Wariancja dwóch ważonych zmiennych losowych

Pozwolić:

Odchylenie standardowe zmiennej losowej $A =\sigma_{1}=5$

Odchylenie standardowe zmiennej losowej $B=\sigma_{2}=4$

Zatem wariant A + B jest następujący:

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}p_{1,2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

Gdzie:

to korelacja między dwiema zmiennymi losowymi.$p_{1,2}$

to waga zmiennej losowej A$w_{1}$

to waga zmiennej losowej B$w_{2}$

$w_{1}+w_{2}=1$

Poniższy rysunek przedstawia wariancję A i B, gdy waga A zmienia się od 0 do 1, dla korelacji -1 (żółty), 0 (niebieski) i 1 (czerwony).

W jaki sposób formuła spowodowała powstanie linii prostej (czerwonej), gdy korelacja wynosi 1? O ile mi wiadomo, gdy , formuła upraszcza:$p_{1,2}=1$

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

Jak mogę to wyrazić w postaci $y=mx+c$ ?

Dziękuję Ci.

Używanie , oblicz$w_1 + w_2 = 1$

$$\eqalign{ \text{Var}(w_1 A + w_2 B) &= \left( w_1 \sigma_1 + w_2 \sigma_2 \right)^2 \cr &= \left( w_1(\sigma_1 - \sigma_2) + \sigma_2 \right)^2 \text{.} }$$

$\sigma_1 \ne \sigma_2$$w_1$$\sigma_2 / (\sigma_2 - \sigma_1)$$\sigma_1 = 5$$\sigma_2 = 4$$-5$

$\sigma_1 = \sigma_2$$w_1$ . W tym przypadku wykres byłby idealnie pionowym odcinkiem linii.

$w_1$$0$$1$$w_1$ $w_1$

$\rho = 1 - 2^{-k}, k = -1, 0, 1, \ldots, 10$:

To nie jest liniowe. Wzór mówi, że nie jest liniowy. Zaufaj swojemu matematycznemu instynktowi!

Na wykresie pojawia się tylko liniowo z powodu skali, z $\sigma_{1}=5$ i $\sigma_{2}=4$. Spróbuj sam: oblicz stoki w kilku miejscach, a zobaczysz, że się różnią. Możesz przesadzić różnicę, wybierając$\sigma_{1}=37$, mówić.

Oto trochę kodu R:

a <- 5; b <- 4; p <- 1
f <- function(w) w^2*a^2 + (1-w)^2*b^2 + 2*w*(1-w)*p*a*b
curve(f, from = 0, to = 1)

Jeśli chcesz sprawdzić niektóre stoki:

(f(0.5) - f(0.4)) / 0.1
(f(0.8) - f(0.7)) / 0.1