Aby podać dokładne definicje, niech będą zmiennymi losowymi o wartości rzeczywistej.X1, ... ,Xn
Stacjonarność jest zwykle definiowana tylko wtedy, gdy myślimy o indeksie zmiennych jako o czasie . W tym przypadku sekwencja zmiennych losowych jest stacjonarna z ma taki sam rozkład jak . Sugeruje to w szczególności, że dla wszystkie mają ten sam rozkład krańcowy, a zatem taką samą średnią krańcową i wariancję (biorąc pod uwagę, że mają skończony drugi moment).X1, ... ,Xn - 1X2), ... ,XnXii=1,…,n
Znaczenie heteroscedastyczności może zależeć od kontekstu. Jeżeli marginalne wariancje zmieniają się z (nawet jeśli średnia jest stała), zmienne losowe są nazywane heteroscedastycznymi w tym sensie, że nie są homoscedastyczne.Xii
W analizie regresji zwykle rozważamy warunkowo odpowiedź na regresory i definiujemy heteroscedastyczność jako niestałą wariancję warunkową.
W analizie szeregów czasowych, gdzie terminologia warunkowego Heteroskedastyczność jest powszechne zainteresowanie jest zazwyczaj wariancji warunkowo na . Jeśli ta warunkowa wariancja nie jest stała, mamy warunkową heteroscedastyczność. Model ARCH (autoregresywna heteroscedastyczność warunkowa) jest najbardziej znanym przykładem stacjonarnego modelu szeregów czasowych o nie stałej stałej warunkowości.XkXk−1,…,X1
Heteroscedastyczność (w szczególności warunkowa heteroscedastyczność) zasadniczo nie oznacza niestacjonarności.
Stacjonarność jest ważna z wielu powodów. Jedną prostą konsekwencją statystyczną jest to, że średnia
jest wówczas bezstronnym estymatorem oczekiwań (i przy założeniu ergodyczności , która jest nieco większa niż stacjonarność i często zakładana domyślnie, średnia jest spójnym estymatorem oczekiwań dla ).
1n∑i=1nf(Xi)
Ef(X1)n→∞
Znaczenie heteroscedastyczności (lub homoscedastyczności) jest ze statystycznego punktu widzenia związane z oceną niepewności statystycznej, np. Obliczaniem przedziałów ufności. Jeśli obliczenia są przeprowadzane przy założeniu homoscedastyczności, podczas gdy dane faktycznie pokazują heteroscedastyczność, wynikające z tego przedziały ufności mogą być mylące.