Przykład ścisłej nierówności von Neumanna występuje, gdy funkcja ryzyka spełnia następujące warunki dla niektórych wartości (gdzie pierwsza wartość jest „niska”, a druga „wysoka”):r 0 < r 1rr0<r1
∀π∈Π,∃δ∈Δ:∀δ∈Δ,∃π∈Π:r(π,δ)=r0,r(π,δ)=r1.(1)(2)
Pierwszy warunek mówi, że niezależnie od wcześniejszego, zawsze istnieje reguła decyzyjna o niskim ryzyku , która daje . Drugi warunek mówi, że bez względu na regułę decyzyjną zawsze istnieje uprzednie ryzyko , co daje .sup π ∈ Π inf δ ∈ Δ r ( π , δ ) = r 0 r 1 inf π ∈ Π sup δ ∈ Δ r ( π , δ ) = r 1r0supπ∈Πinfδ∈Δr(π,δ)=r0r1infπ∈Πsupδ∈Δr(π,δ)=r1
Innym sposobem stwierdzenia tej sytuacji jest to, że nie ma reguły decyzyjnej (wybranej przed spotkaniem z przełożonym), która gwarantowałaby niskie ryzyko dla każdego przejęcia (czasami będzie to miało wysokie ryzyko), ale dla każdego z nich istnieje pewna reguła decyzji (wybrana po obejrzeniu wcześniej), która gwarantuje niskie ryzyko. Innymi słowy, aby nałożyć dolną granicę na ryzyko, musimy dostosować zasadę decyzji do wcześniejszej .
Przykład: Prosty przykład tego rodzaju sytuacji występuje, gdy masz parę dozwolonych i parę dopuszczalnych reguł decyzyjnych z macierzą ryzyka taką jak ta:δ 0 , δπ0,π1δ0,δ1
r(π0,δ0)=r0r(π0,δ1)=r1r(π1,δ0)=r1,r(π1,δ1)=r0.
W tym przypadku nie ma reguły decyzyjnej gwarantującej niskie ryzyko w stosunku do obu priorów, ale dla każdego z nich istnieje reguła decyzyjna o niskim ryzyku. Ta sytuacja spełnia powyższe warunki, co powoduje ścisłą nierówność w nierówności von Neumanna.