Gęstość hiperpriora dla hierarchicznego modelu Gamma-Poissona

W hierarchicznym modelu danych którym wydaje się typowe w praktyce, aby wybierać wartości ( takie, że średnia i wariancja rozkładu gamma w przybliżeniu odpowiadają średniej i wariancji danych (np. Clayton i Kaldor, 1987 „Empirical Bayes Estimates of Standaryzated Age Relative Risks for Disease Mapping”, Biometrics ). Najwyraźniej jest to jednak rozwiązanie ad hoc , ponieważ zawyżałoby zaufanie badacza do parametrów$y$

$$y \sim \textrm{Poisson}(\lambda)$$ $$\lambda \sim \textrm{Gamma}(\alpha, \beta)$$ $\alpha, \beta)$$y$$(\alpha, \beta)$małe fluktuacje w realizowanych danych mogą mieć duże konsekwencje dla gęstości gamma, nawet jeśli proces generowania danych pozostanie taki sam.

Ponadto w Bayesian Data Analysis (2nd Ed) Gelman pisze, że ta metoda jest „ niechlujna ”; w książce i tym artykule (począwszy od s. 3232) zamiast tego sugeruje, że należy wybrać gęstość hiperpriorową , w sposób podobny do przykładu guzów szczurów (początek s. 130).$p(\alpha, \beta)$

Chociaż jasne jest, że jakiekolwiek jest dopuszczalne, o ile powoduje ono skończoną gęstość boczną, nie znalazłem żadnych przykładów gęstości hiperpriorów, które badacze stosowali w przeszłości dla tego problemu. Byłbym bardzo wdzięczny, gdyby ktoś mógł wskazać mi książki lub artykuły, które wykorzystywały gęstość hiperpriorów do oszacowania modelu Poissona-Gammy. Idealnie, interesuje mnie które jest względnie płaskie i byłyby zdominowane przez dane jak w przykładzie guza szczura lub dyskusję porównującą kilka alternatywnych specyfikacji i kompromisy związane z każdym z nich.$p(\alpha, \beta)$$p(\alpha, \beta)$

Naprawdę nie odpowiadam na pytanie, ponieważ nie wskazuję ci książek lub artykułów, które zatrudniały hiperpriora, ale opisuję i odsyłam do materiałów na temat priorów dotyczących parametrów gamma.

Po pierwsze, zauważ, że model Poissona-Gamma prowadzi, gdy jest zintegrowane, do ujemnego rozkładu dwumianowego o parametrach α i β / ( 1 + β ) . Drugi parametr należy do zakresu ( 0 , 1 ) . Jeśli chcesz być nieinformacyjny, odpowiedni może być wcześniejszy Jeffreys na p = β / ( 1 + β ) . Możesz umieścić pierwszeństwo bezpośrednio na p lub przejść przez zmianę zmiennych, aby uzyskać:$\lambda$$\alpha$$\beta/(1+\beta)$$(0,1)$$p = \beta/(1+\beta)$$p$

$p(\beta) \propto \beta^{-1/2}(1+\beta)^{-1}$

Alternatywnie można zauważyć, że jest parametrem skali dla rozkładu gamma, a ogólnie rzecz biorąc, Jeffreys przed parametrem skali β wynosi 1 / β . Może wydawać się dziwne, że wcześniejsze Jeffreys dla β różni się między dwoma modelami, ale same modele nie są równoważne; jeden służy do dystrybucji y | α , β i drugi dotyczy rozkładu λ | α , β . Argumentem przemawiającym na korzyść tego pierwszego jest to, że przy założeniu braku grupowania dane naprawdę są dystrybuowane Dwumian ujemny ( α , $\beta$$\beta$$1/\beta$$\beta$$y | \alpha, \beta$$\lambda | \alpha, \beta$ , więc należy ustawić priory bezpośrednio na α i p . OTOH, jeśli na przykład masz klastry w danych, w których obserwacje w każdym klastrze mają to samo λ , naprawdę musiszjakośmodelować λs , a więc traktowanie β jako parametru skali rozkładu gamma wydaje się bardziej odpowiednie . (Moje przemyślenia na temat potencjalnie kontrowersyjnego tematu).$(\alpha, p)$$\alpha$$p$$\lambda$$\lambda$$\beta$

Pierwszy parametr można również rozwiązać za pośrednictwem Jeffreys priors. Jeśli zastosujemy wspólną technikę opracowywania priorów Jeffreysa dla każdego parametru niezależnie, a następnie formowania połączenia (nie Jeffreysa) przedtem jako iloczyn dwóch priorytów jednoparametrowych, otrzymamy pierwszeństwo dla parametru kształtu rozkładu gamma:$\alpha$

$p(\alpha) \propto \sqrt{\text{PG}(1,\alpha)}$

$\text{PG}(1,\alpha) = \sum_{i=0}^{\infty}(i+\alpha)^{-2}$$1/\beta$

Jeśli chcielibyśmy przejść trasę Full Jeffreys, tworząc prawdziwy Jeffreys przed parametrami Gamma, otrzymalibyśmy:

$p(\alpha, \beta) \propto \sqrt{\alpha \text{PG}(1,\alpha)-1}/\beta$

Jednak priorytety Jeffreysa dla parametrów wielowymiarowych często mają złe właściwości, a także słabą charakterystykę zbieżności (patrz link do wykładu ). Nie wiem, czy tak jest w przypadku gamma, ale testowanie dostarczyłoby użytecznych informacji.

Aby uzyskać więcej informacji na temat priorów dla gamma, zobacz str. 13-14 w Katalogu nieinformacyjnych Priorów , Yang i Berger. Jest tam również wiele innych dystrybucji. Aby zapoznać się z Jeffreys i referencjami a priory, oto kilka notatek z wykładów .