Średnia batejskiego mrugnięcia przed

Chciałem zadać pytanie inspirowane doskonałą odpowiedzią na pytanie dotyczące intuicji w dystrybucji beta. Chciałem lepiej zrozumieć wyprowadzenie dla wcześniejszego rozkładu dla średniej mrugnięcia. Wygląda na to, że David wycofuje parametry ze średniej i zakresu.

Zakładając, że średnia wynosi $0.27$ a odchylenie standardowe wynosi , czy możesz wycofać i , rozwiązując te dwa równania: $0.18$ $\alpha$ $\beta$

\frac{α}{α + β} = 0.27 \frac{α \cdot β}{(α + β)^{2} \cdot (α + β + 1)} = {0.18}^{2}

$\begin{equation} \frac{\alpha}{\alpha+\beta}=0.27 \\ \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2\cdot(\alpha+\beta+1)}=0.18^2 \end{equation}$

bayesian prior

— Dimitriy V. Masterov
źródło

Szczerze mówiąc, po prostu kontynuowałem wykresy wartości w R, dopóki nie wyglądało to dobrze.

— David Robinson

gdzie otrzymujesz standardowe odchylenie wynoszące 0,18?

— appleLover,

Jak wymyśliłeś to standardowe odchylenie? Czy wiedziałeś o tym wcześniej?

— Maria Ławrowska

Odpowiedzi:

Zauważ, że:

\frac{α \cdot β}{(α + β)^{2}} = (\frac{α}{α + β}) \cdot (1 - \frac{α}{α + β})

$\begin{equation} \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2}=(\frac{\alpha}{\alpha+\beta})\cdot(1-\frac{\alpha}{\alpha+\beta}) \end{equation}$

Oznacza to, że wariancję można zatem wyrazić jako średnią jako

σ^{2} = \frac{μ \cdot (1 - μ)}{α + β + 1}

$\begin{equation} \sigma^2=\frac{\mu\cdot(1-\mu)}{\alpha+\beta+1} \\ \end{equation}$

Jeśli chcesz średnią $.27$ i odchylenie standardowe $.18$ (wariancji $.0324$ ), po prostu obliczyć:

α + β = \frac{μ (1 - μ)}{σ^{2}} - 1 = \frac{.27 \cdot (1 - .27)}{.0324} - 1 = 5.083333

$\begin{equation} \alpha+\beta=\frac{\mu(1-\mu)}{\sigma^2}-1=\frac{.27\cdot(1-.27)}{.0324}-1=5.083333 \\ \end{equation}$

Teraz, gdy znasz sumę, $\alpha$ i $\beta$ są łatwe:

α = μ (α + β) = .27 \cdot 5.083333 = 1.372499 β = (1 - μ) (α + β) = (1 - .27) \cdot 5.083333 = 3.710831

$\begin{equation} \alpha=\mu(\alpha+\beta)=.27 \cdot 5.083333=1.372499 \\ \beta=(1-\mu)(\alpha+\beta)=(1-.27) \cdot 5.083333=3.710831 \end{equation}$

Możesz sprawdzić tę odpowiedź w R:

> mean(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.2700334
> var(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.03241907

— David Robinson
źródło

α

$\alpha$

β

$\beta$

Nie stosuję się szczególnie do sabermetrii - w innej odpowiedzi okazało się, że jest to bardzo wygodny przykład szacowania p z dwumianu z uprzednim. Nie wiem nawet, jak to się dzieje w sabermetrii, a jeśli tak, wiem, że pominąłem wiele elementów (zawodnicy mający różne priorytety, zmiany stadionu, ważące ostatnie trafienia w stosunku do starych ...)

— David Robinson,

Jestem pod wrażeniem, że twoje oczy były tak dokładne.

— Dimitriy V. Masterov,

α = 1.37

$\alpha = 1.37$

β = 3.71

$\beta = 3.71$

@Alex Żądana wariancja i odchylenie standardowe pochodzą z powyższego pytania, które wymagało SD o wartości 0,18, a nie postu dystrybucji beta. Gdybym obliczał zamiast gałki ocznej, mógłbym odgadnąć SD czegoś takiego jak .03, co dałoby wartości 59 i 160.

— David Robinson

Chciałem dodać to jako komentarz do doskonałej odpowiedzi, ale trwał długo i będzie lepiej wyglądał z formatowaniem odpowiedzi.

$(\mu, \sigma^2)$ $\mu \in [0,1]$ $\sigma^2$

Korzystając z tego samego rozumowania co Dawid, możemy wyrazić

σ^{2} (α, μ) = \frac{μ^{2} (1 - μ)}{α + μ}

$\sigma^2(\alpha, \mu) = \frac{\mu^2 (1-\mu)}{\alpha + \mu}$

$\alpha$ $\sigma^2$ $\mu$

lim_{α \to 0} σ^{2} (α, μ) = μ (1 - μ)

$\lim_{\alpha \rightarrow 0}\sigma^2(\alpha, \mu) = \mu(1-\mu)$

$\alpha$ $\alpha > 0$ $\mu = \frac12$

$\mu$ $\alpha$ $\beta = \frac{1-\mu}{\mu} \alpha$ sprowadza się do coraz większej masy pliku PDF zbliżonego do 0 i 1, tj. zbliżenia się do rozkładu Bernoulliego, dlatego supremum wariancji jest dokładnie odpowiadającą wariancją Bernoulliego.

Podsumowując, oto zestaw prawidłowych środków i wariantów dla wersji beta:

(Rzeczywiście jest to odnotowane na stronie Wikipedii dla wersji Beta )

— MichaelChirico
źródło