Definicja czasu autokorelacji (dla efektywnej wielkości próby)

Znalazłem w literaturze dwie definicje czasu autokorelacji słabo stacjonarnych szeregów czasowych:

$$\tau_a = 1+2\sum_{k=1}^\infty \rho_k \quad \text{versus} \quad \tau_b = 1+2\sum_{k=1}^\infty \left|\rho_k\right|$$

gdzie to autokorelacja z opóźnieniem . $\rho_k = \frac{\text{Cov}[X_t,X_{t+h}]}{\text{Var}[X_t]}$$k$

Jednym z zastosowań czasu autokorelacji jest znalezienie „efektywnej wielkości próby”: jeśli masz obserwacji szeregu czasowego i znasz jego czas autokorelacji , możesz udawać, że masz$n$$\tau$

$$n_\text{eff} = \frac{n}{\tau}$$

niezależne próbki zamiast skorelowanych próbek w celu znalezienia średniej. Oszacowanie podstawie danych nie jest trywialne, ale można to zrobić na kilka sposobów (patrz Thompson 2010 ).$n$$\tau$

Definicja bez wartości bezwzględnych, , wydaje się bardziej powszechna w literaturze; ale dopuszcza możliwość . Używając R i pakietu „coda”:τ a < $\tau_a$$\tau_a<1$

require(coda)
ts.uncorr <- arima.sim(model=list(),n=10000)         # white noise 
ts.corr <- arima.sim(model=list(ar=-0.5),n=10000)    # AR(1)
effectiveSize(ts.uncorr)                             # Sanity check
    # result should be close to 10000
effectiveSize(ts.corr)
    # result is in the neighborhood of 30000... ???

Funkcja „efektywna wielkość” w „kodzie” wykorzystuje definicję czasu autokorelacji równoważną powyżej. Istnieje kilka innych pakietów R, które obliczają efektywną wielkość próbki lub czas autokorelacji, a wszystkie te, które próbowałem, dają wyniki zgodne z tym: proces AR (1) z ujemnym współczynnikiem AR ma próbki bardziej skuteczne niż skorelowane szereg czasowy. To wydaje się dziwne. $\tau_a$

Oczywiście nie może się to zdarzyć w definicji czasu autokorelacji.$\tau_b$

Jaka jest prawidłowa definicja czasu autokorelacji? Czy coś jest nie tak z moim rozumieniem efektywnych wielkości próbek? Powyższy wynik wydaje się, że musi być nieprawidłowy ... co się dzieje?$n_\text{eff} > n$

Po pierwsze, odpowiednia definicja „efektywnej wielkości próby” jest powiązana z IMO z dość konkretnym pytaniem. Jeśli są identycznie rozmieszczone ze średnią ľ i wariancji 1 empiryczną średnią ľ = $X_1, X_2, \ldots$$\mu$

$$\hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k$$ $\mu$$n^{-1}$$\hat{\mu}$ $$\frac{1}{n^2} \sum_{k, l=1}^n \text{cov}(X_k, X_l) = \frac{1}{n}\left(1 + 2\left(\frac{n-1}{n} \rho_1 + \frac{n-2}{n} \rho_2 + \ldots + \frac{1}{n} \rho_{n-1}\right) \right) \simeq \frac{\tau_a}{n}.$$ $n$$n_{\text{eff}} = n/\tau_a$$n_{\text{eff}}^{-1}$$n_{\text{eff}}$$n_{\text{eff}} = n/\tau_a$

$n^{-1}$$n_{\text{eff}} > n$

patrz http://arxiv.org/pdf/1403.5536v1.pdf

i

https://cran.r-project.org/web/packages/mcmcse/mcmcse.pdf

dla efektywnej wielkości próbki. Myślę, że alternatywny preparat wykorzystujący stosunek wariancji próbki i asymptotycznej wariancji łańcucha Markowa przez średnią serii jest bardziej odpowiednim estymatorem.