Motywacja algorytmu maksymalizacji oczekiwań

W podejściu algorytmu EM wykorzystujemy nierówność Jensena do uzyskania

$$\log p(x|\theta) \geq \int \log p(z,x|\theta) p(z|x,\theta^{(k)}) dz - \int \log p(z|x,\theta) p(z|x,\theta^{(k)})dz$$

$\theta^{(k+1)}$

$$\theta^{(k+1)}=\arg \max_{\theta}\int \log p(z,x|\theta) p(z|x,\theta^{(k)}) dz$$

Wszystko, co czytam EM, po prostu go rozwala, ale zawsze czułem się nieswojo, nie mając wyjaśnienia, dlaczego algorytm EM powstaje naturalnie. Rozumiem, że prawdopodobieństwo zwykle zajmuje się dodawaniem zamiast mnożenia, ale pojawienie się w definicji wydaje mi się niemotywowane. Dlaczego warto brać pod uwagę a nie inne funkcje monotoniczne? Z różnych powodów podejrzewam, że „znaczenie” lub „motywacja” stojąca za maksymalizacją oczekiwań ma jakieś wyjaśnienie w zakresie teorii informacji i wystarczających statystyk. Gdyby istniało takie wyjaśnienie, które byłoby znacznie bardziej satysfakcjonujące niż tylko abstrakcyjny algorytm.$\log$$\log$$\theta^{(k+1)}$$\log$

Algorytm EM ma różne interpretacje i może występować w różnych formach w różnych aplikacjach.

Wszystko zaczyna się od funkcji wiarygodności $p(x \vert \theta)$ lub równoważnie funkcji log-wiarygodności $\log p(x \vert \theta)$ którą chcielibyśmy zmaksymalizować. (Na ogół używamy logarytmu, ponieważ upraszcza obliczenia: jest ściśle monotoniczny, wklęsły i $\log(ab) = \log a + \log b$ .) W idealnym świecie wartość $p$ zależy tylko od parametru modelu $\theta$ , więc możemy przeszukać przestrzeń $\theta$ i znaleźć taki, który maksymalizuje$p$ .

Jednak w wielu interesujących rzeczywistych aplikacjach rzeczy są bardziej skomplikowane, ponieważ nie wszystkie zmienne są obserwowane. Tak, możemy bezpośrednio zaobserwować $x$ , ale niektóre inne zmienne $z$ nie są obserwowane. Ze względu na brakujące zmienne $z$ jesteśmy w pewnej sytuacji z kurczakiem i jajami: bez $z$ nie możemy oszacować parametru $\theta$ a bez $\theta$ nie możemy wywnioskować, jaka może być wartość $z$ .

To tutaj pojawia się algorytm EM. Zaczynamy od wstępnego odgadnięcia parametrów modelu $\theta$ i uzyskujemy oczekiwane wartości brakujących zmiennych $z$ (tj. Krok E). Gdy mamy wartości $z$ , możemy zmaksymalizować prawdopodobieństwo wrt Parametry $\theta$ (czyli krok M, odpowiadający $\arg \max$ równania w rachunku problem). Dzięki temu $\theta$ możemy uzyskać nowe oczekiwane wartości $z$ (kolejny krok E), itd. I tak dalej. Innymi słowy, w każdym kroku zakładamy jedno z obu, $z$ i $\theta$, jest znany. Powtarzamy ten iteracyjny proces, dopóki nie można już zwiększyć prawdopodobieństwa.

To jest algorytm EM w pigułce. Powszechnie wiadomo, że prawdopodobieństwo nigdy nie spadnie podczas tego iteracyjnego procesu EM. Pamiętaj jednak, że algorytm EM nie gwarantuje globalnego optimum. Oznacza to, że może skończyć się lokalnym optimum dla funkcji prawdopodobieństwa.

Pojawienie się w równaniu θ ( k + 1 ) jest nieuniknione, ponieważ tutaj funkcja, którą chciałbyś zmaksymalizować, zapisywana jest jako prawdopodobieństwo logarytmiczne.$\log$$\theta^{(k+1)}$

Prawdopodobieństwo a prawdopodobieństwo dziennika

Jak już powiedziano, jest wprowadzany z maksymalnym prawdopodobieństwem po prostu dlatego, że ogólnie łatwiej jest zoptymalizować sumy niż produkty. Powodem, dla którego nie bierzemy pod uwagę innych funkcji monotonicznych, jest to, że logarytm jest unikalną funkcją z właściwością przekształcania produktów w sumy.$\log$

Innym sposobem motywowania logarytmu jest: Zamiast maksymalizować prawdopodobieństwo danych w naszym modelu, moglibyśmy w równoważny sposób spróbować zminimalizować rozbieżność Kullbacka-Leiblera między rozkładem danych, danych i rozkładem modelu, p ( x ∣ θ ) ,$p_\text{data}(x)$$p(x \mid \theta)$

$$D_\text{KL}[p_\text{data}(x) \mid\mid p(x \mid \theta)] = \int p_\text{data}(x) \log \frac{p_\text{data}(x)}{p(x \mid \theta)} \, dx = const - \int p_\text{data}(x)\log p(x \mid \theta) \, dx.$$

Pierwszy termin po prawej stronie jest stały w parametrach. Jeśli mamy próbek z rozkładu danych (naszych punktów danych), możemy aproksymować drugi termin ze średnim prawdopodobieństwem logarytmicznym danych,$N$

$$\int p_\text{data}(x)\log p(x \mid \theta) \, dx \approx \frac{1}{N} \sum_n \log p(x_n \mid \theta).$$

Alternatywny pogląd na EM

Nie jestem pewien, czy to będzie tego rodzaju wyjaśnienie, którego szukasz, ale znalazłem następujący pogląd na maksymalizację oczekiwań o wiele bardziej pouczającą niż jej motywacja poprzez nierówność Jensena (szczegółowy opis znajdziesz w Neal i Hinton (1998)) lub w książce PRML Chrisa Bishopa, rozdział 9.3).

Nietrudno to pokazać

$$\log p(x \mid \theta) = \int q(z \mid x) \log \frac{p(x, z \mid \theta)}{q(z \mid x)} \, dz + D_\text{KL}[q(z \mid x) \mid\mid p(z \mid x, \theta)]$$

dla dowolnego . Jeśli nazwiemy pierwszy termin po prawej stronie F ( q , θ ) , oznacza to, że$q(z \mid x)$$F(q, \theta)$

$$F(q, \theta) = \int q(z \mid x) \log \frac{p(x, z \mid \theta)}{q(z \mid x)} \, dz = \log p(x \mid \theta) - D_\text{KL}[q(z \mid x) \mid\mid p(z \mid x, \theta)].$$

Ponieważ rozbieżność KL jest zawsze dodatnia , jest dolną granicą prawdopodobieństwa logarytmicznego dla każdego ustalonego q . Teraz EM można postrzegać jako naprzemiennie maksymalizujący F w stosunku do q i θ . W szczególności, ustawienie Q ( z | x ) = P ( z | x , θ ) w etapie E, to zminimalizowania rozbieżności KL po stronie prawej, a zatem maksymalizacji F .$F(q, \theta)$$q$$F$$q$$\theta$$q(z \mid x) = p(z \mid x, \theta)$$F$

The paper that I found clarifying with respect to expectation-maximization is Bayesian K-Means as a "Maximization-Expectation" Algorithm (pdf) by Welling and Kurihara.

Suppose we have a probabilistic model $p(x,z,\theta)$ with $x$ observations, $z$ hidden random variables, and a total of $\theta$ parameters. We are given a dataset $D$ and are forced (by higher powers) to establish $p(z,\theta|D)$.

1. Gibbs sampling

We can approximate $p(z,\theta|D)$ by sampling. Gibbs sampling gives $p(z,\theta|D)$ by alternating:

$$\theta \sim p(\theta|z,D) \\ z \sim p(z|\theta,D)$$

2. Variational Bayes

Instead, we can try to establish a distribution $q(\theta)$ and $q(z)$ and minimize the difference with the distribution we are after $p(\theta,z|D)$. The difference between distributions has a convenient fancy name, the KL-divergence. To minimize $KL[q(\theta)q(z)||p(\theta,z|D)]$ we update:

$$q(\theta) \propto \exp (E [\log p(\theta,z,D) ]_{q(z)} ) \\ q(z) \propto \exp (E [\log p(\theta,z,D) ]_{q(\theta)} )$$

3. Oczekiwanie-maksymalizacja

$z$$\theta$ might be considered extreme. Why don't we instead consider a point estimate for one of these and keep the other nice and nuanced. In EM the parameter $\theta$ is established as the one being unworthy of a full distribution, and set to its MAP (Maximum A Posteriori) value, $\theta^*$.

$$\theta^* = \underset{\theta}{\operatorname{argmax}} E [\log p(\theta,z,D) ]_{q(z)} \\ q(z) = p(z|\theta^*,D)$$

Here $\theta^* \in \operatorname{argmax}$ would actually be a better notation: the argmax operator can return multiple values. But let's not nitpick. Compared to variational Bayes you see that correcting for the $\log$ by $\exp$ doesn't change the result, so that is not necessary anymore.

4. Maximization-Expectation

There is no reason to treat $z$ as a spoiled child. We can just as well use point estimates $z^*$ for our hidden variables and give the parameters $\theta$ the luxury of a full distribution.

$$z^* = \underset{z}{\operatorname{argmax}} E [\log p(\theta,z,D) ]_{q(\theta)} \\ q(\theta) = p(\theta|z^*,D)$$

If our hidden variables $z$ are indicator variables, we suddenly have a computationally cheap method to perform inference on the number of clusters. This is in other words: model selection (or automatic relevance detection or imagine another fancy name).

5. Iterated conditional modes

Of course, the poster child of approximate inference is to use point estimates for both the parameters $\theta$ as well as the observations $z$.

$$\theta^* = \underset{\theta}{\operatorname{argmax}} p(\theta,z^*,D) \\ z^* = \underset{z}{\operatorname{argmax}} p(\theta^*,z,D) \\ $$

To see how Maximization-Expectation plays out I highly recommend the article. In my opinion, the strength of this article is however not the application to a $k$-means alternative, but this lucid and concise exposition of approximation.

There is a useful optimisation technique underlying the EM algorithm. However, it's usually expressed in the language of probability theory so it's hard to see that at the core is a method that has nothing to do with probability and expectation.

Consider the problem of maximising

$$g(x)=\sum_i\exp(f_i(x))$$ (or equivalently $\log g(x)$) with respect to $x$. If you write down an expression for $g'(x)$ and set it equal to zero you will often end up with a transcendental equation to solve. These can be nasty.

Now suppose that the $f_i$ play well together in the sense that linear combinations of them give you something easy to optimise. For example, if all of the $f_i(x)$ are quadratic in $x$ then a linear combination of the $f_i(x)$ will also be quadratic, and hence easy to optimise.

Given this supposition, it'd be cool if, in order to optimise $\log g(x)=\log \sum_i\exp(f_i(x))$ we could somehow shuffle the $\log$ past the $\sum$ so it could meet the $\exp$s and eliminate them. Then the $f_i$ could play together. But we can't do that.

Let's do the next best thing. We'll make another function $h$ that is similar to $g$. And we'll make it out of linear combinations of the $f_i$.

Let's say $x_0$ is a guess for an optimal value. We'd like to improve this. Let's find another function $h$ that matches $g$ and its derivative at $x_0$, i.e. $g(x_0)=h(x_0)$ and $g'(x_0)=h'(x_0)$. If you plot a graph of $h$ in a small neighbourhood of $x_0$ it's going to look similar to $g$.

You can show that

$$g'(x)=\sum_i f_i'(x)\exp(f_i(x)).$$ We want something that matches this at $x_0$. There's a natural choice: $$h(x)=\mbox{constant}+\sum_i f_i(x)\exp(f_i(x_0)).$$ You can see they match at $x=x_0$. We get $$h'(x)=\sum_i f_i'(x)\exp(f_i(x_0)).$$ As $x_0$ is a constant we have a simple linear combination of the $f_i$ whose derivative matches $g$. We just have to choose the constant in $h$ to make $g(x_0)=h(x_0)$.

So starting with $x_0$, we form $h(x)$ and optimise that. Because it's similar to $g(x)$ in the neighbourhood of $x_0$ we hope the optimum of $h$ is similar to the optimum of g. Once you have a new estimate, construct the next $h$ and repeat.

I hope this has motivated the choice of $h$. This is exactly the procedure that takes place in EM.

But there's one more important point. Using Jensen's inequality you can show that $h(x)\le g(x)$. This means that when you optimise $h(x)$ you always get an $x$ that makes $g$ bigger compared to $g(x_0)$. So even though $h$ was motivated by its local similarity to $g$, it's safe to globally maximise $h$ at each iteration. The hope I mentioned above isn't required.

This also gives a clue to when to use EM: when linear combinations of the arguments to the $\exp$ function are easier to optimise. For example when they're quadratic - as happens when working with mixtures of Gaussians. This is particularly relevant to statistics where many of the standard distributions are from exponential families.

As you said, I will not go into technical details. There are quite a few very nice tutorials. One of my favourites are Andrew Ng's lecture notes. Take a look also at the references here.

1. EM is naturally motivated in mixture models and models with hidden factors in general. Take for example the case of Gaussian mixture models (GMM). Here we model the density of the observations as a weighted sum of $K$ gaussians:

   $$p(x) = \sum_{i=1}^{K}\pi_{i} \mathcal{N}(x|\mu_{i}, \Sigma_{i})$$ where $\pi_{i}$ is the probability that the sample $x$ was caused/generated by the ith component, $\mu_{i}$ is the mean of the distribution, and $\Sigma_{i}$ is the covariance matrix. The way to understand this expression is the following: each data sample has been generated/caused by one component, but we do not know which one. The approach is then to express the uncertainty in terms of probability ($\pi_{i}$ represents the chances that the ith component can account for that sample), and take the weighted sum. As a concrete example, imagine you want to cluster text documents. The idea is to assume that each document belong to a topic (science, sports,...) which you do not know beforehand!. The possible topics are hidden variables. Then you are given a bunch of documents, and by counting n-grams or whatever features you extract, you want to then find those clusters and see to which cluster each document belongs to. EM is a procedure which attacks this problem step-wise: the expectation step attempts to improve the assignments of the samples it has achieved so far. The maximization step you improve the parameters of the mixture, in other words, the form of the clusters.

2. The point is not using monotonic functions but convex functions. And the reason is the Jensen's inequality which ensures that the estimates of the EM algorithm will improve at every step.