Jak obliczyć współczynnik prawa Zipfa z zestawu najwyższych częstotliwości?

Mam kilka częstotliwości zapytań i muszę oszacować współczynnik prawa Zipfa. Oto najwyższe częstotliwości:

26486
12053
5052
3033
2536
2391
1444
1220
1152
1039

Aktualizacja Zaktualizowałem kod z estymatorem maksymalnego prawdopodobieństwa zgodnie z sugestią @whuber. Minimalizacja sumy kwadratów różnic między logicznymi prawdopodobieństwami teoretycznymi a częstotliwościami logów daje odpowiedź, byłaby to procedura statystyczna, gdyby można było wykazać, że jest to pewnego rodzaju M-estymator. Niestety nie mogłem wymyślić żadnego, który mógłby dać takie same wyniki.

Oto moja próba. Obliczam logarytmy częstotliwości i próbuję dopasować je do logarytmów teoretycznych prawdopodobieństw podanych przez ten wzór . Ostateczny wynik wydaje się rozsądny. Oto mój kod w R.

fr <- c(26486, 12053, 5052, 3033, 2536, 2391, 1444, 1220, 1152, 1039)

p <- fr/sum(fr)

lzipf <- function(s,N) -s*log(1:N)-log(sum(1/(1:N)^s))

opt.f <- function(s) sum((log(p)-lzipf(s,length(p)))^2)

opt <- optimize(opt.f,c(0.5,10))

> opt
$minimum
[1] 1.463946

$objective
[1] 0.1346248

Najlepsze dopasowanie kwadratowe to .$s=1.47$

Maksymalne prawdopodobieństwo w R można wykonać za pomocą mlefunkcji (z stats4pakietu), która pomaga obliczać standardowe błędy (jeśli podano poprawną ujemną funkcję maksymalnego prawdopodobieństwa):

ll <- function(s) sum(fr*(s*log(1:10)+log(sum(1/(1:10)^s))))

fit <- mle(ll,start=list(s=1))

> summary(fit)
Maximum likelihood estimation

Call:
mle(minuslogl = ll, start = list(s = 1))

Coefficients:
  Estimate  Std. Error
s 1.451385 0.005715046

-2 log L: 188093.4 

Oto wykres dopasowania do skali log-log (ponownie jak sugerował @whuber):

s.sq <- opt$minimum
s.ll <- coef(fit)

plot(1:10,p,log="xy")
lines(1:10,exp(lzipf(s.sq,10)),col=2)
lines(1:10,exp(lzipf(s.ll,10)),col=3)

Czerwona linia jest sumą dopasowania kwadratów, zielona linia jest dopasowaniem o najwyższym prawdopodobieństwie.

Istnieje kilka kwestii przed nami w każdym problemu estymacji:

1. Oszacuj parametr.

2. Oceń jakość tego oszacowania.

3. Przeglądaj dane.

4. Oceń dopasowanie.

Dla tych, którzy używają metod statystycznych do zrozumienia i komunikacji, pierwsza nigdy nie powinna zostać wykonana bez innych.

$i=1,2,\ldots,n$$i^{-s}$$s$$s\gt 0$

$i$$1$$n$

$f_i, i=1,2,\ldots, n$

Zatem prawdopodobieństwo dziennika dla danych wynosi

$s$

$\hat{s} = 1.45041$$\Lambda(\hat{s}) = -94046.7$$\hat{s}_{ls} = 1.463946$$\Lambda(\hat{s}_{ls}) = -94049.5$

$s$$[1.43922, 1.46162]$

Biorąc pod uwagę naturę prawa Zipf, właściwym sposobem na wykres to dopasowanie jest na wykresie dziennika , gdzie dopasowanie będzie liniowe (z definicji):

Aby ocenić dobroć dopasowania i zbadać dane, spójrz na pozostałości (dane / dopasowanie, osie log-log):

$\chi^2 = 656.476$

Ponieważ reszty wydają się losowe, w niektórych aplikacjach możemy być zadowoleni z przyjęcia prawa Zipfa (i naszego oszacowania parametru) jako akceptowalnego, choć przybliżonego opisu częstotliwości . Ta analiza pokazuje jednak, że błędem byłoby przypuszczać, że oszacowanie ma jakąkolwiek wartość wyjaśniającą lub predykcyjną dla badanego zestawu danych.

$s$

Jeden z probabilistycznych języków programowania, takich jak PyMC3, sprawia, że ​​oszacowanie jest stosunkowo proste. Inne języki to Stan, który ma wspaniałe funkcje i wspierającą społeczność.

Oto moja implementacja w Pythonie modelu dopasowanego do danych PO (także w Github ):

import theano.tensor as tt
import numpy as np
import pymc3 as pm
import matplotlib.pyplot as plt

data = np.array( [26486, 12053, 5052, 3033, 2536, 2391, 1444, 1220, 1152, 1039] )

N = len( data )

print( "Number of data points: %d" % N )

def build_model():
    with pm.Model() as model:
        # unsure about the prior...
        #s = pm.Normal( 's', mu=0.0, sd=100 )
        #s = pm.HalfNormal( 's', sd=10 )
        s = pm.Gamma('s', alpha=1, beta=10)

        def logp( f ):
            r = tt.arange( 1, N+1 )
            return -s * tt.sum( f * tt.log(r) ) - tt.sum( f ) * tt.log( tt.sum(tt.power(1.0/r,s)) )

        pm.DensityDist( 'obs', logp=logp, observed={'f': data} )

    return model


def run( n_samples=10000 ):
    model = build_model()
    with model:
        start = pm.find_MAP()
        step = pm.NUTS( scaling=start )
        trace = pm.sample( n_samples, step=step, start=start )

    pm.summary( trace )
    pm.traceplot( trace )
    pm.plot_posterior( trace, kde_plot=True )
    plt.show()

if __name__ == '__main__':
    run()

$s$$s$

Aby zapewnić podstawową diagnostykę próbkowania, możemy zobaczyć, że próbkowanie było „dobrze mieszane”, ponieważ nie widzimy żadnej struktury w śladzie:

Do uruchomienia kodu potrzebny jest Python z zainstalowanymi pakietami Theano i PyMC3.

Dzięki @ w-huber za wspaniałą odpowiedź i komentarze!

Oto moja próba dopasowania danych, oceny i eksploracji wyników za pomocą VGAM:

require("VGAM")

freq <- dzipf(1:100, N = 100, s = 1)*1000 #randomizing values
freq <- freq  + abs(rnorm(n=1,m=0, sd=100)) #adding noize

zdata <- data.frame(y = rank(-freq, ties.method = "first") , ofreq = freq)
fit = vglm(y ~ 1, zipf, zdata, trace = TRUE,weight = ofreq,crit = "coef")
summary(fit)

s <- (shat <- Coef(fit)) # the coefficient we've found
probs <- dzipf(zdata$y, N = length(freq), s = s) # expected values
chisq.test(zdata$ofreq, p = probs) 
plot(zdata$y,(zdata$ofreq),log="xy") #log log graph
lines(zdata$y, (probs)*sum(zdata$ofreq),  col="red") # red line, num of predicted frequency

    Chi-squared test for given probabilities

data:  zdata$ofreq
X-squared = 99.756, df = 99, p-value = 0.4598

W naszym przypadku zerowymi hipotezami Chi kwadrat jest to, że dane są dystrybuowane zgodnie z prawem zipf, a zatem większe wartości p potwierdzają twierdzenie, że dane są dystrybuowane zgodnie z nim. Zauważ, że nawet bardzo duże wartości p nie są dowodem, a jedynie wskaźnikiem.

$x = 1$$\hat{w_{x=1}}$

$\hat{w_{x=1}} = 0.4695599775$

Ponownie UWSE zapewnia tylko spójne oszacowanie - brak przedziałów ufności, i możemy zobaczyć kompromis w dokładności. Powyższe rozwiązanie mpiktas jest również aplikacją UWSE - chociaż programowanie jest wymagane. Pełne wyjaśnienie estymatora znajduje się na stronie : https://paradsp.wordpress.com/ - na samym dole.

Moje rozwiązanie stara się być komplementarne do odpowiedzi udzielonych przez mpiktas i whuber wykonujących implementację w Pythonie. Nasze częstotliwości i zakresy x to:

freqs = np.asarray([26486, 12053, 5052, 3033, 2536, 2391, 1444, 1220, 1152, 1039])
x = np.asarray([1, 2, 3, 4, 5 ,6 ,7 ,8 ,9, 10])

Ponieważ nasza funkcja nie jest zdefiniowana we wszystkich zakresach, musimy sprawdzać, czy normalizujemy się za każdym razem, gdy ją obliczamy. W przypadku dyskretnym prostym przybliżeniem jest podzielenie przez sumę wszystkich y (x). W ten sposób możemy porównać różne parametry.

f,ax = plt.subplots()
ax.plot(x, f1, 'o')
ax.set_xscale("log")
ax.set_yscale("log")

def loglik(b):  
    # Power law function
    Probabilities = x**(-b)

    # Normalized
    Probabilities = Probabilities/Probabilities.sum()

    # Log Likelihoood
    Lvector = np.log(Probabilities)

    # Multiply the vector by frequencies
    Lvector = np.log(Probabilities) * freqs

    # LL is the sum
    L = Lvector.sum()

    # We want to maximize LogLikelihood or minimize (-1)*LogLikelihood
    return(-L)

s_best = minimize(loglik, [2])
print(s_best)
ax.plot(x, freqs[0]*x**-s_best.x)

Wynik daje nam nachylenie 1,450408, jak w poprzednich odpowiedziach.