Opierając się na komentarzach do odpowiedzi Bena, zamierzam zaproponować dwie różne interpretacje tego wariantu Monty Hall, różniące się od Rubena van Bergena.
Pierwszą nazywam Kłamcą Monty, a drugą Niepewną Monty. W obu wersjach problem przebiega następująco:
(0) Są troje drzwi, za którymi jedno jest samochodem, a za pozostałymi dwoma kozami, rozmieszczonymi losowo.
(1) Zawodnik wybiera drzwi losowo.
(2) Monty wybiera drzwi inne niż drzwi zawodnika i twierdzi, że za nimi stoi koza.
(3) Proponuje się, aby uczestnik przeszedł na trzecie niezebrane drzwi, a problem polega na tym: „Kiedy zawodnik powinien się przełączyć, aby zmaksymalizować prawdopodobieństwo znalezienia samochodu za drzwiami?”
W Liar Monty, w kroku (2), jeśli zawodnik wybrał drzwi zawierające kozę, wtedy Monty wybiera drzwi zawierające samochód z pewnym określonym prawdopodobieństwem (tj. Istnieje szansa między 0 a 100%, że będzie kłamał, że koza jest za drzwiami). Zauważ, że w tym wariancie Monty nigdy nie wybiera drzwi zawierających samochód (tzn. Nie może kłamać), jeśli uczestnik wybrał samochód w kroku (1).
W Unreliable Monty istnieje z góry określone prawdopodobieństwo, że drzwi, które Monty wybiera w kroku (2), zawierają samochód. Biorę z twojego komentarza odpowiedź Bena, że jest to scenariusz, który Cię interesuje, i obie moje wersje różnią się od Rubena van Bergena. Zauważ, że niewiarygodny Monty to nie to samo, co Kłamca Monty; rygorystycznie rozróżnimy te dwa przypadki później. Ale rozważ to, w tym scenariuszu drzwi Monty nigdy nie mogą pomieścić samochodu bardziej niż2)3) czasu, ponieważ zawodnik ma prawdopodobieństwo wyboru samochodu 13) czasu.
Aby rozwiązać problem, będziemy musieli użyć kilku równań. Spróbuję sformułować moją odpowiedź, aby była dostępna. Dwie rzeczy, które, mam nadzieję, nie są zbyt mylące, to algebraiczna manipulacja symbolami i warunkowe prawdopodobieństwo. W przypadku tego pierwszego użyjemy symboli w celu oznaczenia:
S.S.¯M.M.¯dodo¯= Samochód znajduje się za drzwiami, na które zawodnik może się przełączyć.= Samochód nie znajduje się za drzwiami, na które zawodnik może się przełączyć.= Samochód jest za drzwiami, które wybrał Monty.= Samochód nie jest za drzwiami, które wybrał Monty.= Samochód znajduje się za drzwiami, które uczestnik wybrał w kroku (1).= Samochód nie znajduje się za drzwiami, które uczestnik wybrał w kroku (1).
We use Pr(∗) to denote "the probability of ∗", so that, put together, something like Pr(M¯) means the probability that the car is not behind the door Monty chose. (I.e. wherever you see an expression involving the symbols, replace the symbols with the "English" equivalents.)
We will also require some rudimentary understanding of conditional probability, which is roughly the probability of something happening if you have knowledge of another related event. This probability will be represented here by expressions such as Pr(S|M¯). The vertical bar | can be thought of as the expression "if you know", so that Pr(S|M¯) can be read as "the probability that the door the contestant can switch to has the car, if you know that the car is not behind Monty's door. In the original Monty Hall problem, Pr(S|M¯)=23, which is larger than Pr(S)=13, which corresponds to the case when Monty has not given you any information.
I will now demonstrate that Unreliable Monty is equivalent to Liar Monty. In Liar Monty, we are given the quantity Pr(M|C¯), the probability that Monty will lie about his door, knowing that the contestant has not chosen the car. In Unreliable Monty, we are given the quantity Pr(M), the probability that Monty lies about his door. Using the definition of conditional probability Pr(M and C¯)=Pr(C¯|M)Pr(M)=Pr(M|C¯)Pr(C¯), and rearranging, we obtain:
Pr(M)32Pr(M)=Pr(M|C¯)Pr(C¯)Pr(C¯|M)=Pr(M|C¯),
since Pr(C¯), the probability that the car is not behind the contestant's chosen door is 23 and Pr(C¯|M), the probability that the car is not behind the contestant's chosen door, if we know that it is behind Monty's door, is one.
Thus, we have shown the connection between Unreliable Monty (represented by LHS of the above equation) and Liar Monty (represented by the RHS). In the extreme case of Unreliable Monty, where Monty chooses a door that hides the car 23 of the time, this is equivalent to Monty lying all the time in Liar Monty, if the contestant has picked a goat originally.
Having shown this, I will now provide enough information to answer the Liar version of the Monty Hall Problem. We want to calculate Pr(S). Using the law of total probability:
Pr(S)=Pr(S|C)Pr(C)+Pr(S|C¯ and M)Pr(C¯ and M)+Pr(S|C¯ and M¯)Pr(C¯ and M¯)=Pr(C¯ and M¯)
since Pr(S|C)=Pr(S|C¯ and M)=0 and Pr(S|C¯ and M¯)=1 (convince yourself of this!).
Continuing:
Pr(S)=Pr(C¯ and M¯)=Pr(M¯|C¯)Pr(C¯)=23−23Pr(M|C¯))
So you see, when Monty always lies (aka Pr(M|C¯))=1) then you have a zero chance of winning if you always switch, and if he never lies then the probability the car is behind the door you can switch to, Pr(S), is 23.
From this you can work out the optimal strategies for both Liar, and Unreliable Monty.
Addendum 1
In response to comment (emphasis mine):
"I added more details in my comment to @alex - Monty is never hostile
nor devious, just FALLIBLE, as sometimes he can be wrong for whatever
reasons, and never actually opens the door. Research shows that Monty
is wrong roughly 33.3% of the time, and the car actually turns out to
be there. That is a Posterior Probability of being correct 66.6% of
the time, correct? Monty never chooses YOUR door, and you will never
choose his. Do these assumptions change anything?"
This is as I understand, the Unreliable Monty Hall Problem introduced at the start of my answer.
Therefore, if Monty's door contains the car 13 of the time, we have the probability of winning when you switch to the last unpicked door as:
Pr(S)=23−23Pr(M|C¯)=23−23×32Pr(M)=23−13=13
Thus, there is no difference between switching, remaining with the original door or if allowed, switching to Monty's chosen door (in line with your intuition.)