Obliczanie Jaccarda lub innego współczynnika asocjacji dla danych binarnych przy użyciu mnożenia macierzy

Chcę wiedzieć, czy istnieje jakikolwiek sposób obliczenia współczynnika Jaccard przy użyciu mnożenia macierzy.

Użyłem tego kodu

    jaccard_sim <- function(x) {
    # initialize similarity matrix
    m <- matrix(NA, nrow=ncol(x),ncol=ncol(x),dimnames=list(colnames(x),colnames(x)))
    jaccard <- as.data.frame(m)

    for(i in 1:ncol(x)) {
     for(j in i:ncol(x)) {
        jaccard[i,j]= length(which(x[,i] & x[,j])) / length(which(x[,i] | x[,j]))
        jaccard[j,i]=jaccard[i,j]        
       }
     }

Jest to w porządku do zaimplementowania w R. Zrobiłem kostkę podobną, ale utknąłem z Tanimoto / Jaccard. Czy ktoś może pomóc?

Wiemy, że Jaccard (obliczony między dowolnymi dwiema kolumnami danych binarnych ) to , podczas gdy Rogers-Tanimoto to , gdzie$\bf{X}$$\frac{a}{a+b+c}$$\frac{a+d}{a+d+2(b+c)}$

• a - liczba wierszy, w których obie kolumny to 1
• b - liczba wierszy, w których ta, a nie druga kolumna, to 1
• c - liczba wierszy, w których druga, a nie ta kolumna, to 1
• d - liczba wierszy, w których obie kolumny mają wartość 0

$a+b+c+d=n$ , liczba wierszy w$\bf{X}$

Potem będzie:

$\bf X'X=A$ jest kwadratem symetryczny matrycy pomiędzy wszystkimi kolumnami.$a$

$\bf (not X)'(not X)=D$ jest kwadratową macierzą symetryczną między wszystkimi kolumnami („nie X” konwertuje 1-> 0 i 0-> 1 w X).$d$

Tak więc to kwadratowa symetryczna macierz Jaccard między wszystkimi kolumnami.$\frac{\bf A}{n-\bf D}$

$\frac{\bf A+D}{\bf A+D+2(n-(A+D))}=\frac{\bf A+D}{2n-\bf A-D}$ to kwadratowa macierz symetryczna Rogers-Tanimoto między wszystkimi kolumnami.

Sprawdziłem numerycznie, czy te formuły dają poprawny wynik. Oni robią.

Aktualizacja Możesz także uzyskać macierze i :$\bf B$$\bf C$

$\bf B= [1]'X-A$ , gdzie "[1]" oznacza macierz te, ustawione w . jest kwadratową macierzą asymetryczną między wszystkimi kolumnami; jego elementem ij jest liczba wierszy w z 0 w kolumnie i i 1 w kolumnie j .$\bf X$$\bf B$$b$$\bf X$

W związku z tym .$\bf C=B'$

Macierz można również obliczyć w ten sposób, oczywiście: .$\bf D$$n \bf -A-B-C$

Znając macierze , jesteś w stanie obliczyć macierz dowolnego (nie) współczynnika podobieństwa wymyślonego dla danych binarnych.$\bf A, B, C, D$

Powyższe rozwiązanie nie jest zbyt dobre, jeśli X jest rzadki. Ponieważ wzięcie! X stworzy gęstą matrycę, wymagającą dużej ilości pamięci i obliczeń.

Lepszym rozwiązaniem jest użycie formuły Jaccard [i, j] = #common / (#i + #j - #common) . W przypadku rzadkich macierzy można to zrobić w następujący sposób (zwróć uwagę, że kod działa również w przypadku macierzy nielicznych):

library(Matrix)
jaccard <- function(m) {
    ## common values:
    A = tcrossprod(m)
    ## indexes for non-zero common values
    im = which(A > 0, arr.ind=TRUE)
    ## counts for each row
    b = rowSums(m)

    ## only non-zero values of common
    Aim = A[im]

    ## Jacard formula: #common / (#i + #j - #common)
    J = sparseMatrix(
          i = im[,1],
          j = im[,2],
          x = Aim / (b[im[,1]] + b[im[,2]] - Aim),
          dims = dim(A)
    )

    return( J )
}

Może to być przydatne dla Ciebie, w zależności od Twoich potrzeb. Zakładając, że interesuje Cię podobieństwo między zadaniami klastrowania:

Współczynnik podobieństwa Jaccard lub Indeks Jaccard można wykorzystać do obliczenia podobieństwa dwóch przypisań klastrowych.

Biorąc pod uwagę labelings L1i L2, Ben-Hur, Elisseeff i Guyon (2002) wykazały, że indeks jaccarda można obliczyć kropka produkty o pośrednim matrycy. Poniższy kod wykorzystuje to do szybkiego obliczenia Indeksu Jaccard bez konieczności przechowywania macierzy pośrednich w pamięci.

Kod jest napisany w C ++, ale można go załadować do R za pomocą sourceCpppolecenia.

/**
 * The Jaccard Similarity Coefficient or Jaccard Index is used to compare the
 * similarity/diversity of sample sets. It is defined as the size of the
 * intersection of the sets divided by the size of the union of the sets. Here,
 * it is used to determine how similar to clustering assignments are.
 *
 * INPUTS:
 *    L1: A list. Each element of the list is a number indicating the cluster
 *        assignment of that number.
 *    L2: The same as L1. Must be the same length as L1.
 *
 * RETURNS:
 *    The Jaccard Similarity Index
 *
 * SIDE-EFFECTS:
 *    None
 *
 * COMPLEXITY:
 *    Time:  O(K^2+n), where K = number of clusters
 *    Space: O(K^2)
 *
 * SOURCES:
 *    Asa Ben-Hur, Andre Elisseeff, and Isabelle Guyon (2001) A stability based
 *    method for discovering structure in clustered data. Biocomputing 2002: pp.
 *    6-17. 
 */
// [[Rcpp::export]]
NumericVector JaccardIndex(const NumericVector L1, const NumericVector L2){
  int n = L1.size();
  int K = max(L1);

  int overlaps[K][K];
  int cluster_sizes1[K], cluster_sizes2[K];

  for(int i = 0; i < K; i++){    // We can use NumericMatrix (default 0) 
    cluster_sizes1[i] = 0;
    cluster_sizes2[i] = 0;
    for(int j = 0; j < K; j++)
      overlaps[i][j] = 0;
  }

  //O(n) time. O(K^2) space. Determine the size of each cluster as well as the
  //size of the overlaps between the clusters.
  for(int i = 0; i < n; i++){
    cluster_sizes1[(int)L1[i] - 1]++; // -1's account for zero-based indexing
    cluster_sizes2[(int)L2[i] - 1]++;
    overlaps[(int)L1[i] - 1][(int)L2[i] - 1]++;
  }

  // O(K^2) time. O(1) space. Square the overlap values.
  int C1dotC2 = 0;
  for(int j = 0; j < K; j++){
    for(int k = 0; k < K; k++){
      C1dotC2 += pow(overlaps[j][k], 2);
    }
  }

  // O(K) time. O(1) space. Square the cluster sizes
  int C1dotC1 = 0, C2dotC2 = 0;
  for(int i = 0; i < K; i++){
    C1dotC1 += pow(cluster_sizes1[i], 2);
    C2dotC2 += pow(cluster_sizes2[i], 2);
  }

  return NumericVector::create((double)C1dotC2/(double)(C1dotC1+C2dotC2-C1dotC2));
}