Zależność między zakresem a odchyleniem standardowym

W artykule znalazłem wzór na standardowe odchylenie wielkości próby$N$

$\sigma=\frac{\overline{R}}{2.534}$

gdzie to średni zakres podpróbek (rozmiar ) z próbki głównej. Jak obliczana jest liczba ? To jest poprawny numer? 6$\overline{R}$$6$$2.534$

W przykładowej o n niezależnie od rozkładu wartości F z PDF F , pdf wspólnego dystrybucji skrajnymi min ( x ) = x [ 1 ] i max ( x ) = x [ n ] jest proporcjonalna do$x$$n$$F$$f$$\min(x)=x_{[1]}$$\max(x)=x_{[n]}$

(Stała proporcjonalności jest odwrotnością współczynnika wielomianowego . Intuicyjnie ten wspólny plik PDF wyraża szansę znalezienia najmniejszej wartości z zakresu[x[1],x[1]+dx[1]), największej wartości z zakresu[x[n],x[n]+dx[n]$\binom{n}{1,n-2,1} = n(n-1)$$[x_{[1]},x_{[1]}+dx_{[1]})$$[x_{[n]},x_{[n]}+dx_{[n]})$, a środkowe wartości między nimi w zakresie [ x [ 1 ] + d x [ 1 ] , x [ n ] ) . Gdy F jest ciągłe, możemy zastąpić ten środkowy zakres ( x [ 1 ] , x [ n ] ] , tym samym zaniedbując jedynie „nieskończenie małą” wartość prawdopodobieństwa. Powiązane prawdopodobieństwa, w porządku różniczkowym pierwszego rzędu, to f ( x [ 1 $n-2$$[x_{[1]}+dx_{[1]}, x_{[n]})$$F$$(x_{[1]}, x_{[n]}]$F ( x [ n ] ) d x [ n ] , i F ( x [ n ] ) - F ( x [ 1 ] ) , . R, obecnie co oczywiste, w którym wzór pochodzi)$f(x_{[1]})dx_{[1]},$ $f(x_{[n]})dx_{[n]},$$F(x_{[n]})-F(x_{[1]}),$

Taking the expectation of the range $x_{[n]} - x_{[1]}$ gives $2.53441\ \sigma$ for any Normal distribution with standard deviation $\sigma$ and $n=6$. The expected range as a multiple of $\sigma$ depends on the sample size $n$:

These values were computed by numerically integrating $\binom{n}{1,n-2,1}\left(y-x\right)H_F(x,y)dxdy$ over $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x\le y\}$, with $F$ set to the standard Normal CDF, and dividing by the standard deviation of $F$ (which is just $1$).

Podobny multiplikatywny związek między oczekiwanym zakresem a odchyleniem standardowym będzie obowiązywał dla dowolnej rodziny rozkładów w skali lokalizacji, ponieważ jest to właściwość samego kształtu rozkładu. Na przykład tutaj jest porównywalny wykres jednolitych rozkładów:

i rozkłady wykładnicze:

Wartości z poprzednich dwóch wykresów uzyskano przez dokładną - nie numeryczną - całkowanie, co jest możliwe dzięki względnie prostym formom algebraicznym i F w każdym przypadku. Dla rozkładów jednorodnych wynoszą one n - $f$$F$ a dla rozkładów wykładniczych są oneγ+ψ(n)=γ+ Γ ′ ( n $\frac{n-1}{(n+1)}\sqrt{12}$ gdzieγjest stałą Eulera, aψjest funkcją „polygamma”, logarytmiczną pochodną funkcji Eulera Gamma.$\gamma + \psi(n) = \gamma + \frac{\Gamma'(n)}{\Gamma(n)}$$\gamma$$\psi$

Chociaż różnią się (ponieważ te rozkłady wyświetlają szeroki zakres kształtów), trzy z grubsza zgadzają się wokół , co pokazuje, że mnożnik 2.5 nie zależy silnie od kształtu i dlatego może służyć jako wszechstronna, solidna ocena odchylenia standardowego gdy znane są zakresy małych podpróbek. (Rzeczywiście, bardzo gruboogoniasty rozkład t Studenta z trzema stopniami swobody wciąż ma mnożnik około 2,3 dla n = 6 , wcale nie tak daleko od 2,5 ).$n=6$$2.5$$t$$2.3$$n=6$$2.5$

To przybliżenie jest bardzo zbliżone do rzeczywistego odchylenia standardowego próbki. Napisałem szybki skrypt R, aby to zilustrować:

x = sample(1:10000,6000,replace=TRUE)

B = 100000
R = rep(NA,B)
for(i in 1:B){
    samp = sample(x,6)
    R[i] = max(samp)-min(samp)
}

mean(R)/2.534

sd(x)

co daje:

> mean(R)/2.534
[1] 2819.238
> 
> sd(x)
[1] 2880.924

Teraz nie jestem (jeszcze) pewien, dlaczego to działa, ale przynajmniej wygląda (na pierwszy rzut oka), że przybliżenie jest przyzwoite.

Edycja: Zobacz wyjątkowy komentarz @ Whuber (powyżej), dlaczego to działa