Uzgadnianie notacji dla modeli mieszanych

Znam notacje takie jak:

\begin{aligned} y_{i j} & = β_{0} + β_{i} x_{i j} + u_{j} + e_{i j} \\ = β_{0 j} + β_{i} x_{i j} + e_{i j} \end{aligned}

$\begin{align} y_{ij} &= \beta_0 + \beta_i x_{ij} + u_j + e_{ij}\\ &= \beta_{0j} + \beta_i x_{ij} + e_{ij} \end{align}$ gdzie i

β_{0 j} = β_{0} + u_{j}

$\beta_{0j}=\beta_{0}+u_j$

\begin{aligned} y_{i j} & = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + e_{i j} \\ = β_{0 j} + β_{1 j} x_{i j} + e_{i j} \end{aligned}

$\begin{align} y_{ij} &= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j} + u_{1j} x_{ij} + e_{ij} \\ &= \beta_{0j} + \beta_{1j} x_{ij} + e_{ij} \end{align}$ gdzie i

β_{0 j} = β_{0} + u_{0 j}

$\beta_{0j}=\beta_{0}+u_{0j}$

β_{1 j} = β_{1} + u_{1 j}

$\beta_{1j}=\beta_1+u_{1j}$

odpowiednio dla modelu losowego przechwytywania i losowego nachylenia + losowego modelu przechwytywania.

Natknąłem się również na notację macierzową / wektorową, o której mówiono mi, że „notacja modelu mieszanego dla dorosłych” (według mojego starszego brata):

y = X β + Z b + e

$\mathbf{y}=\mathbf{X\beta} + \mathbf{Z b} + \mathbf{e}$ gdzie to ustalone efekty, a to efekty losowe.

β

$\mathbf{\beta}$

b

$\mathbf{b}$

Jeśli dobrze zrozumiałem, ten drugi zapis jest bardziej ogólny dla tych pierwszych, które są konkretnymi wersjami drugiego.

Chciałbym zobaczyć, w jaki sposób można wyprowadzić te pierwsze.

mixed-model mathematical-statistics

— Joe King
źródło

Czy pytasz o wyjaśnienie notacji macierzowej? Pytam dlatego, że to pytanie nie wymaga matematycznego wyprowadzenia: wszystkie twoje formuły mówią dokładnie te same rzeczy, a powiązanie ich ze sobą jest tylko kwestią zrozumienia, jak działa notacja macierzowa.

— whuber

@ whuber Rozumiem notację macierzy i algebrę macierzy do pewnego stopnia. Ale nie wiem, jak zacząć od formy matrycowej i dojść do innych form. Prawdopodobnie nie rozumiem czegoś o matrycach X i Z, ale miałem tylko nadzieję, że ktoś to przeliteruje.

— Joe King

@ Whuber jest coś, co mogę zrobić, aby poprawić pytanie, czy mówisz, że jest to tak podstawowe, że nie zasługuje na odpowiedź?

— Joe King

@JoeKing: Myślę, że mówi, że notacja macierzowa jest z definicji równoważna notacji macierzy. To znaczy, masz już (macierz ixj razy macierz jx1 daje macierz ix1 ), która wynosi . (Możesz w , włączając 1 w )

x_{i j} β_{i}

$x_{ij}\beta_i$

y_{i}

$y_i$

y = X β

$y=X\beta$

β_{0}

$\beta_0$

β

$\beta$

X

$X$

— Wayne

@Wayne oba modele mają efekty losowe i efekty stałe. Pierwszy ma losowy punkt przecięcia, podczas gdy drugi ma losowy punkt przecięcia i losowe nachylenie. Gdybym mógł sam to rozgryźć, nie zadałbym tutaj pytania !!!!

— Joe King,

Rozważamy model mieszany z losowymi nachyleniami i losowymi przechwytywaniami. Ponieważ mamy tylko jeden regressor, model ten można zapisać jako gdzie oznacza -tą obserwację grupy odpowiedzi, a i odpowiedni czynnik predykcyjny i błąd.

y_{i j} = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + ϵ_{i j},

$y_{ij}= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j}+u_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij},$

y_{i j}

$y_{ij}$

i

$i$

j

$j$

x_{i j}

$x_{ij}$

ϵ_{i j}

$\epsilon_{ij}$

Model ten można wyrazić w notacji macierzowej w następujący sposób:

Y = X β + Zb + ϵ,

$\mathbf{Y}=\mathbf{X}\beta + \textbf{Zb} + \epsilon,$ co odpowiada

Y = [\begin{matrix} X & Z \end{matrix}] [\begin{matrix} β \\ b \end{matrix}] + ϵ

$\mathbf{Y}= \begin{bmatrix} \mathbf{X} & \textbf{Z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta\\ \mathbf{b} \end{bmatrix}+ \epsilon$

Załóżmy, że mamy grupy , tj. i niech oznacza liczbę obserwacji w tej grupie. Partycjonowane dla każdej grupy, możemy napisać powyższą formułę jako $J$ $j=1,\dots,J$ $n_j$ $j$

[\begin{matrix} Y_{1} \\ Y_{2} \\ ⋮ \\ Y_{J} \end{matrix}] = [\begin{matrix} X_{1} & Z_{1} & 0 & 0 & 0 \\ X_{2} & 0 & Z_{2} & 0 & 0 \\ ⋮ & \dots \\ X_{J} & 0 & 0 & 0 & Z_{J} \end{matrix}] [\begin{matrix} β \\ b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{J} \end{matrix}] + [\begin{matrix} ϵ_{1} \\ ϵ_{2} \\ ⋮ \\ ϵ_{J} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \mathbf{Y_1} \\ \mathbf{Y_2} \\ \vdots \\ \mathbf{Y_J} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{X_1} & \mathbf{Z_1} & 0 & 0 & 0 \\ \mathbf{X_2} & 0 & \mathbf{Z_2} & 0 & 0 \\ \vdots & & & \dots & \\ \mathbf{X_J} & 0 & 0 & 0 & \mathbf{Z_J} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta \\ b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_J \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \vdots \\ \epsilon_J \end{bmatrix}$

gdzie jest zawierającą wszystkie obserwacje odpowiedzi dla grupy , i są macierzami projektowymi w tym przypadku, a jest ponownie macierz. $\mathbf{Y_j}$ $n_j \times 1$ $j$ $\mathbf{X_j}$ $\mathbf{Z_j}$ $n_j \times 2$ $\epsilon_j$ $n_j \times 1$

Pisząc je, mamy:

$\mathbf{Y_j} = \begin{bmatrix} y_{1j}\\ y_{2j}\\ \vdots \\ y_{n_jj} \end{bmatrix}, \mathbf{X_j}=\mathbf{Z_j}=\begin{bmatrix} 1 & x_{1j} \\ 1 & x_{2j} \\ \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n_jj} \end{bmatrix}$ i $\epsilon_j = \begin{bmatrix} \epsilon_{1j}\\ \epsilon_{2j}\\ \vdots \\ \epsilon_{n_jj} \end{bmatrix}.$

Wektory współczynników regresji są zatem

$\beta = \begin{pmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \end{pmatrix}$ , $b_j=\begin{pmatrix} u_{0j}\\ u_{1j} \end{pmatrix}$

Aby zobaczyć, że te dwie formuły modelowe są rzeczywiście równoważne, spójrzmy na dowolną z grup (powiedzmy -ta). $j$

Y_{j} = X_{j} β + Z_{j} b_{j} + ϵ_{j}

$\mathbf{Y_j} = \mathbf{X_j} \beta + \mathbf{Z_j}b_j + \epsilon_j$

Stosując powyższe definicje, można pokazać, że ty rząd wynikowego wektora to po prostu gdzie wynosi od do . $i$

y_{i j} = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + ϵ_{i j},

$y_{ij}= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j}+u_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij},$

i

$i$

1

$1$

n_{j}

$n_j$

— Philipp Burckhardt
źródło

+1, chciałbym tylko , że istnieją duże zalety obliczeniowe wynikające z implementacji przy użyciu zamiast pełnej macierzy są zasadniczo rozproszenie wersja przechowywania matrycy

Z_{j}

$Z_j$

Z

$Z$

Z_{j}

$Z_j$

Z

$Z$

— probabilityislogic