Parametry rozkładu Weibulla i dla danych prędkości wiatru

Cześć można to samo pokazać, aby uzyskać parametr kształtu i skali dla zmodyfikowanej metody największego prawdopodobieństwa

Ponieważ @zaynah opublikował w komentarzach, że uważa się, że dane są zgodne z rozkładem Weibulla, przedstawię krótki samouczek na temat szacowania parametrów takiego rozkładu przy użyciu MLE (szacowanie maksymalnego prawdopodobieństwa). Na stronie jest podobny post dotyczący prędkości wiatru i rozkładu Weibulla.

1. Pobierz i zainstalujR , to nic nie kosztuje
2. Opcjonalnie: Pobierz i zainstaluj RStudio , które jest doskonałym IDE dla R, zapewniając mnóstwo przydatnych funkcji, takich jak podświetlanie składni i więcej.
3. Instaluje pakiety MASSi carprzez wpisywanie: install.packages(c("MASS", "car")). Załaduj je, wpisując: library(MASS)i library(car).
4. Zaimportuj swoje dane doR . Jeśli masz na przykład swoje dane w programie Excel, zapisz je jako plik tekstowy z ogranicznikami (.txt) i zaimportuj za Rpomocą read.table.
5. Użyj funkcji fitdistrdo obliczania maksymalnych szacunków prawdopodobieństwa swojej rozkładu Weibulla: fitdistr(my.data, densfun="weibull", lower = 0). Aby zobaczyć w pełni opracowany przykład, zobacz link na dole odpowiedzi.
6. Wykonaj wykres QQ, aby porównać swoje dane z rozkładem Weibulla z parametrami skali i kształtu oszacowanymi w punkcie 5: qqPlot(my.data, distribution="weibull", shape=, scale=)

Tutorial Vito Ricci na dopasowanie rozkładu ze Rjest to dobry punkt wyjścia w tej sprawie. Na tej stronie znajduje się wiele postów na ten temat (zobacz też ten post ).

Aby zobaczyć w pełni opracowany przykład użycia fitdistr, zobacz ten post .

Spójrzmy na przykład w R:

# Load packages

library(MASS)
library(car)

# First, we generate 1000 random numbers from a Weibull distribution with
# scale = 1 and shape = 1.5

rw <- rweibull(1000, scale=1, shape=1.5)

# We can calculate a kernel density estimation to inspect the distribution
# Because the Weibull distribution has support [0,+Infinity), we are truncate
# the density at 0

par(bg="white", las=1, cex=1.1)
plot(density(rw, bw=0.5, cut=0), las=1, lwd=2,
xlim=c(0,5),col="steelblue")

# Now, we can use fitdistr to calculate the parameters by MLE
# The option "lower = 0" is added because the parameters of the Weibull distribution need to be >= 0

fitdistr(rw, densfun="weibull", lower = 0)

     shape        scale   
  1.56788999   1.01431852 
 (0.03891863) (0.02153039)

Szacunki maksymalnego prawdopodobieństwa są zbliżone do tych, które arbitralnie ustaliliśmy przy generowaniu liczb losowych. Porównajmy nasze dane za pomocą wykresu QQ z hipotetycznym rozkładem Weibulla z parametrami, które oszacowaliśmy fitdistr:

qqPlot(rw, distribution="weibull", scale=1.014, shape=1.568, las=1, pch=19)

Punkty są ładnie wyrównane na linii i głównie w granicach przedziału ufności 95%. Stwierdzilibyśmy, że nasze dane są zgodne z dystrybucją Weibull. Było to oczywiście oczekiwane, ponieważ próbkowaliśmy nasze wartości z rozkładu Weibulla.

---

Oszacowanie (kształt) (skala) rozkładu Weibulla bez MLE$k$$c$

W tym artykule wymieniono pięć metod szacowania parametrów rozkładu Weibulla dla prędkości wiatru. Wyjaśnię tutaj trzy z nich.

Od średnich i odchyleń standardowych

Parametr kształtu jest szacowany jako: a parametr skali jest szacowany jako: with to średnia prędkość wiatru, a odchylenie standardowe, a to funkcja Gamma .$k$

$$k=\left(\frac{\hat{\sigma}}{\hat{v}}\right)^{-1.086}$$ $c$ $$c=\frac{\hat{v}}{\Gamma(1+1/k)}$$ $\hat{v}$$\hat{\sigma}$$\Gamma$

Najmniejsze kwadraty pasują do obserwowanego rozkładu

Jeśli obserwowane prędkości wiatru są podzielone na przedział prędkości , o częstotliwości występowania i skumulowane częstotliwości , możesz dopasować regresję liniową postaci do wartości parametrów dla danego Weibulla są powiązane ze współczynnikami liniowymi i o $n$$0-V_{1},V_{1}-V_{2},\ldots, V_{n-1}-V_{n}$$f_{1}, f_{2},\ldots,f_{n}$$p_{1}=f_{1}, p_{2}=f_{1}+f_{2}, \ldots, p_{n}=p_{n-1}+f_{n}$$y=a+bx$

$$x_{i} = \ln(V_{i})$$ $$y_{i} = \ln[-\ln(1-p_{i})]$$ $a$$b$ $$c=\exp\left(-\frac{a}{b}\right)$$ $$k=b$$

Średnie i kwartylowe prędkości wiatru

Jeśli nie masz pełnych obserwowanych prędkości wiatru, ale mediana i kwartyle i , a następnie i można obliczyć za pomocą relacji $V_{m}$$V_{0.25}$$V_{0.75}$ $\left[p(V\leq V_{0.25})=0.25, p(V\leq V_{0.75})=0.75\right]$$c$$k$c= V m / ln(2 ) 1 /

$$k = \ln\left[\ln(0.25)/\ln(0.75)\right]/\ln(V_{0.75}/V_{0.25})\approx 1.573/\ln(V_{0.75}/V_{0.25})$$ $$c=V_{m}/\ln(2)^{1/k}$$

Porównanie czterech metod

Oto przykład w Rporównaniu czterech metod:

library(MASS)  # for "fitdistr"

set.seed(123)
#-----------------------------------------------------------------------------
# Generate 10000 random numbers from a Weibull distribution
# with shape = 1.5 and scale = 1
#-----------------------------------------------------------------------------

rw <- rweibull(10000, shape=1.5, scale=1)

#-----------------------------------------------------------------------------
# 1. Estimate k and c by MLE
#-----------------------------------------------------------------------------

fitdistr(rw, densfun="weibull", lower = 0)
shape         scale   
1.515380298   1.005562356 

#-----------------------------------------------------------------------------
# 2. Estimate k and c using the leas square fit
#-----------------------------------------------------------------------------

n <- 100 # number of bins
breaks <- seq(0, max(rw), length.out=n)

freqs <- as.vector(prop.table(table(cut(rw, breaks = breaks))))
cum.freqs <- c(0, cumsum(freqs)) 

xi <- log(breaks)
yi <- log(-log(1-cum.freqs))

# Fit the linear regression
least.squares <- lm(yi[is.finite(yi) & is.finite(xi)]~xi[is.finite(yi) & is.finite(xi)])
lin.mod.coef <- coefficients(least.squares)

k <- lin.mod.coef[2]
k
1.515115
c <- exp(-lin.mod.coef[1]/lin.mod.coef[2])
c
1.006004

#-----------------------------------------------------------------------------
# 3. Estimate k and c using the median and quartiles
#-----------------------------------------------------------------------------

med <- median(rw)
quarts <- quantile(rw, c(0.25, 0.75))

k <- log(log(0.25)/log(0.75))/log(quarts[2]/quarts[1])
k
1.537766
c <- med/log(2)^(1/k)
c
1.004434

#-----------------------------------------------------------------------------
# 4. Estimate k and c using mean and standard deviation.
#-----------------------------------------------------------------------------

k <- (sd(rw)/mean(rw))^(-1.086)
c <- mean(rw)/(gamma(1+1/k))
k
1.535481
c
1.006938

Wszystkie metody dają bardzo podobne wyniki. Podejście oparte na maksymalnym prawdopodobieństwie ma tę zaletę, że standardowe błędy parametrów Weibulla są podawane bezpośrednio.

---

Używanie bootstrap do dodawania punktowych przedziałów ufności do pliku PDF lub CDF

Możemy użyć nieparametrycznego bootstrapu do skonstruowania punktowych przedziałów ufności wokół PDF i CDF szacowanego rozkładu Weibulla. Oto Rskrypt:

#-----------------------------------------------------------------------------
# 5. Bootstrapping the pointwise confidence intervals
#-----------------------------------------------------------------------------

set.seed(123)

rw.small <- rweibull(100,shape=1.5, scale=1)

xs <- seq(0, 5, len=500)


boot.pdf <- sapply(1:1000, function(i) {
  xi <- sample(rw.small, size=length(rw.small), replace=TRUE)
  MLE.est <- suppressWarnings(fitdistr(xi, densfun="weibull", lower = 0))  
  dweibull(xs, shape=as.numeric(MLE.est[[1]][13]), scale=as.numeric(MLE.est[[1]][14]))
}
)

boot.cdf <- sapply(1:1000, function(i) {
  xi <- sample(rw.small, size=length(rw.small), replace=TRUE)
  MLE.est <- suppressWarnings(fitdistr(xi, densfun="weibull", lower = 0))  
  pweibull(xs, shape=as.numeric(MLE.est[[1]][15]), scale=as.numeric(MLE.est[[1]][16]))
}
)   

#-----------------------------------------------------------------------------
# Plot PDF
#-----------------------------------------------------------------------------

par(bg="white", las=1, cex=1.2)
plot(xs, boot.pdf[, 1], type="l", col=rgb(.6, .6, .6, .1), ylim=range(boot.pdf),
     xlab="x", ylab="Probability density")
for(i in 2:ncol(boot.pdf)) lines(xs, boot.pdf[, i], col=rgb(.6, .6, .6, .1))

# Add pointwise confidence bands

quants <- apply(boot.pdf, 1, quantile, c(0.025, 0.5, 0.975))
min.point <- apply(boot.pdf, 1, min, na.rm=TRUE)
max.point <- apply(boot.pdf, 1, max, na.rm=TRUE)
lines(xs, quants[1, ], col="red", lwd=1.5, lty=2)
lines(xs, quants[3, ], col="red", lwd=1.5, lty=2)
lines(xs, quants[2, ], col="darkred", lwd=2)
#lines(xs, min.point, col="purple")
#lines(xs, max.point, col="purple")

#-----------------------------------------------------------------------------
# Plot CDF
#-----------------------------------------------------------------------------

par(bg="white", las=1, cex=1.2)
plot(xs, boot.cdf[, 1], type="l", col=rgb(.6, .6, .6, .1), ylim=range(boot.cdf),
     xlab="x", ylab="F(x)")
for(i in 2:ncol(boot.cdf)) lines(xs, boot.cdf[, i], col=rgb(.6, .6, .6, .1))

# Add pointwise confidence bands

quants <- apply(boot.cdf, 1, quantile, c(0.025, 0.5, 0.975))
min.point <- apply(boot.cdf, 1, min, na.rm=TRUE)
max.point <- apply(boot.cdf, 1, max, na.rm=TRUE)
lines(xs, quants[1, ], col="red", lwd=1.5, lty=2)
lines(xs, quants[3, ], col="red", lwd=1.5, lty=2)
lines(xs, quants[2, ], col="darkred", lwd=2)
lines(xs, min.point, col="purple")
lines(xs, max.point, col="purple")