Umieszczenie pierwszeństwa parametru stężenia w procesie Dirichleta

Większość z tego stanowi tło, przejdź do końca, jeśli wiesz już wystarczająco dużo o mieszaninach procesowych Dirichleta . Załóżmy, że modeluję niektóre dane pochodzące z mieszanki procesów Dirichleta, tj. Pozwól i od załóżmy, że$F \sim \mathcal D(\alpha H)$$F$

$$Y_i \stackrel {iid}{\sim} \int f(y | \theta) F(d\theta).$$

Tutaj i jest poprzednią miarą podstawową. Okazuje się, że jeśli dla każdej obserwacji , jeśli znam skojarzone utajone , prawdopodobieństwo w tym modelu wynosi gdzie jest liczbą różnych wartości (losowa miara jest prawie na pewno dyskretna). Escobar i West opracowują następujący schemat próbkowania przy użyciu wcześniejszego gamma; najpierw piszą$\alpha > 0$$\alpha H$$Y_i$$\theta_i$$\alpha$

$$L(\alpha | t) \propto \frac{\alpha^t\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha + n)}$$ $t$$\theta_i$$F$$\alpha$ $$\pi(\alpha | t) \propto \pi(\alpha) \frac{\alpha^t\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha + n)} \propto \pi(\alpha)\alpha^{t - 1}(\alpha + n){B(\alpha + 1, n)} \\= \pi(\alpha)\alpha^{t - 1} (\alpha + n) \int_0^1 x^\alpha(1 - x)^{n - 1} \ dx,$$ gdzie jest funkcją beta. Następnie zauważ, że jeśli wprowadzimy ukryty parametr wówczas prawdopodobieństwo ma postać mieszanki rozkładów gamma i wykorzystujemy to do zapisania próbnika Gibbsa.$B(\cdot, \cdot)$$X \sim \mbox{Beta}(\alpha + 1, n )$

Teraz moje pytanie. Dlaczego nie możemy po prostu napisać a zamiast mieszanki rozkładów gamma użyć pojedynczego rozkładu gamma? Jeśli wprowadzimy czy nie powinienem być w stanie zrobić tego samego, ale bez konieczności używania mikstury?

$$L(\alpha | t) \propto \frac{\alpha^t \Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha + n)} = \frac{\alpha^t \Gamma(n)\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha + n)\Gamma(n)} = \alpha^t B(\alpha, n) \Gamma(n) \\ \propto \alpha^t \int_0 ^ 1 x^{\alpha - 1} (1 - x)^{n - 1} \ dx,$$ $X \sim \mbox{Beta}(\alpha, n)$

Edytuj, aby uzyskać więcej informacji Więcej szczegółów: Aby wypełnić niektóre luki, argumenty w Escobar i West są takie, że pozwolenie na rozkład gamma o kształcie i oznaczeniu , i dlatego możemy przedstawić ukryty więcPełne warunki warunkowe to rozkład dla i mieszanina i$\alpha$$a$$a / b$

$$\pi(\alpha | t) \propto \alpha^{a + t - 2} (\alpha + n) e^{-b\alpha} \int_0 ^ 1 x^{\alpha} (1 - x)^{n - 1} \ dx$$ $X$ $$\pi(\alpha, x | t) \propto \alpha^{a + t - 2} (\alpha + n) e^{-b\alpha}x^{\alpha}(1 - x)^{n - 1}.$$ $\mbox{Beta}(\alpha + 1, n)$$X$$\mathcal G(a + t, b - \log(x))$$\mathcal G(a + t - 1, b - \log(x))$ dla .$\alpha$

Pod tym samym argumentem otrzymałem ten sam wynik, ale z dla i dla . Wydaje mi się to łatwiejsze; dlaczego po prostu tego nie robią?$\mbox{Beta}(\alpha, n)$$X$$\mathcal G(a + t, b - \log(x))$$\alpha$

Nie rozumiem, jak to, co napisałeś, różni się zasadniczo od Escobara i Westa.

$$\begin{eqnarray*} \pi(\alpha|t) &\propto& \pi(\alpha)\pi(t|\alpha) = \pi(\alpha)L(\alpha|t) \\ &\propto& \pi(\alpha)\alpha^t\frac{\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha+n)} \\ &\propto& \pi(\alpha)\alpha^t\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(n)}{\Gamma(\alpha+n)} \\ &=& \pi(\alpha)\alpha^tB(\alpha,n) \\ &=& \pi(\alpha)\alpha^{t-1}(\alpha+n)B(\alpha+1,n) \end{eqnarray*}$$ gdzie od drugiej do ostatniej linii jest to, jak masz, a ostatnia linia to, jak E&W są one równe od n) \ end {eqnarray *} przywołując to $$\begin{eqnarray*} \alpha B(\alpha,n) &=& \alpha \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(n)}{\Gamma(\alpha + n)} = \frac{(\alpha\Gamma(\alpha))\Gamma(n)(\alpha+n)}{(\Gamma(\alpha + n)(\alpha+n))} = (\alpha+n) \frac{\Gamma(\alpha + 1)\Gamma(n)}{\Gamma(\alpha + n + 1)} \\ &=& (\alpha+n)B(\alpha+1,n) \end{eqnarray*}$$ $\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$ .

Domyślam się, że woleli formułę od twojej, ponieważ ma ona tylko funkcję funkcji Beta, a nie produkt Beta i Gamma, ale mogę się mylić. Nie do końca podążyłem za ostatnim fragmentem, który napisałeś, czy mógłbyś bardziej wyrazić się na temat swojego schematu próbkowania?