Czy mogę przekonwertować macierz kowariancji na niepewności dla zmiennych?

Mam urządzenie GPS, które wyprowadza pomiar hałasu za pomocą macierzy kowariancji : $\Sigma$

$\Sigma = \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right]$

(tam też zaangażowany ale zignorujmy że na sekundę). $t$

Załóżmy, że chcę powiedzieć komuś innemu, że dokładność w każdym kierunku ( ) to pewna liczba. . To znaczy, mój GPS może dać mi odczyt , itp. Rozumiem, że w tym przypadku oznacza, że wszystkie wielkości mierzone są od siebie niezależne (tj. Kowariancja matryca jest ukośna). Co więcej, znalezienie błędu wektora jest tak proste, jak dodanie błędów w kwadraturze (pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów). $x,y,z$ $\mu_x, \mu_y, \mu_z$ $x=\bar{x}\pm\mu_x$ $\mu$

Co się stanie, jeśli moja macierz kowariancji nie będzie przekątna? Czy istnieje prosta liczba $\mu_x^*$ która obejmuje efekty kierunków $y$ i $z$ ? Jak mogę to znaleźć, biorąc pod uwagę macierz kowariancji?

covariance measurement-error uncertainty

— Dang Khoa
źródło

Co masz na myśli przez znalezienie błędu wektora poprzez dodanie błędów w kwadraturze? Każdy z twoich wskazówek to błąd innej wielkości - dodawanie błędów w kwadraturze ma miejsce, gdy łączysz wiele źródeł błędów na jednej wielkości. Jak myślisz, co oznacza błąd wektorowy?

— Corone,

Na marginesie - w wielu regresjach ludzie często stwierdzają błąd standardowy współczynników regresji, ale w rzeczywistości szacunki dla różnych współczynników są skorelowane. Możliwe jest wytworzenie 95% elipsoid ufności, które reprezentują niepewność w wielu wymiarach - bardzo podobnie do rozważanej sytuacji.

— Silverfish,

Nie ma jednej liczby obejmującej wszystkie informacje o kowariancji - jest 6 informacji, więc zawsze potrzebujesz 6 liczb.

Istnieje jednak wiele rzeczy, które możesz rozważyć.

Po pierwsze, błąd (wariancja) w dowolnym określonym kierunku jest podawany przez $i$

$\sigma_i^2 = \mathbf{e}_i ^ \top \Sigma \mathbf{e}_i$

Gdzie jest wektorem jednostkowym w kierunku zainteresowania. $\mathbf{e}_i$

Teraz, jeśli spojrzysz na to dla swoich trzech podstawowych współrzędnych , zobaczysz, że: $(x,y,z)$

$\sigma_x^2 = \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]^\top \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right] = \sigma_{xx}$

$\sigma_y^2 = \sigma_{yy}$

$\sigma_z^2 = \sigma_{zz}$

Zatem błąd w każdym z kierunków rozpatrywanych osobno wynika z przekątnej macierzy kowariancji. Ma to intuicyjny sens - jeśli rozważam tylko jeden kierunek, zmiana samej korelacji nie powinna mieć znaczenia.

Masz rację, zauważając, że po prostu stwierdzasz:

$x = \mu_x \pm \sigma_x$

$y = \mu_x \pm \sigma_y$

$z = \mu_z \pm \sigma_z$

Nie oznacza to żadnej korelacji między tymi trzema stwierdzeniami - każde zdanie samo w sobie jest całkowicie poprawne, ale wzięte razem niektóre informacje (korelacje) zostały usunięte.

Jeśli będziesz wykonywać wiele pomiarów, każdy z tą samą korelacją błędów (zakładając, że pochodzi to od sprzętu pomiarowego), wówczas jedną z eleganckich możliwości jest obrócenie współrzędnych w celu przekątnej macierzy kowariancji. Następnie możesz przedstawić błędy w każdym z tych kierunków osobno, ponieważ będą one teraz nieskorelowane.

Jeśli chodzi o przyjęcie „błędu wektorowego” przez dodanie kwadratury, nie jestem pewien, czy rozumiem, co mówisz. Te trzy błędy są błędami w różnych ilościach - nie znoszą się nawzajem, więc nie widzę, jak je dodać. Masz na myśli błąd na odległość?

— Corone
źródło

Tak, mam na myśli błąd w całkowitej odległości, przepraszam za zamieszanie.

— Dang Khoa

Ale odległość nie wynosi (chyba, że faktycznie masz na myśli odległość taksówki?), Więc błędy nie będą dodawane w kwadraturze, prawda? Jeśli przyjmiemy normalność, wówczas będzie miało niecentralny rozkład chi-kwadrat na 3 stopniach swobody. Myślę, że rozkład odległości zacznie się robić chaotyczny bez pewnych uproszczeń.

d = x + y + z

$d = x + y + z$

d^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}

$d^2 = x^2 + y^2 + z^2$

— Corone

@Corone, kiedy mówisz „Po pierwsze, błąd w jakimś konkretnym kierunku” Czy mówisz o wariancji, mówiąc błąd?

— CroCo

@ coco tak to prawda, ponieważ zaczynamy od kowariancji

— Corone