Aha, doskonałe pytanie !!
Naiwnie zaproponowałbym również krzywą logistyczną w kształcie litery S, ale jest to oczywiście słabe dopasowanie. O ile mi wiadomo, stały wzrost jest przybliżony, ponieważ YouTube liczy unikalne wyświetlenia (jedno na adres IP), więc nie może być więcej wyświetleń niż komputery.
x(t)y(t)tXY
x˙(t)=r1(x(t)+y(t))(X−x(t))
y˙(t)=r2(x(t)+y(t))(Y−y(t)),
r1>r2Yy
x˙(t)=r1x(t)(X−x(t))
y˙(t)=r2x(t),
r1>r2Y−y(t)r2
Ten system rozwiązuje
x(t)=XC1eXr1t1+C1eXr1t
y(t)=r2∫x(t)dt+C2=r2r1log(1+C1eXr1t)+C2,
C1C2x(t)+y(t)
0600,000,000x(t)y(t)
x˙(t)=r1x(t)(X−x(t))
y˙(t)=r2,
i rozwiązuje
x(t)=XC1eXr1t1+C1eXr1t
y(t)=r2t+C2.
x(0)=1t=0C1=1X−1≈1XXC2=y(0)C2=0Xr1r2
X=600,000,000r1=3.667⋅10−10r2=1,000,000
Aktualizacja: Z zebranych komentarzy wynika, że Youtube liczy wyświetlenia (w tajny sposób), a nie unikalne adresy IP, co robi dużą różnicę. Powrót do deski kreślarskiej.
Upraszczając, załóżmy, że widzowie są „zarażeni” filmem. Wracają, aby oglądać to regularnie, dopóki nie usuną infekcji. Jednym z najprostszych modeli jest SIR (Susceptible-Infected-Resistant), który jest następujący:
S˙(t)=−αS(t)I(t)
I˙(t)=αS(t)I(t)−βI(t)
R˙(t)=βI(t)
αβx(t)x˙(t)=kI(t)k
W tym modelu liczba wyświetleń gwałtownie rośnie po pewnym czasie od początku infekcji, czego nie ma w oryginalnych danych, być może dlatego, że filmy rozprzestrzeniają się również w sposób niezawirusowany (lub memowy). Nie jestem ekspertem w szacowaniu parametrów modelu SIR. Po prostu grając z różnymi wartościami, oto co wymyśliłem (w R).
S0 = 1e7; a = 5e-8; b = 0.01 ; k = 1.2
views = 0; S = S0; I = 1;
# Exrapolate 1 year after the onset.
for (i in 1:365) {
dS = -a*I*S;
dI = a*I*S - b*I;
S = S+dS;
I = I+dI;
views[i+1] = views[i] + k*I
}
par(mfrow=c(2,1))
plot(views[1:95], type='l', lwd=2, ylim=c(0,6e8))
plot(views, type='n', lwd=2)
lines(views[1:95], type='l', lwd=2)
lines(96:365, views[96:365], type='l', lty=2)
Model nie jest oczywiście idealny i można go uzupełnić na wiele sposobów. Ten bardzo przybliżony szkic przewiduje miliard wyświetleń w okolicach marca 2013 r. Zobaczmy ...