Przedział ufności dla iloczynu dwóch parametrów

Załóżmy, że mamy dwa parametry, i . Mamy również dwa estymatory maksymalnego prawdopodobieństwa i oraz dwa przedziały ufności dla tych parametrów. Czy istnieje sposób na zbudowanie przedziału ufności dla ? $p_1$ $p_2$ $\hat{p_1}$ $\hat{p_2}$ $p_1p_2$

confidence-interval

— Gość
źródło

Możesz użyć metody Delta, aby obliczyć standardowy błąd . Metoda delta stwierdza, że przybliżenie wariancji funkcji jest podane przez: Z drugiej strony przybliżenie oczekiwania na podano przez: Zatem oczekiwanie jest po prostu funkcją. Twoja funkcja to: . Oczekiwanie na byłoby po prostu: $\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ $g(t)$

V a r (g (t)) \approx \sum_{i = 1}^{k} g_{i}^{'} (θ)^{2} V a r (t_{i}) + 2 \sum_{i > j} g_{i}^{'} (θ) g_{j}^{'} (θ) C o v (t_{i}, t_{j})

$\mathrm{Var}(g(t))\approx \sum_{i=1}^{k}g'_{i}(\theta)^{2}\mathrm{Var}(t_{i})+2\sum_{i>j}g'_{i}(\theta)g'_{j}(\theta)\mathrm{Cov}(t_{i},t_{j})$

g (t)

$g(t)$

E (g (t)) \approx g (θ)

$\mathrm{\mathbf{E}}(g(t))\approx g(\theta)$

g (t)

$g(t)$

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$

p_{1} p_{2}

$p_{1}p_{2}$ . Do wariancji potrzebujemy częściowych pochodnych :

g (p_{1}, p_{2})

$g(p_{1}, p_{2})$

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial p_{1}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{1} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial p_{1}}g(p_{1}p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}}g(p_{1}p_{2}) &= p_{1} \\ \end{align}$

Korzystając z funkcji dla powyższej wariancji, otrzymujemy:

V a r (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}) = {\hat{p_{2}}}^{2} V a r (\hat{p_{1}}) + {\hat{p_{1}}}^{2} V a r (\hat{p_{2}}) + 2 \cdot \hat{p_{1}} \hat{p_{2}} C o v (\hat{p_{1}}, \hat{p_{2}})

$\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})=\hat{p_{2}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) + \hat{p_{1}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{2}})+2\cdot \hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\mathrm{Cov}(\hat{p_{1}},\hat{p_{2}})$

Standardowym błędem byłby zatem po prostu katalog główny powyższego wyrażenia. Po uzyskaniu standardowego błędu można łatwo obliczyć 95% przedział ufności dla :

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}} \pm 1.96 \cdot \hat{S E} (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}})

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\pm 1.96\cdot \widehat{\mathrm{SE}}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})$

Aby obliczyć standardowy błąd , potrzebujesz wariantu i który zwykle możesz uzyskać przez macierz wariancji-kowariancji która w twoim przypadku byłaby macierzą 2x2, ponieważ masz dwa oszacowania. Elementami diagonalnymi w macierzy wariancji-kowariancji są wariancje i podczas gdy elementy nie-diagonalne to kowariancja i (matryca jest symetryczna). Jak wspomina @gung w komentarzach, macierz wariancji-kowariancji może być wyodrębniona przez większość programów statystycznych. Czasami algorytmy szacowania zapewniają $\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\Sigma$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ Macierz Hesji (nie będę wchodził w szczegóły na ten temat tutaj), a macierz wariancji-kowariancji można oszacować na podstawie odwrotności ujemnego Hesji (ale tylko jeśli zmaksymalizujesz prawdopodobieństwo logarytmiczne !; zobacz ten post ). Ponownie zapoznaj się z dokumentacją oprogramowania statystycznego i / lub Internetu, w jaki sposób wyodrębnić Hesję i jak obliczyć odwrotność macierzy.

Alternatywnie możesz uzyskać warianty i z przedziałów ufności w następujący sposób (dotyczy to 95% -CI): . Dla -CI szacowany błąd standardowy to: , gdzie to kwantyl standardowego rozkładu normalnego (dla , ). Następnie $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/3.92$ $100(1-\alpha)\%$ $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/(2\cdot z_{1-\alpha/2})$ $z_{1-\alpha/2}$ $(1-\alpha/2)$ $\alpha=0.05$ $z_{0.975}\approx 1.96$ $\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) = \mathrm{SE}(\hat{p_{1}})^{2}$ . To samo dotyczy wariantu . Potrzebujemy również kowariancji i (patrz akapit powyżej). Jeśli i są niezależne, kowariancja wynosi zero i możemy usunąć ten termin. $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$

Ten dokument może zawierać dodatkowe informacje.

— COOLSerdash
źródło

+1. Wariancje parametrów i ich kowariancję można znaleźć, badając macierz wariancji-kowariancji , którą może zapewnić większość programów statystycznych. Np. W R jest to ? Vcov ; i w SAS, jest dodawany jako opcja do instrukcji modelu w PROC REG .

β

$\boldsymbol\beta$ covb

— gung - Przywróć Monikę

@gung W kwestii pedanterii warto zwrócić uwagę (bo wiem, że to myli niektórych ludzi), że tak naprawdę jest to macierz wariancji-kowariancji zamiast (a tak naprawdę to wcale , ponieważ odchylenie standardowe należy oszacować na podstawie próbki, więc tak naprawdę jest to szacunkowa macierz wariancji-kowariancji ..)

\hat{β}

$\hat \beta$

β

$\beta$

— Silverfish,

@Silverfish, należycie ukarany. Następnym razem powiem „macierz szacowanej wariancji-kowariancji ”.

\hat{β}

$\boldsymbol{\hat\beta}$

— Gung - Przywróć Monikę

Możesz spróbować zbudować funkcję wiarygodności profilu! i skonstruuj z tego przedział ufności.

— kjetil b halvorsen 30.09.17

Czy ponieważ jest to parametr?

v a r (p_{1}) = 0

$var(p_1)=0$

— użytkownik0

Znalazłem inne równanie do obliczania wariancji produktu.

Jeśli xiy są niezależnie rozłożone, wariancja produktu jest stosunkowo prosta: V (x * y) = V (y) * E (x) ^ 2 + V (x) * E (y) ^ 2 + V ( x) * V (y) Wyniki te uogólniają się również na przypadki obejmujące trzy lub więcej zmiennych (Goodman 1960). Źródło: Regulating Pesticides (1980), załącznik F.

Coolserdash: Brakuje ostatniego składnika V (x) * V (y) w twoim równaniu. Czy przywołana książka (regulacja pestycydów) jest nieprawidłowa?

Oba równania mogą również nie być idealne. „ ... pokazujemy, że rozkład iloczynu trzech niezależnych zmiennych normalnych nie jest normalny ”. ( źródło ). Spodziewałbym się pewnego pozytywnego wypaczenia nawet w wyniku dwóch normalnie rozłożonych zmiennych.

— Marek Čierny
źródło

Długość CI / 2 / 1,96 = se, tj. Błąd standardowy A lub B
se ^ 2 = var, tj. wariancja oszacowania A lub B
Użyj oszacowanego A lub B jako środka A lub B, tj. E (A) lub E (B)
Postępuj zgodnie z tą stroną http://falkenblog.blogspot.se/2008/07/formula-for-varxy.html, aby uzyskać var (A * B), tj. Var (C)
Pierwiastek kwadratowy var (C) jest se C
(C - 1,96 * se (C), C + 1,96 * se (C)) to 95% CI dla C

Zauważ, że jeśli twoje A i B są skorelowane, musisz również wziąć pod uwagę ich kowariancję.

— Mrożona kawa
źródło