Estymator maksymalnego prawdopodobieństwa

Jak mogę zbudować asymptotyczny przedział ufności dla rzeczywistego parametru, zaczynając od MLE dla tego parametru?

— Fabrizio
źródło

Jednym ze sposobów rozwiązania tego problemu jest użycie metody delta: en.wikipedia.org/wiki/Delta_method

Zauważyłem, że są głosy, aby zamknąć to pytanie jako zbyt szeroka, ale tam jest ogólny twierdzenie o asymptotycznej zachowanie MLEs które można zwięźle podaną. Podaję zwięzłą odpowiedź, którą rozwinę nieco później.

— Scortchi - Przywróć Monikę

Wykorzystaj fakt, że dla próbki iid o wielkości , biorąc pod uwagę pewne warunki regularności, MLE jest spójnym estymatorem prawdziwego parametru , a jego rozkład asymptotycznie normalny, z wariancją określoną przez odwrotność Informacje o Fisher: $n$ $\hat{\theta}$ $\theta_0$

\sqrt{n} (\hat{θ} - θ_{0}) \to N (0, \frac{1}{I_{1} (θ_{0})})

$\sqrt{n}\left(\hat{\theta}-\theta_0\right) \rightarrow \mathcal{N}\left(0,\frac{1}{\mathcal{I}_1(\theta_0)}\right)$ gdzie to informacje Fishera z pojedynczej próbki. Informacje obserwowane w MLE mają tendencję do asymptotycznej oczekiwanej informacji, dzięki czemu można obliczyć (powiedzmy 95%) przedziały ufności za pomocą

I_{1} (θ_{0})

$\mathcal{I}_1(\theta_0)$

I (\hat{θ})

$I(\hat{\theta})$

\hat{θ} \pm \frac{1.96}{\sqrt{n I_{1} (\hat{θ})}}

$\hat{\theta} \pm \frac{1.96}{\sqrt{nI_1\left(\hat\theta\right)}}$

Na przykład, jeśli jest zmienną Poissona skróconą do zera, możesz uzyskać wzór na obserwowane informacje w zakresie MLE (które musisz obliczyć numerycznie): $X$

f (x) = \frac{e^{- θ} θ^{x}}{x! (1 - e^{- θ})}

$\newcommand{\e}{\mathrm{e}}\newcommand{\d}{\operatorname{d}}f(x) = \frac{\e^{-\theta}\theta^x}{x!(1-e^{-\theta})}$

ℓ (θ) = - θ + x \log θ - \log (1 - e^{- θ})

$\ell(\theta)=-\theta+ x\log\theta -\log(1-\e^{-\theta})$

\frac{d ℓ (θ)}{d θ} = - 1 + \frac{x}{θ} - \frac{e^{- θ}}{1 - e^{- θ}}

$\frac{\d\ell(\theta)}{\d\theta} = -1 +\frac{x}{\theta} - \frac{\e^{-\theta}}{1-\e^{-\theta}}$

I_{1} (\hat{θ}) = - \frac{d^{2} ℓ (\hat{θ})}{{(d \hat{θ})}^{2}} = \frac{x}{\hat{θ}} - \frac{e^{- \hat{θ}}}{{(1 - e^{- \hat{θ}})}^{2}}

$I_1\left(\hat{\theta}\right)=-\frac{\d^2\ell\left(\hat\theta\right)}{\left(\d\hat\theta\right)^2} = \frac{x}{\hat\theta} - \frac{\e^{-\hat\theta}}{\left(1-\e^{-\hat{\theta}}\right)^2}$

Godne uwagi przypadki wyłączone z warunków prawidłowości obejmują te, w których

parametr określa obsługę danych, np. próbkowanie z jednorodnego rozkładu między nic a $\theta$ $\theta$
liczba uciążliwych parametrów rośnie wraz z wielkością próbki

— Scortchi - Przywróć Monikę
źródło

Czy ta metoda ma zastosowanie niezmodyfikowana, gdy istnieją ograniczenia dotyczące , np. ? Co z MLE dla parametrów , takich, że i ?

θ

$\theta$

θ \in [0, 1]

$\theta \in [0, 1]$

N

$N$

θ_{i}

$\theta_i$

i = 0, . . ., N - 1

$i=0,...,N-1$

\sum_{i = 0}^{N - 1} θ_{i} = 1

$\sum_{i=0}^{N-1} \theta_i = 1$

θ_{i} \in [0, 1]

$\theta_i \in [0,1]$

— quant_dev,

Jeśli , tzn. Prawdziwa wartość nie jest równa jednej z granic.

θ \in (0, 1)

$\theta \in (0, 1)$

— Scortchi - Przywróć Monikę

Jeśli i, czy nie oznacza to, że normalne przybliżenie nie ma zastosowania i potrzebuję więcej próbek?

θ \in (0, 1)

$\theta \in (0,1)$

σ (\hat{θ}) > | \hat{θ} |

$\sigma(\hat{\theta}) > |\hat{\theta}|$

— quant_dev

Tak, to tylko asymptotyczny przedział ufności.

— Scortchi - Przywróć Monikę

@ quant_dev: Nie: szukałbyś transformacji parametrów, które sprawiły, że normalne przybliżenie jest przyzwoite - lub użyć innej metody.

— Scortchi - Przywróć Monikę

Estymator maksymalnego prawdopodobieństwa - przedział ufności