Kowariancja transformowanych zmiennych losowych

Mam dwie zmienne losowe i . $X > 0$ $Y > 0$

Biorąc pod uwagę, że mogę oszacować jak mogę oszacować

Cov (X, Y),

$\text{Cov}(X, Y),$

Cov (\log (X), \log (Y)) ?

$\text{Cov}(\log(X), \log(Y))?$

data-transformation covariance random-variable

— użytkownik7064
źródło

To poprzednie pytanie dotyczyło korelacji zamiast kowariancji, ale jest powiązane: stats.stackexchange.com/questions/35941/...

— Douglas Zare

Można przyjąć podejście ekspansji Taylora:

http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_expansions_for_the_moments_of_functions_of_random_variables

Edytować:

Weź $U=\log(X)$ , $V=\log(Y)$ .

Użyj wielowymiarowego rozszerzenia Taylora, aby obliczyć przybliżenie do (w podobny sposób jak przykład na końcu „First Moment” w łączu, który robi prostszy przypadek i użyj rozszerzeń jednowymiarowych, aby obliczyć przybliżenia do i (jak podano w pierwszej części tej samej sekcji) z podobną dokładnością. Na podstawie tych rzeczy oblicz (przybliżoną) kowariancję. $\rm{E}(UV)$ $\rm{E}(X.1/Y))$ $\rm{E}(U)$ $\rm{E}(V)$

Rozwijając się do podobnego stopnia przybliżenia jak w przykładzie w łączu, myślę, że kończysz się terminami w średniej i wariancji każdej (nietransformowanej) zmiennej oraz ich kowariancji.

Edycja 2:

Ale oto mała sztuczka, która może zaoszczędzić trochę wysiłku:

Zauważ, że i i . $\rm{E}(XY) = \rm{Cov}(X,Y) + \rm{E}(X)\rm{E}(Y)$ $X=\exp(U)$ $Y=\exp(V)$

Biorąc pod uwagę mamy

E [f (X)] \approx f (μ_{X}) + \frac{f^{″} (μ_{X})}{2} σ_{X}^{2}

$\operatorname{E}\left[f(X)\right]\approx f(\mu_X) +\frac{f''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$

E (\exp (U)) \approx \exp (μ_{U}) + \frac{\exp (μ_{U})}{2} σ_{U}^{2} \approx \exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2})

$\operatorname{E}(\exp(U)) \approx \exp(\mu_U) + \frac{\exp(\mu_U)}{2}\sigma_U^2 \approx \exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

Edycja: Ten ostatni krok wynika z przybliżenia Taylora , co jest dobre dla małego (biorąc ). $\exp(b) \approx 1 + b$ $b$ $b =\frac{1}{2}\sigma_U^2$

(to przybliżenie jest dokładne dla normalnej , : nazwa ) $U$ $V$ $\operatorname{E}(\exp(U))=\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

Niech $W = U + V$

E (X Y) = E (\exp (U) . \exp (V)) = E (\exp (W))

$\operatorname{E}(XY) = \operatorname{E}(\exp(U).\exp(V)) = \operatorname{E}(\exp(W))$

\approx \exp (μ_{W}) + \frac{e x p (μ_{W})}{2} σ_{W}^{2} \approx \exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})

$\approx \exp(\mu_{W}) + \frac{exp(\mu_{W})}{2}\sigma_W^2 \approx \exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)$

i podany , a następnie $\operatorname{Var}(W) = \operatorname{Var}(U) + \operatorname{Var}(V) + 2 \operatorname{Cov}(U,V)$

(Edytować:)

1 + \frac{Cov (X, Y)}{E (X) E (Y)} = \frac{E (X Y)}{E (X) E (Y)}

$1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)} = \frac{\operatorname{E}(XY)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)}$

\approx \frac{\exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \frac{\exp (μ_{U} + μ_{V} + \frac{1}{2} (σ_{U}^{2} + σ_{V}^{2} + 2 Cov (U, V)))}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_U+\mu_V+\frac{1}{2}(\sigma_U^2+\sigma_V^2+2 \operatorname{Cov}(U,V)))}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \exp [Cov (U, V)]

$\approx \exp[\operatorname{Cov}(U,V)]$

Stąd . To powinno być dokładne dla dwudzielnego gaussa $\operatorname{Cov}(U,V)\approx \log(1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)})$ $U,V$

Jeśli użyjesz pierwszego przybliżenia zamiast drugiego, uzyskasz inne przybliżenie tutaj.

— Glen_b - Przywróć Monikę
źródło

Czy mógłbyś podać trochę więcej szczegółów? W każdym razie,

— dziękuję

Edytowane dla szczegółów.

— Glen_b

Dzięki @Glend_b. Zaakceptuję, kiedy zostaną dodane szczegóły. W międzyczasie +1 :-)

— user7064 18.01.13

Bez obaw; Byłem wtedy zajęty, a potem zupełnie zapomniałem. Teraz naprawiono

— Glen_b

Zasadniczo działa lepiej dla zmiennych niegaussowskich, jeśli wariancje i są małe (równoważnie, jeśli współczynniki wariancji i są małe).

U

$U$

V

$V$

X

$X$

Y

$Y$

— Glen_b

Bez dodatkowych założeń dotyczących i nie można wywnioskować kowariancji dziennika, znając kowariancję początkową. Z drugiej strony, jeśli byłbyś w stanie obliczyć z i , co uniemożliwia Ci obliczenie z i bezpośrednio? $X$ $Y$ $\mathrm{Cov}(X,Y)$ $X$ $Y$ $\mathrm{Cov}(\log(X), \log(Y))$ $\log(X)$ $\log(Y)$

— ThePawn
źródło