Twierdzenie Gaussa-Markowa: NIEBIESKI i OLS

Czytam o twierdzeniu Guassa-Markowa na wikipedii i miałem nadzieję, że ktoś może mi pomóc ustalić główny punkt tego twierdzenia.

Zakładamy, że model liniowy w postaci macierzy podaje: i szukamy NIEBIESKIEGO, .

$$y = X\beta +\eta$$ $\widehat\beta$

Zgodnie z tym , to, że etykieta "pozostałych" i przycisków "błąd". (Tj. Przeciwieństwo użycia na stronie Gaussa-Markowa).$\eta = y - X\beta$$\varepsilon = \widehat\beta - \beta$

Estymator OLS (zwykłe najmniejszych kwadratów) można wyprowadzić jako argmin parametru .$||\text{residual}||_2^2 = ||\eta||_2^2$

Teraz pozwól $\mathbb{E}$oznacz operator oczekiwania. W moim rozumieniu twierdzenie Gaussa-Markowa mówi nam, że jeśli$\mathbb{E}(\eta) = 0$ i $\text{Var}(\eta) = \sigma^2 I$, następnie argmin, we wszystkich liniowych, obiektywnych estymatorach, z $\mathbb{E}(||\text{error}||_2^2) = \mathbb{E} (||\varepsilon||_2^2)$ jest podany w tym samym wyrażeniu co estymator OLS.

To znaczy

$$\text{argmin}_{\text{} \widehat\beta(y)} \, ||\eta||_2^2 \;=\; (X'X)^{-1}X'y \;=\; \text{argmin}_{\text{linear, unbiased } \widehat\beta(y)} \, \mathbb{E}(||\varepsilon||_2^2)$$

Czy moje rozumowanie jest prawidłowe? A jeśli tak, czy powiedziałbyś, że zasługuje on na wyraźniejsze podkreślenie w artykule?

Nie jestem pewien, czy dobrze zrozumiałem twoje pytanie, ale czy chcesz udowodnić, że OLS $\hat{\beta}$ jest NIEBIESKI (najlepszy liniowy obiektywny estymator), musisz udowodnić następujące dwie rzeczy: Po pierwsze $\hat{\beta}$ jest bezstronny i po drugie $Var(\hat{\beta})$ jest najmniejszym spośród wszystkich liniowych obiektywnych estymatorów.

Dowód, że estymator OLS jest bezstronny, można znaleźć tutaj http://economictheoryblog.com/2015/02/19/ols_estimator/

i udowodnij to $Var(\hat{\beta})$jest najmniejszy spośród wszystkich liniowych obiektywnych estymatorów, które można znaleźć tutaj http://economictheoryblog.com/2015/02/26/markov_theorem/

Wygląda na to, że moje przeczucie było słuszne, co zostało potwierdzone, np. Na stronie 375 książki „ Wprowadzenie do ekonometrii” . Odpowiedni fragment: