Szacowanie współczynników regresji logistycznej w projekcie sterowania przypadkami, gdy zmienna wynikowa nie ma statusu przypadku / kontroli

Rozważ próbkowanie danych z populacji o wielkości w następujący sposób: Dla $N$ $k=1, ..., N$

Obserwować indywidualne statusu «choroba» „s $k$
Jeśli mają chorobę, włącz je do próbki z prawdopodobieństwem $p_{k1}$
Jeśli nie je z prawdopodobieństwem $p_{k0}$ .

Załóżmy, że zaobserwowałeś binarną zmienną wyniku $Y_i$ i wektor predykcyjny ${\bf X}_i$ , dla $i=1, ..., n$ badanych próbkowano w ten sposób. Zmienna wynikowa nie jest statusem „choroby”. Chcę oszacować parametry modelu regresji logistycznej:

\log (\frac{P (Y_{i} = 1 | X_{i})}{P (Y_{i} = 0 | X_{i})}) = α + X_{i} β

$\log \left( \frac{ P(Y_i = 1 | {\bf X}_i) }{ P(Y_i = 0 | {\bf X}_i) } \right) = \alpha + {\bf X}_i {\boldsymbol \beta}$

Jedyne, na czym mi zależy, to (log) iloraz szans ${\boldsymbol \beta}$ . Przechwycenie jest dla mnie nieistotne.

Moje pytanie brzmi: czy mogę uzyskać rozsądne oszacowania , ignorując prawdopodobieństwa próbkowania , i dopasowując model tak, jakby to była zwykła losowa próbka? ${\boldsymbol \beta}$ $\{ p_{i1}, p_{i0} \}$ $i=1, ..., n$

Jestem prawie pewien, że odpowiedź na to pytanie brzmi „tak”. To, czego szukam, to referencja, która to potwierdza.

Są dwa główne powody, dla których jestem pewien co do odpowiedzi:

Przeprowadziłem wiele badań symulacyjnych i żadne z nich nie jest temu przeciwne, i
Łatwo jest pokazać, że jeśli populacją rządzi powyższy model, wówczas modelem rządzącym próbkowanymi danymi jest

\log (\frac{P (Y_{i} = 1 | X_{i})}{P (Y_{i} = 0 | X_{i})}) = \log (p_{i 1}) - \log (p_{i 0}) + α + X_{i} β

$\log \left( \frac{ P(Y_i = 1 | {\bf X}_i) }{ P(Y_i = 0 | {\bf X}_i) } \right) = \log(p_{i1}) - \log(p_{i0}) + \alpha + {\bf X}_i {\boldsymbol \beta}$

Jeśli prawdopodobieństwa próbkowania nie zależą od , to oznaczałoby to proste przejście do punktu przecięcia i estymacja punktowa byłaby oczywiście niezmieniona. Ale jeśli przesunięcia są różne dla każdej osoby, ta logika nie do końca się stosuje, ponieważ z pewnością otrzymasz inną ocenę punktową, chociaż podejrzewam, że coś podobnego ma. $i$ ${\boldsymbol \beta}$

Powiązane: Klasyczny artykuł Prentice i Pyke (1979) mówi, że współczynniki regresji logistycznej z kontroli przypadków (ze statusem choroby jako wynikiem) mają taki sam rozkład, jak te zebrane w prospektywnym badaniu. Podejrzewam, że ten sam wynik miałby zastosowanie tutaj, ale muszę przyznać, że nie do końca rozumiem każdą część tekstu.

Z góry dziękuję za wszelkie komentarze / referencje.

logistic case-control-study

— Makro
źródło

Stwierdzasz, że „zmienna wynikowa nie jest statusem choroby ”. Co oznacza ? Witamy ponownie w CV, btw.

Y_{i} = 1

$Y_i=1$

— gung - Przywróć Monikę

Y_{i}

$Y_i$ to inna zmienna. Chodzi mi o to, że zmienna, która decyduje o prawdopodobieństwie próbkowania (zwykle stan choroby w kontroli przypadku), nie jest taka sama jak zmienna wyniku - pomyśl wtórną analizę zestawu danych. Załóżmy na przykład, że próbka została wygenerowana przez systematyczne pobieranie próbek od użytkowników narkotyków i dodatkowy (dopasowany do częstotliwości, wrt pewnych współzmiennych) zestaw nieużywających narkotyków, ale badana zmienna wynikowa to jakiś inny pomiar behawioralny. W takim przypadku schemat pobierania próbek jest uciążliwy. Dzięki, btw!

— Makro,

Jest to odmiana modelu selekcji w ekonometrii. Ważność szacunków przy użyciu tylko wybranej próbki tutaj zależy od warunku, że . Tutaj jest stan choroby „s. $\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=1\right)=\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=0\right)$ $D_i$ $i$

Aby podać więcej szczegółów, zdefiniuj następujące oznaczenia: i ; odwołuje się do przypadku, znajduje się w próbce. Ponadto, dla uproszczenia załóżmy, że jest niezależny od . $\pi_{1}=\Pr\left(D_{i}=1\right)$ $\pi_{0}=\Pr\left(D_{i}=0\right)$ $S_{i}=1$ $i$ $D_{i}$ $X_{i}$

Prawdopodobieństwo dla jednostki w próbce to zgodnie z prawem iteracji. Załóżmy, że statusu choroby i innych zmiennych towarzyszących , wynik jest niezależny od . W rezultacie, $Y_{i}=1$ $i$

\begin{array}{rcl} Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, S_{i} = 1) & = & E (Y_{i} ∣ X_{i}, S_{i} = 1) \\ = & E {E (Y_{i} ∣ X_{i}, D_{i}, S_{i} = 1) ∣ X_{i}, S_{i} = 1} \\ = & Pr (D_{i} = 1 ∣ S_{i} = 1) Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 1, S_{i} = 1) + \\ Pr (D_{i} = 0 ∣ S_{i} = 1) Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 0, S_{i} = 1), \end{array}

$\begin{eqnarray*} \Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},S_{i}=1\right) & = & \mathrm{{E}}\left(Y_{i}\mid X_{i},S_{i}=1\right)\\ & = & \mathrm{{E}}\left\{ \mathrm{{E}}\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i},S_{i}=1\right)\mid X_{i},S_{i}=1\right\} \\ & = & \Pr\left(D_{i}=1\mid S_{i}=1\right)\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=1,S_{i}=1\right)+\\ & & \Pr\left(D_{i}=0\mid S_{i}=1\right)\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=0,S_{i}=1\right), \end{eqnarray*}$

D_{i}

$D_{i}$

X_{i}

$X_{i}$

Y_{i}

$Y_{i}$

S_{i}

$S_{i}$

\begin{array}{rcl} Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, S_{i} = 1) & = & Pr (D_{i} = 1 ∣ S_{i} = 1) Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 1) + \\ Pr (D_{i} = 0 ∣ S_{i} = 1) Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 0) . \end{array}

$\begin{eqnarray*} \Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},S_{i}=1\right) & = & \Pr\left(D_{i}=1\mid S_{i}=1\right)\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=1\right)+\\ & & \Pr\left(D_{i}=0\mid S_{i}=1\right)\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=0\right). \end{eqnarray*}$ Łatwo zauważyć, że Tutaj i mają zdefiniowany schemat próbkowania. A zatem,

Pr (D_{i} = 1 ∣ S_{i} = 1) = \frac{π_{1} p_{i 1}}{π_{1} p_{i 1} + π_{0} p_{i 0}} and Pr (D_{i} = 0 ∣ S_{i} = 1) = \frac{π_{0} p_{i 0}}{π_{1} p_{i 1} + π_{0} p_{i 0}} .

$\Pr\left(D_{i}=1\mid S_{i}=1\right)=\frac{\pi_{1}p_{i1}}{\pi_{1}p_{i1}+\pi_{0}p_{i0}}\mbox{ and }\Pr\left(D_{i}=0\mid S_{i}=1\right)=\frac{\pi_{0}p_{i0}}{\pi_{1}p_{i1}+\pi_{0}p_{i0}}.$

p_{i 1}

$p_{i1}$

p_{i 0}

$p_{i0}$

Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, S_{i} = 1) = \frac{π_{1} p_{i 1}}{π_{1} p_{i 1} + π_{0} p_{i 0}} Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 1) + \frac{π_{0} p_{i 0}}{π_{1} p_{i 1} + π_{0} p_{i 0}} Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 0) .

$\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},S_{i}=1\right)=\frac{\pi_{1}p_{i1}}{\pi_{1}p_{i1}+\pi_{0}p_{i0}}\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=1\right)+\frac{\pi_{0}p_{i0}}{\pi_{1}p_{i1}+\pi_{0}p_{i0}}\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=0\right).$ Jeśli , mamy i możesz pominąć problem wyboru próbki. Z drugiej strony, jeśli , ogólnie. W szczególnym przypadku rozważ model logit,

Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 1) = Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 0)

$\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=1\right)=\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=0\right)$

Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, S_{i} = 1) = Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}),

$\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},S_{i}=1\right)=\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i}\right),$

Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 1) \neq Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 0)

$\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=1\right)\neq\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=0\right)$

Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, S_{i} = 1) \neq Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i})

$\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},S_{i}=1\right)\neq\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i}\right)$

Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 1) = \frac{e^{X_{i}^{'} α}}{1 + e^{X_{i}^{'} α}} and Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 0) = \frac{e^{X_{i}^{'} β}}{1 + e^{X_{i}^{'} β}} .

$\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=1\right)=\frac{e^{X_{i}'\alpha}}{1+e^{X_{i}'\alpha}}\mbox{ and }\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=0\right)=\frac{e^{X_{i}'\beta}}{1+e^{X_{i}'\beta}}.$ Nawet jeśli i są stałe w , wynikowy rozkład nie zachowa tworzenia logitów. Co ważniejsze, interpretacja parametrów byłaby zupełnie inna. Mam nadzieję, że powyższe argumenty pomogą nieco wyjaśnić twój problem.

p_{i 1}

$p_{i1}$

p_{i 0}

$p_{i0}$

i

$i$

Kusi nas, aby uwzględnić jako dodatkową zmienną objaśniającą i oszacować model na podstawie . Aby uzasadnić ważność użycia , musimy udowodnić, że , co odpowiada warunkowi, że to wystarczająca statystyka . Bez dalszych informacji na temat procesu pobierania próbek nie jestem pewien, czy to prawda. Użyjmy abstrakcyjnej notacji. Na przykład zmienną obserwowalności można postrzegać jako funkcję losową i innych zmiennych losowych $D_{i}$ $\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i}\right)$ $\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i}\right)$ $\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i},S_{i}=1\right)=\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i}\right)$ $D_{i}$ $S_{i}$ $S_{i}$ $D_{i}$ $\mathbf{Z}_{i}$ . Oznacz . Jeśli jest niezależny od od i , pozostało z definicji niezależności. Jeśli jednak nie jest niezależny od po warunkowaniu na i , intuicyjnie zawiera pewne istotne informacje o i ogólnie nie oczekuje się tego $S_{i}=S\left(D_{i},\mathbf{Z}_{i}\right)$ $\mathbf{Z}_{i}$ $Y_{i}$ $X_{i}$ $D_{i}$ $\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i},S\left(D_{i},\mathbf{Z}_{i}\right)\right)=\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i}\right)$ $\mathbf{Z}_{i}$ $Y_{i}$ $X_{i}$ $D_{i}$ $\mathbf{Z}_{i}$ $Y_{i}$ $\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i},S\left(D_{i},\mathbf{Z}_{i}\right)\right)=\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i}\right)$ . Zatem w przypadku „jednak” ignorancja przy doborze próby może być myląca dla wnioskowania. Nie znam się na literaturze doboru próby w ekonometrii. Poleciłbym rozdział 16 Microeconometrics: methods and applications' by Cameron and Trivedi (especially the Roy model in that chapter). Also G. S. Maddala's classic bookzmiennych zależnych i zmiennych jakościowych w ekonometrii. Jest to systematyczne podejście do kwestii wyboru próby i dyskretnych wyników.

— semibruin
źródło

Dzięki. To świetna odpowiedź i ma sens. W mojej aplikacji założenie, że nie jest realistyczne. Ale równie dobrze byłoby dodać jako predyktor i rozważyć rozkład . Korzystając z podobnej pochodnej, myślę, że możesz pokazać, że jeśli , to nic ci nie jest. W moim przypadku jest to rozsądne założenie. Co myślisz? BTW, czy zdarzyło Ci się mieć jakieś referencje, które wspominają o tym problemie? Nie znam literatury ekonometrycznej.

P (Y_{i} | X_{i}, D_{i} = 1) = P (Y_{i} | X_{i}, D_{i} = 0)

$P(Y_i|X_i,D_i=1)=P(Y_i|X_i,D_i=0)$

D_{i}

$D_i$

P (Y_{i} | X_{i}, D_{i})

$P(Y_i|X_i,D_i)$

P (Y_{i} = 1 | X_{i}, D_{i}, S_{i} = 1) = P (Y_{i} = 1 | X_{i}, D_{i}, S_{i} = 0)

$P(Y_i=1|X_i,D_i,S_i=1)=P(Y_i=1|X_i,D_i,S_i=0)$

— Makro

Nie mam nic przeciwko myśleniu o procesie selekcji jako o próbie , tj. Przy tym założeniu generowania danych ta próba jest warunkowo niezależna od , więc myślę, że nic nam nie jest. Doceniam twoje starania i wgląd w ten problem i przyjmuję odpowiedź. Zakładając, że nikt nie przychodzi z dokładnym odniesieniem, którego szukam (wolałbym po prostu „zacytować” ten problem niż dygresję przy dłuższej dyskusji), również przyznam ci nagrodę. Twoje zdrowie.

S_{i} | D_{i} = d, X_{i} = x \sim B e r n o u l l i (p (x, d))

$S_i | D_i=d, X_i=x \sim {\rm Bernoulli} \big( p(x, d) \big)$

Y_{i}

$Y_i$

— Makro

Ten proces selekcji pasuje do Twojej strategii. Na podstawie takiego problemu wyboru problem staje się przykładem losowego braku (MAR) w brakującej literaturze danych. Dziękuję za twoją nagrodę.

— semibruin