ThomasAhle Masz rację - słowo „konieczne” było zbyt mocnym słowem dla tego przykładu. Choć ściśle rzecz biorąc, powinno to być jasne, ale często jest to zamieszanie dla czytelników, którzy nie są skłonni do pracy z nim, więc często jest to wyraźne, a nie konieczne, wyrażanie się na ten temat. Istnieją pewne wyrażenia wiążące się z oczekiwaniami, w których nie można być pewnym bez sprecyzowania, ale tak naprawdę nie jest to jedno z nich

— Glen_b

W wyrażeniu, w którym uczestniczy więcej niż jedna zmienna losowa, sam symbol nie wyjaśnia, w odniesieniu do której zmiennej losowej przyjmuje się oczekiwaną wartość „wziętą”. Na przykład $E$

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E[h(X,Y)] =\text{?} \int_{-\infty}^{\infty} h(x,y) f_X(x)\,dx$ lub

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{Y} (y) d y

$E[h(X,Y)] = \text{?} \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_Y(y)\,dy$

Ani . Gdy w grę wchodzi wiele zmiennych losowych i w symbolu nie ma indeksu dolnego , przyjmuje się oczekiwaną wartość w odniesieniu do ich wspólnego rozkładu: $E$

E [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y

$E[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{XY}(x,y) \, dx \, dy$

Gdy indeks dolny jest obecny ... w niektórych przypadkach informuje nas, na której zmiennej powinniśmy warować . Więc

E_{X} [h (X, Y)] = E [h (X, Y) ∣ X] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{h (X, Y) ∣ X} (h (x, y) ∣ x) d h

$E_X[h(X,Y)] = E[h(X,Y)\mid X] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{h(X,Y)\mid X}(h(x,y)\mid x)\,dh$

... Ale w innych przypadkach mówi nam, jakiej gęstości użyć do „uśrednienia”

E_{X} [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E_X[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{X}(x) \, dx$

Powiedziałbym raczej mylące, ale kto powiedział, że notacja naukowa jest całkowicie wolna od dwuznaczności lub wielokrotnego użytku? Powinieneś spojrzeć, jak każdy autor definiuje użycie takich symboli.

— Alecos Papadopoulos
źródło

Mam dwa pytania. 1) Nie jestem pewien, czy dobrze to rozumiem, czy mogę interpretować to oczekiwanie jako jedno z dwóch pierwszych równań, jeśli X lub Y zostały naprawione? 2) Czy możesz podać przykład EQ 4 i EQ 5? Trudno mi je interpretować i myślę, że pomogłyby konkretne przykłady. Dzięki!

— sufit kot

@ceiling cat 1) jest poprawne, ponieważ zasadniczo nie masz dwie zmienne losowe. Podobnie do mocowania do .

E [h (X, \bar{y})] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, \bar{y}) f_{X} (x) d x

$E[h(X,\bar y)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x,\bar y) f_X(x)dx$

X

$X$

\bar{x}

$\bar x$

— Alecos Papadopoulos

@ceiling cat 2) -EQ5: Rozważ . jest zmienną losową w porządku (dla odpowiedniego wsparcia). Następnie używając specyficznego znaczenia dla skrótu, gdzie jest gęstością (cokolwiek to jest). Oczywiście nie jest zintegrowane i pozostanie nienaruszone. Ale wynik, który uzyskasz wygrał ' t będzie liczbą (jak w moim poprzednim komentarzu), ale zmienną losową (funkcją ), ponieważ tutaj nie jest ustalone, po prostu niezintegrowane

Z = X^{2} (Y - (Y + 2)^{3}) = h (X, Y)

$Z = X^2(Y-(Y+2)^3) = h(X,Y)$

Z

$Z$

E_{X} (Z) = E_{X} [(h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} (y - (y + 2)^{2}) f_{X} (x) d x

$E_X(Z)=E_X[(h(X,Y)] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2(y-(y+2)^2) f_{X}(x)dx$

f_{X} (x)

$f_{X}(x)$

X

$X$

Y

$Y$

Y

$Y$

Y

$Y$

— Alecos Papadopoulos

@ceiling cat W obu przypadkach w moich dwóch poprzednich komentarzach „mechanika” obliczeń matematycznych będzie taka sama. Wyniki końcowe mają jednak różne interpretacje.

— Alecos Papadopoulos

@ceiling kota 2) -EQ4 Rozważmy samą zmienną losową . Jego oczekiwana wartość od to (używając innego znaczenia dla skrótu zapisu) . Zauważ, że tutaj i nie pojawiają się bezpośrednio w całce - są one „skondensowane” w symbolu .

Z

$Z$

X

$X$

E_{X} [Z] = E (Z ∣ X) = \int_{- \infty}^{\infty} z f_{Z | X} (z ∣ x) d z

$E_X[Z] = E(Z\mid X) = \int_{-\infty}^{\infty} z f_{Z|X}(z\mid x)dz$

x

$x$

y

$y$

z

$z$

— Alecos Papadopoulos