Czy istnieją asymptotyki trzeciego rzędu?

14

Większość asymptotycznych wyników w statystykach dowodzi, że gdy estymator (taki jak MLE) jest zbieżny do rozkładu normalnego opartego na rozszerzeniu Taylora rzędu drugiego funkcji prawdopodobieństwa. Uważam, że w literaturze bayesowskiej istnieje podobny wynik, „Bayesowskie centralne twierdzenie graniczne”, które pokazuje, że a posterior zbiega się asymptotycznie do normalnej jako $n \rightarrow \infty$ $n \rightarrow \infty$

Moje pytanie brzmi - czy rozkład zbiega się w coś „zanim” stanie się normalny, na podstawie trzeciego terminu z serii Taylor? Czy też nie jest to w ogóle możliwe?

mathematical-statistics asymptotics saddlepoint-approximation

— Gabgoh
źródło

(+1) .. dobre pytanie. Bayesowskie centralne twierdzenie graniczne nazywa się aproksymacją Laplace'a, tj. Tylne zachowuje się „mniej więcej” jak rozkład normalny. (formalnie tylny zbiega się w rozkładzie do rozkładu normalnego)

— suncoolsu

Powiązane: stats.stackexchange.com/questions/191492/...

— kjetil b halvorsen

7

Szukasz serii Edgeworth, prawda?

http://en.wikipedia.org/wiki/Edgeworth_series#Edgeworth_series

(zauważ, że Edgeworth zmarł w 1926 r., czy powinien znaleźć się u najbardziej znanych statystów?)

— Robin Girard
źródło

5

$n$

$n$ $n$ $n^{1/2}$ $m^\text{th}$ $m^\text{th}$ $(n^{1/2})^m = n^{m/2}$ $n$ $m^\text{th}$ $n/n^{m/2} = n^{-(m-2)/2}$ $1/n^{1/2}$ $1/n$ , i tak dalej. Są to warunki wyższego rzędu. (Aby uzyskać szczegółowe informacje, zobacz na przykład ten artykuł Yuval Filmus .)

$n$ $n$ $n$ $n$ $1/n^{1/2}$ $1/n$ termin jest dodaną do tego mniejszą, szybciej zanikającą korektą i tak dalej. W skrócie, dodatkowe warunki dają obraz tego, jak szybko sekwencja zbliża się do granicy.

$n$ $1/n^{1/2}$

— Whuber
źródło

z jakiegoś powodu nie wydaje mi się, żeby twoja odpowiedź była całkowicie przekonująca. Zgadzam się, że rozkład musi być „rozciągnięty” i że niepoprawne jest twierdzenie, że zbiega się do X, zanim osiągnie normalność. To byłby błąd z mojej strony. Nadal uważam, że powinien istnieć sposób na skalowanie rozkładu tak, aby tylko czwarty rząd i powyżej „momentów” zmierzały w kierunku zera. Muszę się trochę zastanowić, jak dokładnie wyglądałaby ta rzecz skalująca, gdyby coś takiego istniało

— gabgoh

2

@ gabgoh Chciałbym dowiedzieć się więcej o tym, który aspekt (y) odpowiedzi jest słaby. Jeśli chodzi o skalowanie, utknąłeś: wykorzystałeś już tę możliwość w standaryzacji elementów sekwencji. Jeśli (hipotetycznie) jakaś forma skalowania powstrzyma trzecie chwile od zera, to zaprzeczysz CLT, ponieważ rozkład ograniczający nie byłby Normalny. Istnieje powiązany problem z asymptotykami estymatorów. Często można dostosować estymator, aby zabijać wyższe momenty asymptotycznie (np. Przy ładowaniu początkowym): ale nadal nie można tego zrobić przez samo skalowanie.

— whuber

3

Oto próba odpowiedzi na wnikliwe pytanie. Widziałem włączenie trzeciego terminu szeregu Taylora w celu zwiększenia szybkości zbieżności szeregu do rozkładu rzeczywistego. Jednak nie widziałem (z mojego ograniczonego doświadczenia) użycia trzeciego i wyższych momentów.

$n^{1/2}$ $n^{1/2}$ $n$

Dlatego myślę, że odpowiedź na twoje pytanie powinna brzmieć „ nie” . Rozkład asymptotyczny zbiega się z rozkładem normalnym (według CLT, w warunkach regularności CLT Lindberga). Jednak stosowanie terminów wyższych rzędów może zwiększyć szybkość konwergencji do rozkładu asymptotycznego.

— suncoolsu
źródło

3

Zdecydowanie nie moja dziedzina, ale jestem pewien, że istnieją asymptotyki trzeciego i wyższego rzędu. Czy to jakaś pomoc?

Robert L. Strawderman. Asymptotyczna aproksymacja wyższego rzędu: Laplace, Saddlepoint i powiązane metody Journal of the American Statistics Association Vol. 95, nr 452 (grudzień 2000), str. 1358–1364

— jeden przystanek
źródło