Gradient utraty zawiasu

Próbuję zaimplementować podstawowe zejście gradientu i testuję go za pomocą funkcji utraty zawiasu, tj. . Jestem jednak zdezorientowany co do gradientu utraty zawiasu. Mam wrażenie, że tak jest$l_{\text{hinge}} = \max(0,1-y\ \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{w})$

$$\frac{\partial }{\partial w}l_{\text{hinge}} = \begin{cases} -y\ \boldsymbol{x} &\text{if } y\ \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{w} < 1 \\ 0&\text{if } y\ \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{w} \geq 1 \end{cases}$$

Ale czy to nie zwraca macierzy tego samego rozmiaru co $\boldsymbol{x}$ ? Myślałem, że chcemy zwrócić wektor długości $\boldsymbol{w}$ ? Najwyraźniej mam gdzieś coś zagubionego. Czy ktoś może tutaj wskazać właściwy kierunek?

Dołączyłem podstawowy kod na wypadek, gdyby mój opis zadania nie był jasny

#Run standard gradient descent
gradient_descent<-function(fw, dfw, n, lr=0.01)
{
    #Date to be used
    x<-t(matrix(c(1,3,6,1,4,2,1,5,4,1,6,1), nrow=3))
    y<-c(1,1,-1,-1)
    w<-matrix(0, nrow=ncol(x))

    print(sprintf("loss: %f,x.w: %s",sum(fw(w,x,y)),paste(x%*%w, collapse=',')))
    #update the weights 'n' times
    for (i in 1:n)
    {
      w<-w-lr*dfw(w,x,y)
      print(sprintf("loss: %f,x.w: %s",sum(fw(w,x,y)),paste(x%*%w,collapse=',')))
    }
}
#Hinge loss
hinge<-function(w,x,y) max(1-y%*%x%*%w, 0)
d_hinge<-function(w,x,y){ dw<-t(-y%*%x); dw[y%*%x%*%w>=1]<-0; dw}
gradient_descent(hinge, d_hinge, 100, lr=0.01)

Aktualizacja: Chociaż poniższa odpowiedź pomogła mi zrozumieć problem, dane wyjściowe tego algorytmu są nadal niepoprawne dla danych. Funkcja strat zmniejsza się za każdym razem o 0,25, ale zbiega się zbyt szybko, a uzyskane masy nie skutkują dobrą klasyfikacją. Obecnie wygląda to na wynik

#y=1,1,-1,-1
"loss: 1.000000, x.w: 0,0,0,0"
"loss: 0.750000, x.w: 0.06,-0.1,-0.08,-0.21"
"loss: 0.500000, x.w: 0.12,-0.2,-0.16,-0.42"
"loss: 0.250000, x.w: 0.18,-0.3,-0.24,-0.63"
"loss: 0.000000, x.w: 0.24,-0.4,-0.32,-0.84"
"loss: 0.000000, x.w: 0.24,-0.4,-0.32,-0.84"
"loss: 0.000000, x.w: 0.24,-0.4,-0.32,-0.84"
...  

Aby uzyskać gradient, różnicujemy stratę w odniesieniu do tego składnika .$i$$w$

Przepisać straty zawiasu pod względem jako , gdzie if ( g ( w ) ) f ( z ) = max ( 0 , 1 - y z ) g ( w ) = x ⋅ $w$$f(g(w))$$f(z)=\max(0,1-y\ z)$$g(w)=\mathbf{x}\cdot \mathbf{w}$

Używając reguły łańcucha, otrzymujemy

$$\frac{\partial}{\partial w_i} f(g(w))=\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial g}{\partial w_i}$$

Pierwszy składnik pochodny jest oceniany przy staje się gdy , i 0, gdy . Drugi termin pochodny staje się . Więc w końcu dostajesz - y x ⋅ w < 1 x ⋅ w > 1 x i ∂ f ( g ( w ) $g(w)=x\cdot w$$-y$$\mathbf{x}\cdot w<1$$\mathbf{x}\cdot w>1$$x_i$

$$\frac{\partial f(g(w))}{\partial w_i} = \begin{cases} -y\ x_i &\text{if } y\ \mathbf{x}\cdot \mathbf{w} < 1 \\ 0&\text{if } y\ \mathbf{x}\cdot \mathbf{w} > 1 \end{cases}$$

Ponieważ rozciąga się na składowe , możesz zobaczyć powyższe jako wielkość wektorową i napisać jako skrót dlax $i$$x$ ($\frac{\partial}{\partial w}$$(\frac{\partial}{\partial w_1},\frac{\partial}{\partial w_2},\ldots)$

Spóźnia się to o 3 lata, ale może być przydatne dla kogoś ...

Niech oznacza próbkę punktów i zestaw odpowiednich etykiet . Szukamy hiperpłaszczyzny , która minimalizuje całkowitą utratę zawiasów: Aby znaleźć oblicz pochodną całkowitej utraty zawiasu. Gradient każdego komponentu to: x i ∈ R d y i ∈ { - 1 , 1 } w w ∗ = argmin  w L h i n g e S ( w ) = argmin  w ∑ i l h i n g e ( w , x i , y i ) = argmin  w ∑ i max { 0 $S$$x_i \in R^d$$y_i \in \{-1,1\}$$w$w ∗ ∂ l h i n g

$$\begin{equation} w^* = \underset{w}{\text{argmin }} L^{hinge}_S(w) = \underset{w}{\text{argmin }} \sum_i{l_{hinge}(w,x_i,y_i)}= \underset{w}{\text{argmin }} \sum_i{\max{\{0,1-y_iw\cdot x}\}} \end{equation}$$ $w^*$ $$\frac{\partial{l_{hinge}}}{\partial w}= \begin{cases} 0 & y_iw\cdot x \geq 1 \\ -y_ix & y_iw\cdot x < 1 \end{cases}$$

Gradient sumy jest sumą gradientów. przykład Python, który wykorzystuje GD do znalezienia następuje optymalna separacja hiperpłaszczyzny zawiasu (prawdopodobnie nie jest to najbardziej wydajny kod, ale działa)

$$\frac{\partial{L_S^{hinge}}}{\partial{w}}=\sum_i{\frac{\partial{l_{hinge}}}{\partial w}}$$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def hinge_loss(w,x,y):
    """ evaluates hinge loss and its gradient at w

    rows of x are data points
    y is a vector of labels
    """
    loss,grad = 0,0
    for (x_,y_) in zip(x,y):
        v = y_*np.dot(w,x_)
        loss += max(0,1-v)
        grad += 0 if v > 1 else -y_*x_
    return (loss,grad)

def grad_descent(x,y,w,step,thresh=0.001):
    grad = np.inf
    ws = np.zeros((2,0))
    ws = np.hstack((ws,w.reshape(2,1)))
    step_num = 1
    delta = np.inf
    loss0 = np.inf
    while np.abs(delta)>thresh:
        loss,grad = hinge_loss(w,x,y)
        delta = loss0-loss
        loss0 = loss
        grad_dir = grad/np.linalg.norm(grad)
        w = w-step*grad_dir/step_num
        ws = np.hstack((ws,w.reshape((2,1))))
        step_num += 1
    return np.sum(ws,1)/np.size(ws,1)

def test1():
    # sample data points
    x1 = np.array((0,1,3,4,1))
    x2 = np.array((1,2,0,1,1))
    x  = np.vstack((x1,x2)).T
    # sample labels
    y = np.array((1,1,-1,-1,-1))
    w = grad_descent(x,y,np.array((0,0)),0.1)
    loss, grad = hinge_loss(w,x,y)
    plot_test(x,y,w)

def plot_test(x,y,w):
    plt.figure()
    x1, x2 = x[:,0], x[:,1]
    x1_min, x1_max = np.min(x1)*.7, np.max(x1)*1.3
    x2_min, x2_max = np.min(x2)*.7, np.max(x2)*1.3
    gridpoints = 2000
    x1s = np.linspace(x1_min, x1_max, gridpoints)
    x2s = np.linspace(x2_min, x2_max, gridpoints)
    gridx1, gridx2 = np.meshgrid(x1s,x2s)
    grid_pts = np.c_[gridx1.ravel(), gridx2.ravel()]
    predictions = np.array([np.sign(np.dot(w,x_)) for x_ in grid_pts]).reshape((gridpoints,gridpoints))
    plt.contourf(gridx1, gridx2, predictions, cmap=plt.cm.Paired)
    plt.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=y, cmap=plt.cm.Paired)
    plt.title('total hinge loss: %g' % hinge_loss(w,x,y)[0])
    plt.show()

if __name__ == '__main__':
    np.set_printoptions(precision=3)
    test1()

Naprawiłem twój kod. Głównym problemem jest twoja definicja funkcji zawiasów i d_hinge. Należy je nakładać pojedynczo. Zamiast tego twoja definicja agreguje wszystkie próbki przed pobraniem maksimum.

#Run standard gradient descent
gradient_descent<-function(fw, dfw, n, lr=0.01)
{
    #Date to be used
    x<-t(matrix(c(1,3,6,1,4,2,1,5,4,1,6,1), nrow=3))
    y<-t(t(c(1,1,-1,-1)))
    w<-matrix(0, nrow=ncol(x))


    print(sprintf("loss: %f,x.w: %s",sum(mapply(function(xr,yr) fw(w,xr,yr), split(x,row(x)),split(y,row(y)))),paste(x%*%w, collapse=',')))
    #update the weights 'n' times
    for (i in 1:n)
    {
      w<-w-lr*dfw(w,x,y)
      print(sprintf("loss: %f,x.w: %s",sum(mapply(function(xr,yr) fw(w,xr,yr), split(x,row(x)),split(y,row(y)))),paste(x%*%w,collapse=',')))
    }
}

#Hinge loss
hinge<-function(w,xr,yr) max(1-yr*xr%*%w, 0)
d_hinge<-function(w,x,y){ dw<- apply(mapply(function(xr,yr) -yr * xr * (yr * xr %*% w < 1),split(x,row(x)),split(y,row(y))),1,sum); dw}
gradient_descent(hinge, d_hinge, 100, lr=0.01)

Potrzebuję n = 10000, aby się zbiegać.

[1] "strata: 0,090000, xw: 1,08999999999995,0.90999999999999905, -1.19000000000008, -1.69000000000011" [1] "strata: 0.100000, xw: 1.33999999999995,1,1199999999999, -0,900000000000075, -1,420000000000, 11,420000000000, 11,420000000000, 11,42000000000000, 11,4000000000000, 11,4000000000000, 11,4000000000000, 11,4000000000000, 11,4000000000000 0,939999999999948,0.829999999999905, -1.32000000000007, -1.77000000000011 Strata „[1]”: 0,370000, xw: 1,64999999999995,1,2899999999999, -0,630000000000075, -1,25000000000011 ”[1]” strata: 0,000000 [1] "strata: 0,240000, xw: 1,49999999999995,1.2099999999999, -0,760000000000075, -1.33000000000011" [1] "strata: 0,080000, xw: 1,09999999999995,05,0, 9199999999995, -1.18000000000007, -1.680000000000, 11.68000000000000, 11.68000000000000, 11.68000000000000 1.34999999999995,1,129999999999, -0,880000000000075, -1.41000000000011 "[1] "strata: 0.210000, xw: 0,949999999999948,0.839999999999905, -1.31000000000007, -1.76000000000011" [1] "strata: 0.380000, xw: 1.65999999999995,1,999999999999, -0,62000000000074, -11,0000000000, x1,1100 1,25999999999995,1,009999999999999, -1.0400000000000008, -1.59000000000011 Strata „[1]”: 0,000000, xw: 1,25999999999995,1,009999999999999, -1,04000000000008, -1,500000000000011 ”