Osiągalne korelacje dla logarytmicznych zmiennych losowych

Rozważ logarytmiczne zmienne losowe i z i .X 2 log ( X 1 ) ∼ N ( 0 , 1 ) log ( X 2 ) ∼ N ( 0 , σ 2$X_1$$X_2$$\log(X_1)\sim \mathcal{N}(0,1)$$\log(X_2)\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$

Próbuję obliczyć i \ rho _ {\ min} dla \ rho (X_1, X_2) . Jednym z kroków w danym rozwiązaniu jest: ρ min ρ ( X 1 , X 2$\rho_{\max}$$\rho_{\min}$$\rho (X_1,X_2)$

$\rho_{\max}=\rho (\exp(Z),\exp(\sigma Z))$ i $\rho_{\min}=\rho (\exp(Z),\exp(-\sigma Z))$ ,

ale powoływali się na komonotoniczność i kontrkonkonotoniczność. Miałem nadzieję, że ktoś pomoże mi zrozumieć, jak są one istotne. (Wiem, jak to uzyskać z ogólnego wyrażenia, ale chcę wiedzieć dokładnie, co mówiły części comonotoniczne).

Zacznę od podania definicji comonotoniczności i przeciwdziałania . Następnie wspomnę, dlaczego jest to istotne, aby obliczyć minimalny i maksymalny możliwy współczynnik korelacji między dwiema zmiennymi losowymi. Na koniec obliczę te granice dla logarytmicznych zmiennych losowych $X_1$ i $X_2$ .

Comonotonicity i countermonotonicity
losowe zmienne są uważane comonotonic jeśli ich kopuła jest Fréchet górna granica , która jest najsilniej rodzaj „pozytywnej” zależności. Można wykazać, że są komonotoniczne wtedy i tylko wtedy, gdy gdzie jest jakąś zmienną losową, zwiększają funkcje, a M ( u 1 , … , u d ) = min ( u 1 , … , u d ) X 1 , … , X d ( X 1 , … , X d ) d = ( h 1 ( Z ) , … , h d ( Z ) $X_1, \ldots, X_d$ $M(u_1, \ldots, u_d) = \min(u_1, \ldots, u_d)$
$X_1, \ldots, X_d$Z h 1 , … , h d d

$$(X_1, \ldots, X_d) \stackrel{\mathrm{d}}{=} (h_1(Z), \ldots, h_d(Z)),$$ $Z$$h_1, \ldots, h_d$$\stackrel{\mathrm{d}}{=}$oznacza równość w dystrybucji. Tak więc comonotoniczne zmienne losowe są tylko funkcjami pojedynczej zmiennej losowej.

Mówi się, że zmienne losowe są przeciwmotoniczne, jeśli ich kopuła jest dolną granicą Frécheta , co jest najsilniejszym rodzajem „negatywnej” zależności w przypadek dwuwymiarowy. Przeciwwłamliwość nie uogólnia się na wyższe wymiary. Można wykazać, że są przeciwmotoniczne wtedy i tylko wtedy, gdy gdzie jest pewną zmienną losową, a i są odpowiednio funkcją rosnącą i malejącą lub odwrotnie. W ( U 1 , U 2 ) = max ( 0 , U 1 + U 2 - 1 ) X 1 , X 2 ( X 1 , X 2 ) d = ( h 1 ( Z ) , h 2 ( Z ) ) , Z h 1 h $X_1, X_2$ $W(u_1, u_2) = \max(0, u_1 + u_2 - 1)$
$X_1, X_2$

$$(X_1, X_2) \stackrel{\mathrm{d}}{=} (h_1(Z), h_2(Z)),$$ $Z$$h_1$$h_2$

Osiągalna korelacja
Niech i będą dwiema losowymi zmiennymi o ściśle dodatnich i skończonych wariancjach, a niech i oznaczają minimalny i maksymalny możliwy współczynnik korelacji między i . Następnie można to wykazaćX 2 ρ min ρ max X 1 X $X_1$$X_2$$\rho_{\min}$$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$

• ${\rm \rho}(X_1, X_2) = \rho_{\min}$ wtedy i tylko wtedy, gdy i są przeciwmotoniczne;X $X_1$$X_2$
• ${\rm \rho}(X_1, X_2) = \rho_{\max}$ wtedy i tylko wtedy, gdy i są comonotoniczne.X $X_1$$X_2$

Osiągalna korelacja dla logarytmicznych zmiennych losowych
Aby uzyskać wykorzystujemy fakt, że maksymalna korelacja jest osiągana wtedy i tylko wtedy, gdy i są comonotoniczne. Zmienne losowe i gdzie są comonotoniczne, ponieważ funkcja wykładnicza jest (ściśle) funkcją rosnącą, a zatem .$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$$X_1 = e^{Z}$$X_2 = e^{\sigma Z}$$Z \sim {\rm N} (0, 1)$$\rho_{\max} = {\rm corr} \left (e^Z, e^{\sigma Z} \right )$

Korzystając z właściwości lognormalnych zmiennych losowych , mamy , , , , a kowariancja to Tak więc ${\rm E}(e^Z) = e^{1/2}$${\rm E}(e^{\sigma Z}) = e^{\sigma^2/2}$${\rm var}(e^Z) = e(e - 1)$${\rm var}(e^{\sigma Z}) = e^{\sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1)$

$$\begin{align} {\rm cov}\left (e^Z, e^{\sigma Z}\right ) &= {\rm E}\left (e^{(\sigma + 1) Z}\right ) - {\rm E}\left (e^{\sigma Z}\right ){\rm E}\left (e^Z\right ) \\ &= e^{(\sigma + 1)^2/2} - e^{(\sigma^2 + 1)/2} \\ &= e^{(\sigma^2 + 1)/2} ( e^{\sigma} -1 ). \end{align}$$ $$\begin{align} \rho_{\max} & = \frac{ e^{(\sigma^2 + 1)/2} ( e^{\sigma} -1 ) } { \sqrt{ e(e - 1) e^{\sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1) } } \\ & = \frac{ ( e^{\sigma} -1 ) } { \sqrt{ (e - 1) (e^{\sigma^2} - 1) } }. \end{align}$$

Podobne obliczenia z wydajność $X_2 = e^{-\sigma Z}$

$$\begin{align} \rho_{\min} & = \frac{ ( e^{-\sigma} -1 ) } { \sqrt{ (e - 1) (e^{\sigma^2} - 1) } }. \end{align}$$

Komentarz
Ten przykład pokazuje, że możliwe jest posiadanie pary zmiennych losowych, które są silnie zależne - komonotoniczność i przeciwdziałanie są najsilniejszym rodzajem zależności - ale które mają bardzo niską korelację. Poniższa tabela pokazuje te granice w funkcji .$\sigma$

To jest kod R, którego użyłem do stworzenia powyższej tabeli.

curve((exp(x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), from = 0, to = 5,
      ylim = c(-1, 1), col = 2, lwd = 2, main = "Lognormal attainable correlation",
      xlab = expression(sigma), ylab = "Correlation", cex.lab = 1.2)
curve((exp(-x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), col = 4, lwd = 2, add = TRUE)
legend(x = "bottomright", col = c(2, 4), lwd = c(2, 2), inset = 0.02,
       legend = c("Correlation upper bound", "Correlation lower bound"))
abline(h = 0, lty = 2)