Rozkład z

Czy są jakieś informacje o rozkładzie, którego $n$ ty skumulowany parametr podaje $\frac 1 n$ ? Funkcja generująca kumulanty ma postać

κ (t) = \int_{0}^{1} \frac{e^{t x} - 1}{x} d x .

$\kappa(t) = \int_0 ^ 1 \frac{e^{tx} - 1}{x} \ dx.$ Natknąłem się na to jako ograniczający rozkład niektórych zmiennych losowych, ale nie byłem w stanie znaleźć żadnych informacji na ten temat.

distributions mgf cumulants

— chłopak
źródło

Nie widzę, że ta funkcja

którą podałeś, ma właściwość, do której się zgłosiłeś! Powinieneś zrewidować swoją pracę. Przybliżenie wykładniczego n całki blisko zera za pomocą

, całka blisko zera staje się

, więc jest rozbieżna. Tak więc całka nie może reprezentować skumulowanej funkcji generującej.

κ (t)

$\kappa(t)$

1 + t x

$1+tx$

t / x

$t/x$

— kjetil b halvorsen

@kjetilbhalvorsen nie jestem pewien, czy śledzę. Przybliżenie

pomocą

daje

e^{t x}

$e^{tx}$

1 + t x

$1 + tx$

dla całki. Również zgodnie ztymfunkcja, którą dałem, ma znaną całkę pod względem całek hiperbolicznych cosinus i sinus. Aby pokazać, że

ma deklarowaną właściwość, po prostu wykonaj pełną serię Taylora około

dla

i przepchnij całkę do sumy, aby uzyskać szereg Taylora dla

około

\frac{t x}{x} = t

$\frac{tx}{x} = t$

κ (t)

$\kappa(t)$

0

$0$

e^{t x}

$e^{tx}$

κ (t)

$\kappa(t)$

0

$0$

— facet

sympy mówi, że całka jest rozbieżna (na swój ekscentryczny sposób!). Ale sympia musi się mylić, widzę to teraz, eksperymentowałem z pewną integracją numeryczną i działa ona dobrze. Spróbuję ponownie.

— kjetil b halvorsen

Patrząc na wynik Alfa Wolphrama, również nie może być poprawny, ma granicę niezerową, gdy t zbliża się do zera, podczas gdy

wyraźnie.

κ (0) = 0

$\kappa(0)=0$

— kjetil b halvorsen

Uważam, że jest to absolutnie ciągłe włączenie

. Jest on realizowany jako granica compoud zmiennych losowych Poissona; jako

złożony Poissona ze współczynnikiem

(0, \infty)

$(0, \infty)$

n \to \infty

$n \to \infty$

i gęstość rozkładu skokowego

\int_{1 / n}^{1} \frac{1}{x} d x

$\int_{1/n}^1 \frac 1 x \ dx$

słabo zbiega się z tym rozkładem.

f_{n} (x) \propto \frac{1}{x} I (1 / n < x < 1)

$f_n(x) \propto \frac 1 x I(1/n < x < 1)$

— facet

Znajomość wartości kumulantów pozwala nam zorientować się, jak będzie wyglądał wykres tego rozkładu prawdopodobieństwa. Średnia i wariancja rozkładu wynosi

E [Y] = κ_{1} = 1, Var [Y] = κ_{2} = \frac{1}{2}

$E[Y] = \kappa_1 =1, \;\; \text{Var}[Y] = \kappa_2 = \frac 12$

podczas gdy jego skośność i nadmiar współczynników kurtozy są

γ_{1} = \frac{κ_{3}}{(κ_{2})^{3 / 2}} = \frac{(1 / 3)}{(1 / 2)^{3 / 2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}

$\gamma_1 = \frac{\kappa_3}{(\kappa_2)^{3/2}} = \frac{(1/3)}{(1/2)^{3/2}} = \frac{2\sqrt 2}{3}$

γ_{2} = \frac{κ_{4}}{(κ_{2})^{2}} = \frac{(1 / 4)}{(1 / 2)^{2}} = 1

$\gamma_2 = \frac{\kappa_4}{(\kappa_2)^{2}} = \frac{(1/4)}{(1/2)^{2}} = 1$

So this could be a familiar looking graph of a positive random variable exhibiting positive skewness. As for finding the probability distribution, a craftsman's approach could be to specify a generic discrete probability distribution, taking values in $\{0,1,...,m\}$ , with corresponding probabilities $\{p_0,p_1,...,p_m\},\; \sum_{k=0}^mp_k =1$ , and then use the cumulants to calculate the raw moments, with the purpose of forming a system of linear equations with the probabilities being the unknowns. Cumulants are related to raw moments by

κ_{n} = μ_{n}^{'} - \sum_{i = 1}^{n - 1} (\binom{n - 1}{i - 1}) κ_{i} μ_{n - i}^{'}

$\kappa_n=\mu'_n-\sum_{i=1}^{n-1}{n-1 \choose i-1}\kappa_i \mu_{n-i}'$ Solved for the first five raw moments this gives (the numerical value at the end is specific to the cumulants in our case)

\begin{aligned} μ_{1}^{'} = & κ_{1} = 1 \\ μ_{2}^{'} = & κ_{2} + κ_{1}^{2} = 3 / 2 \\ μ_{3}^{'} = & κ_{3} + 3 κ_{2} κ_{1} + κ_{1}^{3} = 17 / 6 \\ μ_{4}^{'} = & κ_{4} + 4 κ_{3} κ_{1} + 3 κ_{2}^{2} + 6 κ_{2} κ_{1}^{2} + κ_{1}^{4} = 19 / 3 \\ μ_{5}^{'} = & κ_{5} + 5 κ_{4} κ_{1} + 10 κ_{3} κ_{2} + 10 κ_{3} κ_{1}^{2} + 15 κ_{2}^{2} κ_{1} + 10 κ_{2} κ_{1}^{3} + κ_{1}^{5} = 243 / 15 \end{aligned}

$\begin{align} \mu'_1=&\kappa_1 =1\\ \mu'_2=&\kappa_2+\kappa_1^2=3/2\\ \mu'_3=&\kappa_3+3\kappa_2\kappa_1+\kappa_1^3=17/6\\ \mu'_4=&\kappa_4+4\kappa_3\kappa_1+3\kappa_2^2+6\kappa_2\kappa_1^2+\kappa_1^4=19/3\\ \mu'_5=&\kappa_5+5\kappa_4\kappa_1+10\kappa_3\kappa_2+10\kappa_3\kappa_1^2+15\kappa_2^2\kappa_1+10\kappa_2\kappa_1^3+\kappa_1^5=243/15\\ \end{align}$ If we (momentarily) set

m = 5

$m=5$ we have the system of equations

\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{5} p_{k} = & 1, \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k = 1 \\ \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{2} = & 3 / 2, \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{3} = 17 / 6 \\ \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{4} = & 19 / 3, \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{5} = 243 / 15 \\ s . t . p_{k} \geq 0 \forall k \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{k=0}^5p_k=&1,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk=1\\ \sum_{k=0}^5p_kk^2=&3/2,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk^3=17/6\\ \sum_{k=0}^5p_kk^4=& 19/3 ,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk^5= 243/15\\ &s.t. p_k\ge 0 \;\;\forall k\\ \end{align}$

Of course we do not want $m$ to be equal to $5$ . But increasing gradually $m$ (and obtaining the value of the subsequent moments), we should eventually reach a point where the solution for the probabilities stabilizes. Such an approach cannot be done by hand -but I have neither the software access, nor the programming skills necessary to perform such a task.

— Alecos Papadopoulos
źródło

This is cool. Maybe I could do some kind of Edgeworth expansion as well? Actually, I have an idea of what the density looks like already (assuming it exists) since I can simulate directly from it. It is very strange - it looks uniform over some range

(0, a)

$(0, a)$ and then on

(a, \infty)

$(a, \infty)$ it decays with something like an exponential tail (it's been a long time since I did the simulation).

— guy

Thanks. Of course you can always perform an Edgworth expansion based on the cumulants, but I wonder how well it will perform, given the strange shape you describe. It would be interesting to contrast the two.Can you tell me the value for

a

$a$ ?

— Alecos Papadopoulos

Dug up my old code and found

a \approx 1

$a \approx 1$ . If

Y \sim κ (t)

$Y \sim \kappa(t)$ then

[Y ∣ Y < 1]

$[Y \mid Y < 1]$ is approximatey

U (0, 1)

$\mathcal U(0, 1)$ and

[Y - 1 ∣ Y > 1]

$[Y - 1\mid Y > 1]$ is approximately gamma distributed with shape

1.4

$1.4$ and mean

0.64

$0.64$ .

— guy

What do you mean by

Y \sim κ (t)

$Y \sim \kappa(t)$ ?

— Alecos Papadopoulos

So what does the pdf look like then? As for fitting by moments, is the fit 'robust' and 'stable' as one increases the number of moments used (4, 5, 6, 7 or 8 etc), or is it all over the place?

— wolfies