Pytanie o ważenie wariancji odwrotnej

Załóżmy, że chcemy wnioskować na podstawie nieobserwowanej realizacji losowej zmiennej , która normalnie jest dystrybuowana ze średnią i wariancją . Załóżmy, że istnieje inna zmienna losowa (której nieobserwowaną realizację podobnie nazywamy ), która jest normalnie dystrybuowana ze średnią i wariancją . Niech będzie kowariancją i . $x$ $\tilde x$ $\mu_x$ $\sigma^2_x$ $\tilde y$ $y$ $\mu_y$ $\sigma^2_y$ $\sigma_{xy}$ $\tilde x$ $\tilde y$

Załóżmy teraz, że obserwujemy sygnał na , gdzie i sygnał na , gdzie . Załóżmy, że i są niezależne. $x$

\begin{aligned} a = x + \tilde{u}, \end{aligned}

$\begin{align}a=x+\tilde u,\end{align}$

\tilde{u} \sim N (0, ϕ_{x}^{2})

$\tilde u\sim\mathcal{N}(0,\phi_x^2)$

y

$y$

\begin{aligned} b = y + \tilde{v}, \end{aligned}

$\begin{align}b=y+\tilde v,\end{align}$

\tilde{v} \sim N (0, ϕ_{y}^{2})

$\tilde v\sim\mathcal{N}(0,\phi_y^2)$

\tilde{u}

$\tilde u$

\tilde{v}

$\tilde v$

Jaki jest rozkład zależny od i ? $x$ $a$ $b$

Co wiem do tej pory: Używając odwrotnej wagi wariancji, i

\begin{aligned} E (x | a) = \frac{\frac{1}{σ_{x}^{2}} μ_{x} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}} a}{\frac{1}{σ_{x}^{2}} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}}}, \end{aligned}

$\begin{align}\mathbb{E}(x\,|\,a)=\frac{\frac{1}{\sigma_x^2}\mu_x+\frac{1}{\phi_x^2}a}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}},\end{align}$

\begin{aligned} V ar (x | a) = \frac{1}{\frac{1}{σ_{x}^{2}} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}}} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{V}\text{ar}(x\,|\,a)=\frac{1}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}}. \end{align}$

Ponieważ i są wspólnie wyciągnąć, powinny mieć przy sobie informacje o . Poza uświadomieniem sobie tego, utknąłem. Każda pomoc jest mile widziana! $x$ $y$ $b$ $x$

meta-analysis

— bad_at_math
źródło

To wygląda dokładnie tak, jak kilka pierwszych kroków na temat wyprowadzenia filtra Kalmana. Możesz spojrzeć na pochodne i pomyśleć o zysku Kalmana dla aktualizacji oszacowania kowariancji stanu. cs.unc.edu/~welch/media/pdf/kalman_intro.pdf

— EngrStudent

Dziękuję za odpowiedź! Przeczytałem dokument w twoim linku, ale nie widzę związku z filtrowaniem Kalmana. Czy jest jakaś szansa na opracowanie? Doceniam pomoc!

— bad_at_math

@EngrStudent Jeśli PO nie jest zaznajomiony z filtrem Kalmana, nie rozumiem, jak to będzie bardzo pomocne. Być może mógłbyś zamiast tego wyjaśnić, jak podejść do problemu, nie powołując się na żadną konkretność (lub żargon) związaną z KF, chociaż być może wykorzystując twoją wiedzę na ten temat, aby pokierować odpowiedzią na szczegóły tutaj.

— Glen_b

Przeniesiony na math.SE tutaj

— Glen_b

Nie jestem pewien, czy obowiązują tu wzory ważenia odwrotnej wariancji. Myślę jednak, że można obliczyć rozkład warunkowy dla i , zakładając, że , , i podążają za wspólnym wielowymiarowym rozkładem normalnym. $x$ $a$ $b$ $x$ $y$ $a$ $b$

W szczególności, jeśli założymy (zgodnie z tym, co podano w pytaniu), że następnie, pozwalając i , możesz to znaleźć

[\begin{matrix} x \\ y \\ u \\ v \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} μ_{x} \\ μ_{y} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{x}^{2} & σ_{x y} & 0 & 0 \\ σ_{x y} & σ_{y}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ϕ_{x}^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ϕ_{y}^{2} \end{matrix}])

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ y \\ u \\ v \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_y \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma_{xy} & 0 & 0 \\ \sigma_{xy} & \sigma^2_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \phi^2_x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \phi^2_y \end{matrix}\right] \right) \end{equation}$

a = x + u

$a=x+u$

b = y + v

$b=y+v$

[\begin{matrix} x \\ a \\ b \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} μ_{x} \\ μ_{x} \\ μ_{y} \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{x}^{2} & σ_{x}^{2} & σ_{x y} \\ σ_{x}^{2} & σ_{x}^{2} + ϕ_{x}^{2} & σ_{x y} \\ σ_{x y} & σ_{x y} & σ_{y}^{2} + ϕ_{y}^{2} \end{matrix}]) .

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ a \\ b \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_x \\ \mu_y \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma^2_x & \sigma^2_x + \phi^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma_{xy} & \sigma_{xy} & \sigma^2_y + \phi^2_y \end{matrix}\right] \right). \end{equation}$ (Zauważ, że w powyższym domyślnie zakłada się, że i są niezależne między sobą, a także i .)

u

$u$

v

$v$

x

$x$

y

$y$

Na tej podstawie można znaleźć rozkład warunkowy danego i przy użyciu standardowych właściwości wielowymiarowego rozkładu normalnego (patrz tutaj na przykład: http://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_normal_distribution#Conditional_distribution ). $x$ $a$ $b$

— a. arfe
źródło