Różnica losowych zmiennych Gamma

Biorąc pod uwagę dwie niezależne zmienne losowe i , jaki jest rozkład różnicy, tj. ? $X\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_X,\beta_X)$ $Y\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_Y,\beta_Y)$ $D=X-Y$

Jeśli wynik nie jest dobrze znany, w jaki sposób mógłbym uzyskać wynik?

distributions gamma-distribution

— FBC
źródło

Myślę, że mogą być istotne: stats.stackexchange.com/q/2035/7071

— Dimitriy V.

Niestety nie ma znaczenia, ten post rozważa sumę ważoną zmiennych losowych Gamma, gdzie wagi są ściśle dodatnie. W moim przypadku wagi wynosiłyby odpowiednio +1 i -1.

— FBC

Artykuł Moschopoulosa twierdzi, że metodę można rozszerzyć na kombinacje liniowe, ale masz rację, że przeskalowanie wydaje się być ograniczone do wag większych niż 0. Stoję skorygowany.

— Dimitriy V. Masterov

Nie ma nadziei na uzyskanie czegoś prostego lub zamkniętego, chyba że dwa czynniki skali są takie same.

— whuber

Mała uwaga: w specjalnym przypadku wykładniczo rozłożonych rvs z tym samym parametrem wynikiem jest Laplace ( en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution ).

— Ric

Opiszę, w jaki sposób można podejść do problemu, i stwierdzę, że moim zdaniem końcowy rezultat będzie w przypadku specjalnym, gdy parametrami kształtu są liczby całkowite, ale nie wypełniam szczegółów.

Po pierwsze, zauważ, że przyjmuje wartości w a więc ma wsparcie . $X-Y$ $(-\infty,\infty)$ $f_{X-Y}(z)$ $(-\infty,\infty)$
Po drugie, ze standardowych wyników wynika, że gęstość sumy dwóch niezależnych ciągłych zmiennych losowych jest splotem ich gęstości, tj. oraz że gęstość zmiennej losowej wynosi , wywnioskuj, że
$f_{X + Y} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x$ $f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx$ $-Y$ $f_{-Y}(\alpha) = f_Y(-\alpha)$ $f_{X - Y} (z) = f_{X + (- Y)} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{- Y} (z - x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (x - z) d x .$ $f_{X-Y}(z) = f_{X+(-Y)}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_{-Y}(z-x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx.$
$X$ $Y$
$f_{X - Y} (z) = {\begin{cases} \int_{0}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (x - z) d x, & z < 0, \\ \int_{0}^{\infty} f_{X} (y + z) f_{Y} (y) d y, & z > 0. \end{cases}$ $f_{X-Y}(z) = \begin{cases} \int_0^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx, & z < 0,\\ \int_{0}^\infty f_X(y+z)f_Y(y)\,\mathrm dy, & z > 0. \end{cases}$
$\Gamma(s,\lambda)$ $\lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{x>0}(x)$ $X \sim \Gamma(s,\lambda)$ $Y \sim \Gamma(t,\mu)$ $z > 0$
$\begin{aligned} f_{X - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ (y + z))^{s - 1}}{Γ (s)} \exp (- λ (y + z)) μ \frac{(μ y)^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ y) d y \\ (1) & = \exp (- λ z) \int_{0}^{\infty} p (y, z) \exp (- (λ + μ) y) d y . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda (y+z))^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda (y+z)) \mu\frac{(\mu y)^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu y)\,\mathrm dy\\ &= \exp(-\lambda z) \int_0^\infty p(y,z)\exp(-(\lambda+\mu)y)\,\mathrm dy.\tag{1} \end{align*}$ $z < 0$ $\begin{aligned} f_{X - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ x)^{s - 1}}{Γ (s)} \exp (- λ x) μ \frac{(μ (x - z))^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ (x - z)) d x \\ (2) & = \exp (μ z) \int_{0}^{\infty} q (x, z) \exp (- (λ + μ) x) d x . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x) \mu\frac{(\mu (x-z))^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu (x-z))\,\mathrm dx\\ &= \exp(\mu z) \int_0^\infty q(x,z)\exp(-(\lambda+\mu)x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align*}$

$s = t$

\int_{0}^{\infty} x^{s - 1} (x + β)^{s - 1} \exp (- ν x) d x

$\int_0^\infty x^{s-1}(x+\beta)^{s-1}\exp(-\nu x)\,\mathrm dx$

β

$\beta$

f_{X - Y} (z)

$f_{X-Y}(z)$

$s$ $t$ $p(y,z)$ $y$ $z$ $(s+t-2, s-1)$ $q(x,z)$ $x$ $z$ $(s+t-2,t-1)$

$z > 0$ $(1)$ $s$ $y$ $1, z, z^2, \ldots z^{s-1}$ $X-Y$ $\Gamma(1,\lambda), \Gamma(2,\lambda), \cdots, \Gamma(s,\lambda)$ $z > 0$ $t$
$z < 0$ $X-Y$ $\Gamma(1,\mu), \Gamma(2,\mu), \cdots, \Gamma(t,\mu)$ $(\mu|z|)^{k-1}\exp(\mu z)$ $(\mu z)^{k-1}\exp(-\mu z)$ $s$

— Dilip Sarwate
źródło

+1: Po obejrzeniu tego problemu uważam tę odpowiedź za fascynującą.

— Neil G

Przyjmuję tę odpowiedź, chociaż wydaje się, że nie ma rozwiązania w formie zamkniętej. Jest tak blisko, jak to możliwe, dzięki!

— FBC

f_{- Y} (α) \neq f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) ≠ f_{Y}(-\alpha)$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) = f_{Y}(-\alpha)$

P {Y > 0} = 1

$P\{Y > 0\} = 1$

- Y

$-Y$

0

$0$

1

$1$

Y

$Y$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

α < 0

$\alpha<0$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

0

$0$

α < 0

$\alpha<0$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (α) = 0

$f_{-Y}(\alpha)=f_Y(\alpha)=0$

α

$\alpha$

Y

$Y$

Y

$Y$

-

$-$

-

$-$

f_{Y}

$f_Y$

R^{+}

$\mathbb R^+$

Według mojej wiedzy rozkład różnicy dwóch niezależnych gamma rv został po raz pierwszy zbadany przez Mathai w 1993 roku. Wyprowadził rozwiązanie w formie zamkniętej. Nie powielę tutaj jego pracy. Zamiast tego wskażę ci oryginalne źródło. Rozwiązanie formy zamkniętej można znaleźć na stronie 241 jako twierdzenie 2.1 w jego pracy na temat niecentralnego uogólnionego Laplaciana form kwadratowych w zmiennych normalnych .

— Nathan Crock
źródło