Wyjaśnienie skończonego współczynnika korygującego

Rozumiem, że gdy próbkowanie ze skończonej populacji, a nasza próbka stanowi więcej niż 5% populacji, musimy skorygować średni i standardowy błąd próby za pomocą tego wzoru:

$\hspace{10mm} FPC=\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$

Gdzie to wielkość populacji, a to wielkość próby. $N$ $n$

Mam 3 pytania dotyczące tej formuły:

Dlaczego próg wynosi 5%?
Jak powstała formuła?
Czy oprócz tego artykułu istnieją inne zasoby internetowe, które kompleksowo wyjaśniają tę formułę ?

sampling finite-population

— Sara
źródło

Nie poprawiasz średniej!

— whuber

Poprawiasz tylko wariancję.

— SmallChess

Próg dobiera się w taki sposób, aby zapewnić zbieżność rozkładu hipergeometrycznego ( to SD), zamiast rozkładu dwumianowego (do próbkowania z podmianą), do rozkładu normalnego (jest to Twierdzenie o granicy centralnej, patrz np. Krzywa normalna, Twierdzenie o granicy centralnej oraz Nierówności dla Markowa i Chebycheva dla Zmienne losowe). Innymi słowy, gdy(tj.nie jest „zbyt duży” w porównaniu do), FPC można bezpiecznie zignorować; to łatwo zrozumieć, w jaki sposób ewoluuje współczynnik korekcyjny z różnymza ustaloną: z, mamy $\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$ $n/N\leq 0.05$ $n$ $N$ $n$ $N$ $N=10,000$ , gdy , a gdy . Kiedy , FPC zbliża się do 1, a my jesteśmy blisko sytuacji pobierania próbek z wymianą (tj. Jak w przypadku nieskończonej populacji). $\text{FPC}=.9995$ $n=10$ $\text{FPC}=.3162$ $n=9,000$ $N\to\infty$

Aby zrozumieć te wyniki, dobrym punktem wyjścia jest przeczytanie kilku samouczków online na temat teorii próbkowania, w których próbkowanie odbywa się bez zamiany ( proste losowe próbkowanie ). Ten internetowy samouczek dotyczący statystyki nieparametrycznej zawiera ilustrację obliczania oczekiwań i wariancji dla całości.

$N$ $N-1$ $N$ $N-1$ $S^2$ $\sigma^2$

Jeśli chodzi o referencje online, mogę ci zasugerować

— chl
źródło

Ta formuła jest używana do ograniczonej populacji, ale z zamianą czy bez zamiany?

— skan

@skan bez wymiany.

— Black Milk