Sytuacja

Niektórzy badacze chcieliby cię uśpić. W zależności od tajnego rzutu uczciwej monety obudzą cię na krótko raz (Heads) lub dwukrotnie (Tails). Po każdym przebudzeniu uśpią cię z lekiem, który sprawi, że zapomnisz o przebudzeniu. Kiedy budzi się, do jakiego stopnia należy Ci uwierzyć, że wynik rzutu monetą był Heads?

(OK, może nie chcesz być przedmiotem tego eksperymentu! Załóżmy, że zamiast tego Śpiąca Królewna (SB) wyraża na to zgodę (oczywiście przy pełnej aprobacie Instytucjonalnej Komisji Rewizyjnej Magic Kingdom). spać przez sto lat, więc co to jeszcze za jeden lub dwa dni?)

[Szczegół ilustracji Maxfield Parrish .]

Czy jesteś halferem lub spragnionym?

Pozycja Halfer. Prosty! Moneta jest uczciwa - i SB o tym wie - więc powinna wierzyć, że istnieje połowa szans na zdobycie głów.

Pozycja Pragnienie. Gdyby ten eksperyment się powtarzał wiele razy, wówczas moneta trafi tylko w jedną trzecią czasu przebudzenia SB. Jej prawdopodobieństwo dla głów będzie wynosić jedną trzecią.

Trzeci mają problem

Większość, ale nie wszyscy, którzy o tym pisali, to osoby trzecie. Ale:

• W niedzielny wieczór, tuż przed zaśnięciem SB, musi uwierzyć, że szansa na zdobycie głów wynosi połowę: to oznacza, że ​​jest to uczciwa moneta.

• Kiedy SB się budzi, nauczyła się absolutnie niczego, czego nie znała w niedzielę wieczorem. Jaki może racjonalny argument przytoczyć za stwierdzenie, że jej wiara w głowy wynosi teraz jedną trzecią, a nie połowę?

Niektóre próby wyjaśnienia

• SB niekoniecznie straciłaby pieniądze, gdyby stawiła na główki o kursach innych niż 1/3. (Vineberg, między innymi )

• Połowa jest naprawdę poprawna: wystarczy użyć Everettowskiej interpretacji „wielu światów” mechaniki kwantowej! (Chwytak).

• SB aktualizuje swoje przekonanie w oparciu o postrzeganie własnej „lokalizacji czasowej” na świecie. (Elga, ia )

• SB jest zdezorientowana: „Wydaje się bardziej prawdopodobne, że jej stan epistemiczny po przebudzeniu nie powinien zawierać określonego stopnia wiary w głowy. … Prawdziwym problemem jest sposób radzenia sobie ze znaną, nieuniknioną wadą poznawczą. ”[Arntzenius]

---

Pytanie

Biorąc pod uwagę to, co zostało już napisane na ten temat (zobacz referencje oraz poprzedni post ), w jaki sposób można rozwiązać ten paradoks w sposób rygorystyczny statystycznie? Czy to w ogóle możliwe?

---

Bibliografia

Arntzenius, Frank (2002). Refleksje na temat analizy Sleeping Beauty Analysis 62,1 str. 53-62.

Bradley, DJ (2010). Bierzmowanie w rozgałęzionym świecie: interpretacja Everetta i śpiąca królewna . Brit. J. Phil. Sci. 0 (2010), 1–21.

Elga, Adam (2000). Samookreślająca się wiara i problem Śpiącej Królewny. Analiza 60 s. 143–7.

Franceschi, Paul (2005). Śpiąca królewna a problem redukcji świata . Przedruk

Groisman, Berry (2007). Koniec koszmaru Śpiącej Królewny . Przedruk

Lewis, D (2001). Śpiąca królewna: odpowiedz Eldze . Analiza 61,3 s. 171–6.

Papineau, David and Victor Dura-Vila (2008). Pragnienie i Everettian: odpowiedź na „Quantum Sleeping Beauty” Lewisa .

Pust, Joel (2008). Horgan on Sleeping Beauty . Synthese 160 str. 97-101.

Vineberg, Susan (bez daty, być może 2003). Beauty's Cautionary Tale .

Strategia

Chciałbym zastosować teorię racjonalnych decyzji do analizy, ponieważ jest to jeden z dobrze ugruntowanych sposobów na osiągnięcie rygoru w rozwiązywaniu problemu decyzji statystycznych. Próbując to zrobić, jedna trudność jawi się jako szczególna: zmiana świadomości SB.

• Racjonalna teoria decyzji nie ma mechanizmu radzenia sobie ze zmienionymi stanami mentalnymi.

• Pytając SB o jej wiarygodność w rzucie monetą, jednocześnie traktujemy ją w nieco autoreferencyjny sposób, zarówno jako podmiot (eksperyment SB), jak i eksperymentator (dotyczący rzutu monetą).

Zmieńmy eksperyment w nieistotny sposób: zamiast podawać lek usuwający pamięć, przygotuj stajnię klonów Śpiącej Królewny tuż przed rozpoczęciem eksperymentu. (Jest to kluczowy pomysł, ponieważ pomaga nam oprzeć się rozpraszającym - ale ostatecznie nieistotnym i wprowadzającym w błąd - kwestiom filozoficznym).

• Klony są takie jak ona pod każdym względem, w tym pamięć i myśl.

• SB ma pełną świadomość, że tak się stanie.

My może sklonować, w zasadzie. ET Jaynes zastępuje pytanie „jak zbudować matematyczny model ludzkiego zdrowego rozsądku” - coś, czego potrzebujemy, aby przemyśleć problem Śpiącej Królewny - „Jak moglibyśmy zbudować maszynę, która przeprowadzałaby użyteczne, wiarygodne rozumowanie, przestrzegając jasno określonych zasad wyrażających wyidealizowany zdrowy rozsądek? ” Zatem, jeśli chcesz, zastąp SB myślącym robotem Jaynesa i sklonuj go.

(Pojawiły się i nadal istnieją kontrowersje dotyczące „myślących” maszyn.

„Nigdy nie stworzą maszyny, która zastąpi ludzki umysł - robi wiele rzeczy, których żadna maszyna nigdy nie byłaby w stanie zrobić”.

Upierasz się, że jest coś, czego maszyna nie może zrobić. Jeśli powiesz mi dokładnie, czego nie potrafi maszyna, zawsze mogę stworzyć maszynę, która to zrobi! ”

--JOT. von Neumann, 1948. Cytowany przez ET Jaynesa w Teorii prawdopodobieństwa: logika nauki , str. 4.)

- Rube Goldberg

Eksperyment ze Śpiącą Królewną został powtórzony

Przygotuj identyczne kopie SB (w tym SB) w niedzielny wieczór. Wszyscy idą spać w tym samym czasie, potencjalnie przez 100 lat. Ilekroć musisz obudzić SB podczas eksperymentu, losowo wybierz klon, który nie został jeszcze przebudzony. Wszelkie przebudzenia wystąpią w poniedziałek i, jeśli to konieczne, we wtorek.$n \ge 2$

Twierdzę, że ta wersja eksperymentu daje dokładnie ten sam zestaw możliwych wyników, aż do stanów psychicznych i świadomości SB, z dokładnie tymi samymi prawdopodobieństwami. Jest to potencjalnie jeden z kluczowych punktów, w którym filozofowie mogą zaatakować moje rozwiązanie. Twierdzę, że to ostatni punkt, w którym mogą go zaatakować, ponieważ pozostała analiza jest rutynowa i rygorystyczna.

Teraz stosujemy zwykłą maszynerię statystyczną. Zacznijmy od przestrzeni próbki (możliwych wyników eksperymentalnych). Niech oznacza „budzi się w poniedziałek”, a oznacza „budzi się we wtorek”. Podobnie, niech oznacza „głowy”, a „t” oznacza ogony. Podpisuj klony liczbami całkowitymi . Następnie można zapisać możliwe wyniki eksperymentów (w czym mam nadzieję, że jest to przejrzysta, oczywista notacja) jako zbiórT h 1 , 2 , … , $M$$T$$h$$1, 2, \ldots, n$

$$\eqalign{ \{&hM_1, hM_2, \ldots, hM_n, \\ &(tM_1, tT_2), (tM_1, tT_3), \ldots, (tM_1, tT_n), \\ &(tM_2, tT_2), (tM_2, tT_3), \ldots, (tM_2, tT_n), \\ &\cdots, \\ &(tM_{n-1}, tT_2), (tM_{n-1}, tT_3), \ldots, (tM_{n-1}, tT_n) & \}. }$$

Prawdopodobieństwa w poniedziałek

Jako jeden z klonów SB, masz szansę na przebudzenie w poniedziałek podczas eksperymentu heads-up razy ( szansy na głowy) razy ( szansa, że ​​wybrano mnie na klon, który się obudzi). Mówiąc bardziej technicznie:1 /$1/2$$1/n$

• Zestaw wyników głów to . Jest ich n .$h = \{hM_j, j=1,2, \ldots,n\}$$n$

• Zdarzenie gdzie można budzi się z głowic .$h(i) = \{hM_i\}$

• $i$

  $$\Pr[h(i)] = \Pr[h] \times \Pr[h(i)|h] = \frac{1}{2} \times \frac{1}{n} = \frac{1}{2n}.$$

Prawdopodobieństwa we wtorek

• Zestaw wyników ogonów to . Jest ich . Wszystkie są równie prawdopodobne, z założenia.n ( n - 1 $t = \{(tM_j, tT_k): j \ne k\}$$n(n-1)$

• Ty, klon , budzisz się w tych przypadków; mianowicie sposobów na przebudzenie w poniedziałek (pozostało klonów do przebudzenia we wtorek) oraz sposobów na przebudzenie we wtorek (istnieje możliwych klonów w poniedziałek). Nazwij to zdarzenie .( n - 1 ) + ( n - 1 ) = 2 ( n - 1 ) n - 1 n - 1 n - 1 n - 1 t ( i $i$$(n-1) + (n-1) = 2(n-1)$$n-1$$n-1$$n-1$$n-1$$t(i)$

• Twoja szansa na przebudzenie podczas eksperymentu z ogonem wynosi

  $$\Pr[t(i)] = \Pr[t] \times P[t(i)|t] = \frac{1}{2} \times \frac{2(n-1}{n(n-1)} = \frac{1}{n}.$$

Twierdzenie Bayesa

Teraz, gdy zaszliśmy tak daleko, Twierdzenie Bayesa - matematyczna tautologia bezsporne - kończy pracę. Szansą na głowę każdego klona jest zatem

$$\Pr[h | t(i) \cup h(i)] = \frac{\Pr[h]\Pr[h(i)|h]}{\Pr[h]\Pr[h(i)|h] + \Pr[t]\Pr[t(i)|t]} = \frac{1/(2n)}{1/n + 1/(2n)} = \frac{1}{3}.$$

Ponieważ SB jest nie do odróżnienia od swoich klonów - nawet dla siebie! - to odpowiedź, którą powinna udzielić, gdy zostanie poproszona o stopień wiary w głowy.

Interpretacje

Pytanie „jakie jest prawdopodobieństwo głów” ma dwie racjonalne interpretacje dla tego eksperymentu: może prosić o szansę, że uczciwa moneta wyląduje na główce , czyli (odpowiedź Halfera), lub może poproś o szansę, by moneta wylądowała na głowie, pod warunkiem, że przebudziłeś się jako klon. To jest (odpowiedź Pragnienia).Pr [ h | t ( I ) ∪ H ( i ) ] = 1 /$\Pr[h] = 1/2$$\Pr[h|t(i) \cup h(i)] = 1/3$

W sytuacji, w której znajduje się SB (a raczej jeden z zestawu identycznie przygotowanych maszyn myślących Jaynesa), ta analiza - którą wykonało wielu innych (ale myślę mniej przekonująco, ponieważ nie usunęli tak wyraźnie filozoficznych rozproszeń w opisach eksperymentalnych) - obsługuje odpowiedź Thirder.

Odpowiedź Halfera jest poprawna, ale nieinteresująca, ponieważ nie ma związku z sytuacją, w której SB się znajduje. To rozwiązuje paradoks.

To rozwiązanie zostało opracowane w kontekście jednej dobrze zdefiniowanej konfiguracji eksperymentalnej. Wyjaśnienie eksperymentu wyjaśnia pytanie. Jasne pytanie prowadzi do jasnej odpowiedzi.

Komentarze

Wydaje mi się, że po Eldze (2000) można zgodnie z prawem scharakteryzować naszą odpowiedź warunkową jako „liczenie [swojej] lokalizacji czasowej jako istotnej dla prawdy h”, ale ta charakterystyka nie wnosi żadnego wglądu w problem: jedynie szkodzi dowody matematyczne. Wydaje mi się, że jest to tylko niejasny sposób stwierdzenia, że ​​interpretacja „klonów” pytania prawdopodobieństwa jest poprawna.

Ta analiza sugeruje, że podstawowym zagadnieniem filozoficznym jest tożsamość : co dzieje się z klonami, które nie zostały przebudzone? Jakie relacje poznawcze i noetyczne zachodzą między klonami? - ale ta dyskusja nie jest kwestią analizy statystycznej; należy na innym forum .

Dzięki za ten genialny post (+1) i rozwiązanie (+1). Ten paradoks już mnie boli.

Właśnie pomyślałem o następującej sytuacji, która nie wymaga wróżek, cudów ani magicznych mikstur. Rzuć uczciwą monetę w poniedziałek w południe. Po „Ogonach” wyślij wiadomość do Alicji i Boba (w taki sposób, aby nie wiedzieli, że ten drugi otrzymał od ciebie wiadomość i że nie mogą się komunikować). Po „Heads” wyślij losowo pocztę do jednego z nich (z prawdopodobieństwem ).$1/2$

Kiedy Alice otrzyma pocztę, jakie jest prawdopodobieństwo, że moneta wylądowała na „Heads”? Prawdopodobieństwo otrzymania litery wynosi , a prawdopodobieństwo, że moneta wylądowała na „Heads” wynosi .1 /$1/2 \times 1/2 + 1/2 = 3/4$$1/3$

Tutaj nie ma paradoksu, ponieważ Alicja nie otrzymuje listu z prawdopodobieństwem , w którym to przypadku wie, że moneta wylądowała na „Głowie”. Fakt, że nie pytamy jej o opinię w tym przypadku, sprawia, że ​​prawdopodobieństwo to wynosi 0 .$1/4$

Jaka jest różnica? Dlaczego Alice miałaby zdobywać informacje, otrzymując pocztę, a SB nie dowie się, że się obudzi?

Przechodząc do bardziej cudownej sytuacji, uśpiliśmy 2 różne SB. Jeśli moneta wyląduje na „Ogonach”, obudzimy oba, a jeśli wyląduje na „Głowach”, obudzimy jedną z nich losowo. Tutaj ponownie każda SB powinna powiedzieć, że prawdopodobieństwo lądowania monety na „Heads” wynosi i znowu nie ma paradoksu, ponieważ istnieje szansy, że SB nie zostanie obudzona.1 /$1/3$$1/4$

Ale ta sytuacja jest bardzo zbliżona do pierwotnego paradoksu, ponieważ usunięcie pamięci (lub klonowanie) jest równoznaczne z posiadaniem dwóch różnych SB. Jestem tutaj z @Douglas Zare tutaj (+1). SB nauczył się czegoś przez przebudzenie. Fakt, że nie jest w stanie wyrazić swojej opinii we wtorek, gdy moneta jest podniesiona do góry, ponieważ śpi, nie usuwa informacji, które budzi.

Moim zdaniem paradoks polega na tym, że „ nauczyła się absolutnie niczego, czego nie znała w niedzielę wieczorem ”, co zostało stwierdzone bez uzasadnienia. Mamy takie wrażenie, ponieważ sytuacje, w których się budzi, są identyczne, ale to tak, jak Alice otrzymująca pocztę: to fakt, że pyta ją o opinię, przekazuje jej informacje.

GŁÓWNA EDYCJA : Po głębokiej refleksji zmieniam zdanie: Śpiąca Królewna niczego się nie nauczyła, a powyższy przykład nie jest dobrym analogiem do jej sytuacji.

Ale tutaj jest równoważny problem, który nie jest paradoksalny. Mógłbym zagrać w następującą grę z Alice i Bobem: potajemnie rzucam monetą i niezależnie stawiam im 1 $, że nie mogą zgadnąć. Ale jeśli moneta wylądowała na „Tails”, zakład jednej z Alicji Boba zostaje anulowany (pieniądze nie zmieniają ręki). Biorąc pod uwagę, że znają zasady, co powinni postawić?

Oczywiście „główki”. Jeśli moneta wyląduje na „głowach”, zyskuje 1 $ , w przeciwnym razie traci średnio 0,5 $ . Czy to znaczy, że wierzą, że moneta ma szansę 2/3 wylądowania na „głowach”? Na pewno nie. Po prostu protokół jest taki, że nie otrzymują takiej samej kwoty za każdą odpowiedź.

Uważam, że Śpiąca Królewna jest w takiej samej sytuacji jak Alice lub Bob. Wydarzenia nie dają jej żadnych informacji o losowaniu , ale jeśli zostanie poproszona o postawienie, jej szanse nie wynoszą 1: 1 z powodu asymetrii w zyskach. Uważam, że to właśnie oznacza @whuber

Odpowiedź Halfera jest poprawna, ale nieinteresująca, ponieważ nie ma związku z sytuacją, w której SB się znajduje. To rozwiązuje paradoks.

„Kiedy SB się budzi, nauczyła się absolutnie niczego, czego nie znała w niedzielę wieczorem”. Jest to błędne, podobnie jak powiedzenie „Albo wygram na loterii, albo nie, więc prawdopodobieństwo wynosi ”. Nauczyła się, że się obudziła. To jest informacja. Teraz powinna wierzyć, że każde możliwe przebudzenie jest równie prawdopodobne, a nie każda moneta.$50\%$

Jeśli jesteś lekarzem, a pacjent wchodzi do twojego gabinetu, nauczyłeś się, że pacjent wszedł do gabinetu lekarskiego, co powinno zmienić twoją ocenę od wcześniejszej. Jeśli wszyscy pójdą do lekarza, ale chora połowa populacji idzie razy częściej niż zdrowa połowa, to kiedy pacjent wejdzie do ciebie, wiedz, że prawdopodobnie jest chory.$100$

Oto kolejna niewielka odmiana. Załóżmy, że niezależnie od wyniku rzutu monetą Śpiąca Królewna obudzi się dwukrotnie. Jeśli jednak są to ogony, ładnie się obudzi dwa razy. Jeśli to są głowy, raz się obudzi i ładnie zrzuci na nią wiadro lodu. Jeśli budzi się w kupie lodu, ma informację, że moneta wyskoczyła do głów. Jeśli dobrze się obudzi, ma informację, że moneta prawdopodobnie nie wyszła z głowy. Nie może mieć nieegenerowanego testu, którego wynik dodatni (lód) mówi, że jej głowy są bardziej prawdopodobne, a wynik ujemny (miły) wskazuje, że głowy są mniej prawdopodobne.

Paradoks polega na zmianie perspektywy między pojedynczym eksperymentem a jego punktem granicznym. Jeśli weźmie się pod uwagę liczbę eksperymentów, można to zrozumieć nawet dokładniej niż „albo / lub” połówek i stron trzecich:

Pojedynczy eksperyment: Halvers mają rację

Jeśli jest jeden eksperyment, są trzy wyniki i musisz tylko obliczyć prawdopodobieństwa z perspektywy przebudzonego:

1. Wyrzucono głowy: 50%
2. Ogony zostały rzucone i to jest moje pierwsze przebudzenie: 25%
3. Ogony zostały rzucone i to jest moje drugie przebudzenie: 25%

Tak więc, w jednym eksperymencie, przy każdym wydarzeniu budzenia, powinieneś założyć 50/50, że jesteś w stanie, w którym rzucono głowami

Dwa eksperymenty: 42% ers ma rację

Teraz wypróbuj dwa eksperymenty:

1. Głowy podrzucono dwukrotnie: 25% (dla obu obu przebudzeń łącznie)
2. Ogony zostały rzucone dwukrotnie: 25% (dla wszystkich czterech przebudzeń łącznie)
3. Głowy następnie ogony i to jest moje pierwsze przebudzenie: 25% / 3
4. Głowy następnie ogony i to jest moje 2. lub 3. przebudzenie: 25% * 2/3
5. Ogony następnie głowy i to moje pierwsze lub drugie przebudzenie: 25% * 2/3
6. Tails następnie Heads i to jest moje trzecie przebudzenie: 25% / 3.

A więc {1, 3, 6} to stany twoich głów z łącznym prawdopodobieństwem (25 + 25/3 + 25/3)%, 41,66%, czyli mniej niż 50%. Jeśli zostaną uruchomione dwa eksperymenty, przy każdym zdarzeniu pobudzającym powinieneś założyć 41,66% szansy, że jesteś w stanie, w którym wyrzucono Głowy

Nieskończone eksperymenty: Trzecie mają rację

Nie zamierzam tutaj robić matematyki, ale jeśli spojrzysz na opcje dwóch eksperymentów, zobaczysz, że # 1 i # 2 prowadzą do połówek, a reszta do trzeciej. Wraz ze wzrostem liczby eksperymentów opcje jazdy w kierunku połówek (wszystkie głowy / wszystkie ogony) zmniejszają się do zera, pozostawiając opcje „trzecie” do przejęcia. Jeśli przeprowadzane są nieskończone eksperymenty, przy każdym zdarzeniu pobudzającym powinieneś założyć 1/3 szansy, że jesteś w stanie, w którym wyrzucono głowy

Wstrzymywanie retorty:

Ale hazard?

Tak, w instancji z pojedynczym eksperymentem powinieneś nadal „ryzykować” do trzeciej. To nie jest niekonsekwencja; to tylko dlatego, że możesz postawić ten sam zakład wiele razy, biorąc pod uwagę określony wynik, i wiedz o tym z góry. (A jeśli nie, mafia tak).

Ok, a może dwa pojedyncze eksperymenty? Duża rozbieżność?

Nie, ponieważ wiedza o tym, czy bierzesz udział w pierwszym czy drugim eksperymencie, zwiększa twoją wiedzę. Spójrzmy na opcje „dwóch eksperymentów” i przefiltruj je według wiedzy, że bierzesz udział w pierwszym eksperymencie.

1. Dotyczy pierwszego przebudzenia (1/2)
2. Dotyczy pierwszych dwóch przebudzeń (2/4)
3. Odpowiedni
4. Nigdy nie dotyczy
5. Dotyczy pierwszego przebudzenia (1/2)
6. Nie dotyczy

Dobra, weźmy te z Heads (1,3,6) pomnóż je, szanse na zastosowanie: 25/2 + 25/3 + 0 = 125/6.

Teraz weź te Tails (2,4,5) i zrób to samo: 25 * 4/2 + 0 + 25 * (2/3) / 2 = 125/6.

Viola, są takie same. Dodane informacje o tym, który eksperyment faktycznie przeprowadzasz, dostosowują szanse na to, co wiesz.

Ale klony !!

Po prostu, w przeciwieństwie do postulatu PO za odpowiedź brzmi, że klonowanie tworzy równoważny eksperyment: klonowanie oraz losowy wybór ma zmienić znajomość experimentee, w ten sam sposób „wiele eksperymentów” zmienia eksperyment. Jeśli są dwa klony, możesz zobaczyć, że prawdopodobieństwa każdego klonu odpowiadają prawdopodobieństwom dwóch eksperymentów . Nieskończone klony są zbieżne z trzecimi. Ale to nie jest ten sam eksperyment i nie jest to ta sama wiedza, jak pojedynczy eksperyment z jednym nieprzypadkowym podmiotem.

Mówisz „losowy jeden z nieskończoności”, a ja mówię o zależności Axiom of Choice

Nie wiem, moja teoria zbiorów nie jest taka świetna. Ale biorąc pod uwagę N mniejszą niż nieskończoność, możesz ustalić sekwencję, która zbiega się od połowy do jednej trzeciej, nieskończony przypadek równy jednej trzeciej będzie albo prawdziwy, albo w najgorszym razie nierozstrzygalny, bez względu na to, jakie przywołasz aksjomaty.

Zmodyfikujmy problem.

Jeśli moneta pojawi się w głowach, SB nigdy się nie obudzi.

Jeśli Tails, SB zostaje przebudzony raz.

Teraz obozy to Halfers i Zeroers. I oczywiście zeroera ma rację.

Lub: Heads -> obudzony raz; Ogony -> obudził się milion razy. Oczywiście, biorąc pod uwagę, że nie śpi, najprawdopodobniej to ogony.

(PS Na temat „nowych informacji” - informacje mogły zostać ZNISZCZONE. A zatem, inne pytanie brzmi: czy straciła informacje, które kiedyś miała?)

„Kiedy SB się budzi, nauczyła się absolutnie niczego, czego nie znała w niedzielę wieczorem”.

To nie jest poprawne, co jest błędem argumentu halfer. Jedną z rzeczy, która sprawia, że ​​trudno się z tym kłócić, jest to, że argument halferowy oparty na tym stwierdzeniu rzadko jest wyrażany bardziej rygorystycznie niż to, co zacytowałem.

Istnieją trzy problemy. Po pierwsze, argument nie definiuje, co oznacza „nowa informacja”. Wydaje się, że oznacza to „Zdarzenie, które pierwotnie miało niezerowe prawdopodobieństwo, nie mogło wystąpić na podstawie dowodów”. Po drugie, nigdy nie wylicza tego, co wiadomo w niedzielę, aby sprawdzić, czy pasuje do tej definicji; i może, jeśli spojrzysz na to poprawnie. Wreszcie, nie ma twierdzenia, które mówi „jeśli nie masz żadnych nowych informacji tego rodzaju, nie możesz zaktualizować”. Jeśli tak, twierdzenie Bayesa wygeneruje aktualizację. Ale błędem jest stwierdzenie, że jeśli nie masz tych nowych informacji, nie możesz ich zaktualizować. Bycie błędnym nie oznacza, że ​​to nieprawda, oznacza to, że nie można wyciągać takich wniosków na podstawie samych dowodów.

W niedzielę wieczorem powiedzmy, że SB rzuca własną wyimaginowaną sześciokątną kostką. Ponieważ jest to wyimaginowane, nie może spojrzeć na wynik. Ale celem jest sprawdzenie, czy pasuje do dnia, w którym nie śpi: liczba parzysta oznacza, że ​​pasuje do poniedziałku, a liczba nieparzysta oznacza wtorek. Ale nie może się równać z obydwoma, co skutecznie odróżnia dwa dni.

SB może teraz (czyli w niedzielę) obliczyć prawdopodobieństwo dla ośmiu możliwych kombinacji {Heads / Tails, Monday / Tuesday, Match / No Match}. Każdy będzie wynosił 1/8. Ale kiedy nie śpi, wie, że {Heads, Tuesday, Match} i {Heads, Tuesday, No Match} nie miały miejsca. Stanowi to „nową informację” o formie, o której argument Halfers nie istnieje, i pozwala SB zaktualizować prawdopodobieństwo, że moneta badacza wylądowała na głowach. Jest 1/3, czy jej wyimaginowana moneta pasuje do rzeczywistego dnia. Ponieważ jest tak samo w obu przypadkach, jest 1/3, czy ona wie, czy istnieje dopasowanie; i faktycznie, bez względu na to, czy rzuca, czy wyobraża sobie, że rzuca kostką.

Ta dodatkowa kostka wydaje się być bardzo trudna do osiągnięcia. W rzeczywistości nie jest to konieczne, ale potrzebujesz innej definicji „nowych informacji”, aby zobaczyć, dlaczego. Aktualizacja może nastąpić za każdym razem, gdy znaczące (tj. Niezależne i niezerowe prawdopodobieństwo) zdarzenia w poprzedniej przestrzeni próbki różnią się od znaczących zdarzeń w tylnej przestrzeni próbki. W ten sposób mianownik współczynnika w twierdzeniu Bayesa nie wynosi 1. Chociaż zwykle dzieje się tak, gdy dowody sprawiają, że niektóre zdarzenia mają zerowe prawdopodobieństwo, może również wystąpić, gdy dowody zmieniają niezależność zdarzeń. Jest to bardzo niekonwencjonalna interpretacja, ale działa, ponieważ Piękno ma więcej niż jedną okazję obserwować wynik. A celem mojej wyobrażonej śmierci, która wyróżniała dni, było przekształcenie systemu w taki, w którym całkowite prawdopodobieństwo wynosiło 1.

W niedzielę SB wie, że P (Przebudź, poniedziałek, głowy) = P (Przebudź, poniedziałek, ogony) = P (Przebudź, wtorek, ogony) = 1/2. Te sumują się do ponad 1/2, ponieważ wydarzenia nie są niezależne na podstawie informacji SB w niedzielę. Ale są niezależne, kiedy nie śpi. Odpowiedź, zgodnie z twierdzeniem Bayesa, brzmi (1/2) / (1/2 + 1/2 + 1/2) = 1/3. Nie ma nic złego w mianowniku większym niż 1; ale wyimaginowany argument monety został zaprojektowany, aby osiągnąć te same rzeczy bez takiego mianownika.

Właśnie się o to potknąłem. Udoskonaliłem niektóre moje myśli od czasu ostatniego postu i pomyślałem, że mogę znaleźć dla nich chętną publiczność.

Po pierwsze, na temat filozofii rozwiązywania takich kontrowersji: Powiedz, że istnieją argumenty A i B. Każdy ma przesłankę, sekwencję dedukcji i wynik; a wyniki różnią się.

Najlepszym sposobem udowodnienia, że ​​jeden argument jest niepoprawny, jest unieważnienie jednego z jego wniosków. Gdyby było to możliwe tutaj, nie byłoby kontrowersji. Innym jest obalenie przesłanki, ale nie można tego zrobić bezpośrednio. Możesz argumentować, dlaczego w to nie wierzysz, ale to niczego nie rozwiąże, chyba że możesz przekonać innych, by przestali w to wierzyć.

Aby pośrednio udowodnić, że przesłanka jest błędna, musisz utworzyć z niej sekwencję dedukcji, która prowadzi do absurdu lub sprzeczności z przesłanką. Błędnym sposobem jest argumentowanie, że przeciwny wynik narusza twoją przesłankę. Oznacza to, że ktoś się myli, ale nie wskazuje, który.

+++++

Założeniem halfer jest „brak nowych informacji”. Ich sekwencja potrąceń jest pusta - nie są potrzebne. Pr (Heads | Awake) = Pr (Heads) = 1/2.

Trzeci (szczególnie Elga) mają dwie przesłanki - Pr (H1 | Przebudź i poniedziałek) = Pr (T1 | Przebudź i poniedziałek) i Pr (T1 | Przebudź i ogony) = Pr (T2 | Przebudź i ogony). Niezaprzeczalna sekwencja odliczeń prowadzi następnie do Pr (Heads | Awake) = 1/3.

Zauważ, że osoby trzecie nigdy nie zakładają, że pojawiły się nowe informacje - ich założenia opierają się na wszelkich istniejących informacjach - „nowych” lub nie - kiedy SB nie śpi. I nigdy nie widziałem, żeby ktoś kłócił się o to, dlaczego pragnienie jest błędne, z wyjątkiem tego, że narusza wynik halferu. Tak więc halfers nie podali żadnego z poprawnych argumentów, które wymieniłem. Po prostu błąd.

Ale możliwe są inne dedukcje z „braku nowych informacji”, z sekwencją dedukcji, które zaczynają się od Pr (Heads | Awake) = 1/2. Jednym z nich jest to, że Pr (Heads | Awake and Monday) = 2/3 i Pr (Tails | Awake and Monday) = 1/3. Jest to sprzeczne z przesłanką pragnienia, ale jak już powiedziałem, nie pomaga to przyczynom przeszkód, ponieważ nadal może to być błędne założenie. Jak na ironię, wynik ten coś dowodzi - że przesłanie halferowe jest sprzeczne. W niedzielę SB mówi Pr (Heads | Monday) = Pr (Tails | Monday), więc dodanie informacji „Awake” pozwoliło jej zaktualizować te prawdopodobieństwa. To nowa informacja.

Udowodniłem więc, że przesłanka z halferami nie może mieć racji. Nie oznacza to, że osoby trzecie mają rację, ale oznacza to, że połowa nie przedstawiła żadnych przeciwnych dowodów.

+++++

Jest inny argument, który wydaje mi się bardziej przekonujący. Nie jest całkowicie oryginalny, ale nie jestem pewien, czy właściwy punkt widzenia został wystarczająco podkreślony. Rozważ odmianę eksperymentu: SB budzi się zawsze w oba dni; zwykle jest w pomieszczeniu pomalowanym na niebiesko, ale we wtorek po głowach jest w pomieszczeniu pomalowanym na czerwono. Co powinna powiedzieć o prawdopodobieństwie Głowy, jeśli obudzi się w niebieskim pokoju?

Nie sądzę, aby ktokolwiek poważnie twierdził, że jest to coś innego niż 1/3. Istnieją trzy sytuacje, które mogą odpowiadać jej bieżącej, wszystkie są jednakowo prawdopodobne i tylko jedna obejmuje głowy.

Istotne jest to, że nie ma różnicy między tą wersją a oryginałem. To, co „wie” - jej „nowe informacje” - to, że nie jest to H2. Nie ma znaczenia, w jaki sposób lub JEŻELI wiedziałaby, że może to być H2, gdyby mógł. Jej zdolność do obserwowania sytuacji, o których wie, że nie mają zastosowania, nie ma znaczenia, jeśli wie, że nie mają zastosowania.

Nie mogę uwierzyć, że halferowe założenie. Opiera się na fakcie - że nie może obserwować H2 - to nie ma znaczenia, ponieważ może i robi, że nie jest to H2.

Mam więc nadzieję, że przedstawiłem przekonujący argument za tym, dlaczego przesłanka „halfer” jest nieważna. Po drodze wiem, że wykazałem, że pragnienie musi być prawidłowe.

Jedna trzecia możliwych przebudzeń to przebudzenie głów, a dwie trzecie możliwych przebudzeń to przebudzenie ogonów. Jednak połowa księżniczek (lub cokolwiek innego) to księżniczki Heads, a połowa księżniczek Tails. Księżniczki Ogonów, indywidualnie i łącznie, przeżywają dwa razy więcej przebudzeń niż księżniczki Głowy.

$H1$$T1$$T2$$P[H1]=0.5$$P[T1]=0.25$$P[T2]=0.25$

$\$1/3$$\$x$$\$(1-x)$$\$(-x)$$\$(1-3x)/2$$\$1/3$

$1/3$

(Z drugiej strony technik, który został przydzielony do pomocy w procesie budzenia, miałby tylko jedną trzecią szansy na przydzielenie się do księżniczki Heads.)

Kiedy budzi się, do jakiego stopnia należy Ci uwierzyć, że wynik rzutu monetą był Heads?

Co rozumiesz przez „ należy ”? Jakie są konsekwencje moich przekonań? W takim eksperymencie nie uwierzyłbym w nic. To pytanie jest oznaczone jako decision-theory, ale sposób, w jaki ten eksperyment jest pomyślany, nie mam motywacji do podjęcia decyzji.

Możemy zmodyfikować eksperyment na różne sposoby, tak że mam ochotę udzielić odpowiedzi. Mogę na przykład zgadywać, czy obudziłem się z powodu „głów” czy „ogonów”, i zarobiłbym cukierki za każdą poprawną odpowiedź, której udzielę. W takim przypadku oczywiście zdecydowałbym się na „ogony”, ponieważ w powtarzanych eksperymentach zarabiałem średnio jeden cukierek na eksperyment: w 50% przypadków podrzuceniem byłoby „ogony”, obudź się dwa razy, a za każdym razem zarobię cukierki. W pozostałych 50% („Heads”) nic bym nie zarobił. Gdybym odpowiedział „Heads”, zarabiałbym tylko pół cukierka na eksperyment, ponieważ dostałbym tylko jedną szansę na odpowiedź i miałbym rację w 50% przypadków. Gdybym sam rzucił uczciwą monetą za odpowiedź, „$3/4$

$3/8$$1/4$$1/4$$1/8$

jak można rozwiązać ten paradoks w sposób rygorystyczny statystycznie? Czy to w ogóle możliwe?

Zdefiniuj „ statystycznie rygorystyczny sposób ”. Pytanie o przekonanie nie ma praktycznego znaczenia. Liczy się tylko działanie .

Pytanie jest dwuznaczne, więc wydaje się, że istnieje tylko paradoks. Pytanie jest postawione w ten sposób:

Kiedy się obudzisz, w jakim stopniu powinieneś wierzyć, że wynikiem rzutu monetą były Głowy?

Co jest mylone z tym pytaniem:

Kiedy jesteście przebudzeni, w jakim stopniu powinniście wierzyć, że Głowy były przyczyną przebudzenia ?

W pierwszym pytaniu prawdopodobieństwo wynosi 1/2. W drugim pytaniu 1/3.

Problem polega na tym, że pierwsze pytanie jest postawione, ale drugie pytanie jest implikowane w kontekście eksperymentu. Ci, którzy podświadomie akceptują implikację, mówią, że jest to 1/3. Ci, którzy czytają pytanie dosłownie, mówią, że jest to 1/2.

Ci, którzy są zdezorientowani, nie są pewni, jakie pytanie zadają!

Naprawdę podoba mi się ten przykład, ale argumentowałbym, że jest jeden punkt, który należy pogodzić z kilkoma uciążliwymi rozrywkami.

Aby uniknąć uciążliwych rozproszeń, jeden z argumentów powinien próbować dostrzec abstrakcyjną, schematyczną reprezentację problemu, która jest wyraźnie ponad uzasadnioną wątpliwość (jako odpowiednia reprezentacja) i którą można zweryfikować (ponownie zmanipulować przez wykwalifikowanych innych) w celu wykazania roszczeń. Jako prosty przykład pomyśl o (abstrakcyjnym matematycznym) prostokącie i twierdzeniu, że można go przekształcić w dwa trójkąty.

Narysuj prostokąt odręczny jako reprezentację prostokąta matematycznego (na twoim rysunku cztery kąty nie dodadzą dokładnie 180 stopni, a sąsiednie linie nie będą dokładnie równe lub proste, ale nie będzie żadnych wątpliwości, że reprezentuje prawdziwy prostokąt ). Teraz manipuluj nim, rysując linię z jednego przeciwnego rogu do drugiego, co każdy inny może zrobić, a otrzymasz reprezentację dwóch trójkątów, których nikt nie miałby wątpliwości. Wszelkie pytania o to mogą być tak nonsensowne, po prostu tak jest.

Próbuję tutaj podkreślić , że jeśli uzyskasz ponad uzasadnioną wątpliwość reprezentację problemu SB jako łączny rozkład prawdopodobieństwa i możesz uzależnić zdarzenie, które wydarzy się w eksperymencie w tej reprezentacji - to stwierdzenie, czy czegokolwiek się nauczysz przez to zdarzenie można wykazać poprzez weryfikowalną manipulację i nie wymagają (filozoficznej) dyskusji ani pytań.

Teraz lepiej przedstawię moją próbę, a czytelnicy będą musieli rozpoznać, czy mi się udało. Wykorzystam drzewo prawdopodobieństwa do przedstawienia wspólnych prawdopodobieństw spania dziennego w eksperymentach (DSIE), wyniku rzutu monetą w poniedziałek (CFOM) i obudzonego, biorąc pod uwagę, że jedno spało w eksperymencie (WGSIE). Narysuję to (właściwie po prostu napiszę tutaj) w kategoriach p (DSIE) * p (CFOM | DSIE) * p (WGSIE | DSIE, CFOM).

Chciałbym nazwać DSIE i CFOM możliwymi niewiadomymi, a WGSIE możliwą znaną, wtedy p (DSIE, CFOM) jest wcześniejszą wersją, a p (WGSIE | DSIE, CFOM) jest modelem danych lub prawdopodobieństwem i zastosowanie ma twierdzenie Bayesa, bez tego oznaczenia jest to tylko prawdopodobieństwo warunkowe, które jest logicznie tym samym.

Teraz wiemy, że p (DSIE = pon) + p (DSIE = wt) = 1 ip (DSIE = wt) =) p (DSIE = pon)

więc p (DSIE = pon) = 2/3 ip (DSIE = wt) = 1/3.

Teraz P (CFOM = H | DSIE = Pon) = 1/2, P (CFOM = T | DSIE = Pon) = 1/2, P (CFOM = T | DSIE = Wt) = 1.

P (WGSIE | DSIE =., CFOM =.) Jest zawsze równe jeden.

Prior jest równy

P (DSIE = pon., CFOM = H) = 2/3 * ½ = 1/3

P (DSIE = Pn, CFOM = T) = 2/3 * ½ = 1/3

P (DSIE = Wt, CFOM = T) = 1/3 * 1 = 1/3

Tak więc marginalna wcześniejsza ocena dla CFOM = 1/3 H i 2/3 T, a zadana później osoba została obudzona podczas snu w eksperymencie - będzie taka sama (ponieważ nie następuje uczenie się) - więc poprzednia wynosi 2/3 T.

OK - gdzie popełniłem błąd? Czy muszę przejrzeć moją teorię prawdopodobieństwa?

Prostym wytłumaczeniem tego byłoby to, że istnieją 3 sposoby na obudzenie śpiącej piękności, z których dwa są z rzutu ogonem. Więc prawdopodobieństwo musi wynosić 1/3 dla głowy za każdym razem, gdy się budzi. Opisałem to w poście na blogu

Główny argument przeciwko „halferowemu” punktowi widzenia jest następujący: w sensie bayesowskim SB zawsze szuka, jakie nowe informacje ma. W rzeczywistości, w chwili, gdy postanowiła wziąć udział w eksperymencie, ma dodatkowe informacje, że kiedy się obudzi, może to być dni. Innymi słowy, brak informacji (wymazanie pamięci) jest tutaj subtelnym dowodem.

Tak wiele pytań zależy od dokładnego znaczenia pytania:

Kiedy się obudzisz, w jakim stopniu powinieneś wierzyć, że wynikiem rzutu monetą były Głowy?

Jeśli interpretujesz to jako „jakie są szanse, że rzucona moneta jest głową”, oczywiście odpowiedź brzmi „połowa szans”.

Ale nie pytasz (w mojej interpretacji) o to, ale „jaka jest szansa, że ​​obecne przebudzenie zostało spowodowane przez Głowy?”. W takim przypadku, oczywiście tylko jedna trzecia przebudzeń jest spowodowana przez Głowy, więc najbardziej prawdopodobną odpowiedzią jest „Ogon”.

To bardzo interesujące pytanie. Odpowiem tak, jak gdybym miał spać pięknem. Uważam, że kluczową kwestią do zrozumienia jest to, że w 100% ufamy eksperymentatorowi.

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

Następnie (3) następuje w ten sam sposób, z tą różnicą, że gdy tylko zostaniesz o tym poinformowany, jest to ostatni raz, kiedy się budzisz, liczba sytuacji, w których możesz znajdować się, spada do 2 (tak jak teraz ogony i po raz pierwszy byłeś przebudzenie jest niemożliwe).

$m$$n$$m≤n$

W szczególności, jeśli moneta to „Głowy”, zostanie obudzona w dniu ...

$\cdots$
$\cdots$
$m$

... a jeśli moneta to „Ogon”, obudzi się…

$\cdots$
$\cdots$
$n$

$m≤n$

$m=1$$n=2$

$$P(Heads)=P(Tails)=1/2.$$ $\ldots$$n$$m$$D_1$$D_2$$\ldots$$D_m$

$D_1$
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_m$$m$

$n$$m$

$D_1$
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_n$$n$

$m+n$$D_1$$D_2$$\ldots$$D_m$

$$P(D_1|H)=P(D_2|H)=\ldots=P(D_m|H) = \frac{1}{m}$$ $D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$ $$P(D_1|T)=P(D_2|T)=\ldots=P(D_n|T) = \frac{1}{n}$$ $D_i$$i$$1≤i≤m$ $$P(D_i\cap H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{m} = \frac {1}{2m}$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$ $m<i≤n$ $$P(D_i∩H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times0=0$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$

$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

$1≤i≤m$

$$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T) = \frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}$$ $m<i≤n$ $$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T)=0+\frac {1}{2n} = \frac {1}{2n}$$

$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

$$\begin{align}P(H|awake)&=P(H|(D_1∪D_2∪...∪D_n))\\ &\\ &=\frac {P(H∩(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac {P((H∩D_1)∪(H∩D_2)∪\ldots∪(H∩D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_m)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_m)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2m}\times m + 0\times(n-m)}{(\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n})\times m + \frac {1}{2n}\times(n-m)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2}+0}{\frac {1}{2}+\frac{m}{2n}+\frac {1}{2}-\frac{m}{2n}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+\frac {1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2} \end{align}$$

Mamy już odpowiedź, ale obliczmy również prawdopodobieństwo „głów” lub „ogonów”, biorąc pod uwagę, że przebudzenie ma miejsce pewnego dnia

$1≤i≤m$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2m}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{n}{m+n}$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2n}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{m}{m+n}$$

$m<i≤n$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{0}{P(D_i)}=0$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac{1}{2n}}{\frac{1}{2n}}=1$$

Wiem, że nie jest to odpowiedź dla tych, którzy wierzą w odpowiedź „1/3”. To tylko proste użycie prawdopodobieństw warunkowych. Dlatego nie wierzę, że ten problem jest niejednoznaczny, a zatem paradoks. Jest to jednak mylące dla czytelnika, ponieważ nie jest jasne, które eksperymenty są losowe, a które możliwe.

Ponieważ śpiąca piękność nie pamięta, ile razy się obudziła, nie patrzymy na prawdopodobieństwo Głowy, biorąc pod uwagę, że obudziła się tylko raz, ale prawdopodobieństwo Głowy, biorąc pod uwagę, że obudziła się przynajmniej raz:

$P(Heads\mid x\geq1) = 1/2$ $P(Heads\mid x=1) = 1/3$

Tak więc odpowiedź wynosi 50% (połowa ma rację) i nie ma paradoksu.

Wydaje się, że ludzie sprawiają, że jest to o wiele bardziej skomplikowane niż jest w rzeczywistości!

Niestatystycznie

W całej swojej genialnej genialności Śpiąca Królewna może przeprowadzić we śnie hipotetyczny eksperyment, który ukształtuje jej przekonania:

import numpy as np

# Take clones of our Sleeping Beauties.
# One type of clones is persistently heads guessing,
# the other persistently guesses tails.

# Keeping score for heads guessing Sleeping Beauty ...
guessed_heads_right = 0

# ... and also for the tails guessing Sleeping Beauty
guessed_tails_right = 0

# Coding the toss outcomes
HEADS = 0
TAILS = 1


# Function to wake up heads guessing Sleeping Beauty
def heads_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == HEADS


# Function to wake up tails guessing Sleeping Beauty
def tails_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == TAILS


# Repeating the tossing and awakenings many times
for i in range(1000):

    # Toss fair coin, result is either HEADS or TAILS
    toss = np.random.randint(0, 2)

    # Waking SBs up first time and count successful guesses
    if heads_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_heads_right += 1
    if tails_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_tails_right += 1

    # If toss was TAILS, wake SBs up second time ...
    if toss == TAILS:

        # ... and counts successful guesses
        if heads_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_heads_right += 1
        if tails_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_tails_right += 1

# Print the raw statistics
print('Guessed HEADS right: {}'.format(guessed_heads_right))
print('Guessed TAILS right: {}'.format(guessed_tails_right))

Wynik:

Guessed HEADS right: 498
Guessed TAILS right: 1004

Więc nasza Śpiąca Królewna uwierzy, że lepiej zgadywać ogony.

I statystycznie?

Powyższy algorytm nie ma a statistically rigorous wayna celu odgadnięcia. Jednak wyraźnie mówi, że w przypadku ogonów może zgadywać dwa razy , więc zgadywanie ogonów jest dwa razy bardziej prawdopodobne. Wynika to z procedury operacyjnej eksperymentu.

Prawdopodobieństwo częstego korzystania

Prawdopodobieństwo częstokroć to koncepcja statystyki oparta na teoriach Fishera, Neymana i (Egona) Pearsona.

$n$$E_{n}$

$E$$Pr(E)\equiv\texttt{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{E_{n}}{N}\right)$

$E$$Pr(E)$$\frac{1}{3}$

A ona wierzy?

Więc kiedy w końcu przybywa tutaj w swoim rozumowaniu, ma statystycznie rygorystyczne podstawy, na których opiera swoje przekonania. Ale jak ostatecznie je ukształtuje, tak naprawdę zależy od jej psychiki.

Właśnie pomyślałem o nowym sposobie wyjaśnienia mojej tezy i co jest nie tak z odpowiedzią 1/2. Przeprowadź dwie wersje eksperymentu w tym samym czasie, używając tej samej monety. Jedna wersja jest taka sama jak oryginalna. W drugim przypadku potrzeba trzech (lub czterech - nie ma znaczenia) ochotników; do każdego przypisana jest inna kombinacja główek i ogonów oraz poniedziałku lub wtorku (kombinacja główek i wtorku jest pomijana, jeśli używasz tylko trzech ochotników). Oznacz je odpowiednio HM, HT, TM i TT (ewentualnie pomijając HT).

Jeśli w ten sposób obudzi się wolontariuszka w drugiej wersji, będzie wiedziała, że ​​równie prawdopodobne jest, że otrzyma oznaczenie HM, TM lub TT. Innymi słowy, prawdopodobieństwo, że została oznaczona jako HM, biorąc pod uwagę, że nie śpi, wynosi 1/3. Ponieważ rzut monetą i dzień odpowiadają temu zadaniu, może w prosty sposób wydedukować, że P (Heads | Awake) = 1/3.

Wolontariusz w pierwszej wersji mógł zostać obudzony więcej niż raz. Ale ponieważ „dzisiaj” jest tylko jednym z tych dwóch możliwych dni, kiedy nie śpi, ma dokładnie te same informacje, co przebudzony wolontariusz w drugiej wersji. Wie, że jej obecna sytuacja może odpowiadać etykiecie stosowanej do jednego TYLKO JEDNEGO z innych wolontariuszy. Oznacza to, że może powiedzieć sobie „albo ochotnik oznaczony jako HM, albo HT, albo TT też nie śpi. Ponieważ każdy jest równie prawdopodobny, istnieje 1/3 szansy, że to HM, a więc 1/3 szansy, że wylądowała moneta ogony ”.

Powodem, dla którego ludzie popełniają błąd, jest to, że mylą „budzi się kiedyś podczas eksperymentu” z „budzi się teraz”. 1/2 odpowiedź pochodzi z oryginalnego SB mówiąc do siebie „albo HM jest tylko inny obudzić ochotnik TERAZ , albo TM i TT są OBA obudzić kiedyś podczas eksperymentu . Ponieważ każda sytuacja jest równie prawdopodobne, istnieje szansa 1/2 jest HM, więc szansa, że ​​moneta wyląduje, wynosi 1/2. ” To błąd, ponieważ tylko jeden inny wolontariusz nie śpi.

Zamiast udzielać statystycznie rygorystycznej odpowiedzi, chciałbym nieco zmodyfikować pytanie w taki sposób, aby przekonać ludzi, których intuicja prowadzi ich do połowy.

Niektórzy badacze chcą cię uśpić. W zależności od tajnego rzutu uczciwej monety obudzą cię raz (Heads) lub dziewięćset dziewięćdziesiąt dziewięć razy (Tails). Po każdym przebudzeniu uśpią cię z lekiem, który sprawi, że zapomnisz o przebudzeniu.

Kiedy się obudzisz, jaki masz stopień przekonania, że ​​wynikiem rzutu monetą były Głowy?

Zgodnie z tą samą logiką, co poprzednio, mogą istnieć dwa obozy -

• Halfers - rzut monetą był sprawiedliwy, a SB wie o tym, więc powinna wierzyć, że istnieje połowa szans na trafienie głową.
• Tysiące - gdyby eksperyment powtórzono wiele razy, rzut monetą byłby tylko jeden na tysiąc razy, więc powinna wierzyć, że szansa na trafienie wynosi jeden na tysiąc.

Uważam, że pewne zamieszanie związane z pierwotnie sformułowanym pytaniem powstaje po prostu dlatego, że nie ma dużej różnicy między połową a jedną trzecią. Ludzie naturalnie myślą o prawdopodobieństwach jako nieco rozmytych pojęciach (szczególnie gdy prawdopodobieństwo jest raczej stopniem przekonania niż częstotliwością) i trudno jest wyczuć różnicę między stopniami przekonania o półtora trzeciego.

Jednak różnica między pół a jedną na tysiąc jest znacznie bardziej odczuwalna. Twierdzę, że intuicyjnie będzie oczywiste dla większej liczby osób, że odpowiedź na ten problem to jedna na tysiąc, a nie połowa. Byłbym zainteresowany, aby „halfer” bronił swojego argumentu, używając tej wersji problemu.

Gdyby śpiąca piękność musiała powiedzieć albo głową, albo ogonem - zminimalizowałaby swoją oczekiwaną funkcję utraty 0-1 (ocenianą każdego dnia), podnosząc ogony. Gdyby jednak funkcja utraty 0-1 była oceniana tylko w każdej próbie, wówczas zarówno główki, jak i ogony byłyby równie dobre.

Trzecie wygrywają

Zamiast monety pozwala założyć uczciwą kostkę:

on friday, the sleeping beauty will sleep:
if the dice == 1 , they will awake her on saturday;
if the dice == 2 , they will awake her on saturday and sunday;
if the dice == 3 , they will awake her on saturday, sunday and monday;
if the dice == 4 , they will awake her on saturday, sunday, monday and tuesday;
if the dice == 5 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday and wednesday;
if the dice == 6 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday, wednesday and thursday;

Za każdym razem, gdy pytają ją: „w jakim stopniu powinieneś wierzyć, że wynik kości wynosił 1?”.

Połówki powiedzą, że prawdopodobieństwo kości = 1 wynosi 1/6 Trzecie powie, że prawdopodobieństwo kości = 1 wynosi 1/21

Ale symulacja wyraźnie rozwiązuje problem:

days <- c("saturday", "sunday", "monday", "tuesday", "wednesday", "thursday")

#she will answer the dice was 1 every time 
#the trick here is that this is not absolutely random because every day implies the days before it. 


number_of_correct_answer <- 0
number_of_days <- 0
for (i in 1:1000){
dice <- sample(1:6,1)
for (item in days[1:dice]){
        number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (dice == 1)
        number_of_days <- number_of_days + 1
}
}
number_of_correct_answer/number_of_days
#equals 1/21
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment has more than one day we will get 1/6
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/6

Możemy również zasymulować problem rzucania

days <- c("monday", "tuesday")
number_of_correct_answer <- 0
number_of_tosses <- 0
for (i in 1:1000){
        toss <- sample(1:2,1)
        for (item in days[1:toss]){
                number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (toss == 1)
                number_of_tosses <- number_of_tosses + 1
        }
}
number_of_correct_answer/number_of_tosses
#equals 1/3
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment can has more than one toss we will get 1/2
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/2

Pozorny paradoks wynika z fałszywej przesłanki, że prawdopodobieństwo jest absolutne. W rzeczywistości prawdopodobieństwa są względne w stosunku do definicji liczonych zdarzeń.

$P(Letter,Time|Audio)$$P(Letter|Time,Audio)$$P(Letter,Time)$$P(Letter|Time)$

Zarówno P (głowy) = 1/2 wrt światy (lub narodziny), jak i P (głowy) = 1/3 wrt instanty (lub przebudzenia) są prawdziwe, ale po uśpieniu Śpiąca Królewna może obliczyć prawdopodobieństwa tylko w odniesieniu do instancji ponieważ wie, że jej pamięć się wymazuje. (Przed snem obliczałaby to w odniesieniu do światów.)

Myślę, że błąd pochodzi od „osób trzecich”, a moim powodem jest to, że „przebudzenia” nie są równie prawdopodobne - jeśli się obudzisz, bardziej prawdopodobne jest, że „obudzisz się po raz pierwszy” - 75 % szansa w rzeczywistości.

Oznacza to, że nie można liczyć równomiernie „3 wyników” (heads1, tails1, tails2).

$AA=A$$A$$Pr(A|I)=1$$I\implies A$$IA=I$$p(H|AI)=p(H|I)=0.5$

Matematyka jest wyraźnie pokazana w odpowiedzi udzielonej przez @ pit847, więc nie powtórzę jej w mojej.

$1$$g$$U$

$$E(U|h)=0.5\times (g-1) + 0.5\times (-2) = \frac{g - 3}{2}$$ $$E(U|t)=0.5\times (-1) + 0.5 \times (2g-2)=\frac{2g - 3}{2}$$

$\frac{g}{2}$$g=\frac{3}{2}=1.5$

$E(U|h)=\frac{g-5}{3}$$E(U|t)=\frac{4g-5}{3}$$g=\frac{5}{4}=1.25$

$g=1.4$$498$$502$$1004 \times 1.4 = 1405.6$$1502$$97.6$

Kiedy Budzi się Śpiąca Królewna, wie:

$r$$r = \mathrm{H}$$r = \mathrm{T}$

$\mathcal{I}$

$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I})?$

$w$$\mathcal{I}$

$$(r = \mathrm{H} \vee r = \mathrm{T}) \wedge (r = \mathrm{H} \implies w = 1) \wedge (r = \mathrm{T} \implies (w = 1 \vee w = 2))$$

$$(r = \mathrm{H} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 2)$$

$\frac{1}{3}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{3}$

---

PS

$\mathrm{H}$$\mathrm{T}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{2}$

Moim zdaniem jednak stwierdzenia tego typu są technicznie niedopuszczalna, gdyż prawdopodobieństwo jest czymś, co musi być wypracowane od poprzednika i konsekwencji propozycji. Wyrażenie „sekretne rzucenie uczciwej monety” rodzi pytanie: skąd Śpiąca Królewna wie, że jest sprawiedliwa? Jakie ma informacje, które to potwierdzają? Zwykle rzetelność idealnej monety wynika z faktu, że istnieją dwie możliwości równoważne pod względem informacyjnym. Kiedy pomieszanie monet zostanie zmieszane ze współczynnikiem przebudzenia, otrzymamy trzy możliwości, które są równoważne pod względem informacyjnym. Zasadniczo jest to idealna trójstronna moneta idealna, więc dochodzimy do powyższego rozwiązania.

Późno na imprezę, wiem.

To pytanie jest bardzo podobne do problemu Monty Hall, w którym musisz zgadnąć, za którą z 3 drzwi jest nagroda. Powiedzmy, że wybrałeś Drzwi nr 1. Następnie prezenter (który wie, gdzie jest nagroda) usuwa drzwi nr 3 z gry i pyta, czy chcesz zmienić przypuszczenie z drzwi nr 1 na drzwi nr 2, czy też pozostać przy początkowym zgadywaniu. Historia jest taka, że ​​zawsze powinieneś się zmieniać, ponieważ istnieje większe prawdopodobieństwo, że nagroda będzie w drzwiach nr 2. W tym momencie ludzie zwykle są zdezorientowani i wskazują, że prawdopodobieństwo, że nagroda będzie w obu drzwiach, nadal wynosi 1/3. Ale nie o to chodzi. Nie chodzi o to, co początkowe prawdopodobieństwo było, prawdziwe pytanie brzmi: jakie są szanse, że twoje pierwsze przypuszczenie było prawidłowe, a jakie są szanse, że pomyliłeś się. W takim przypadku powinieneś przełączyć się, ponieważ szanse, że się pomylisz, wynoszą 2/3.

Podobnie jak w przypadku problemu Monty Hall, sprawy stają się niesamowicie wyraźniejsze, jeśli zamienimy 3 drzwi w milion drzwi. Jeśli wybierzesz milion drzwi, a wybierzesz Drzwi nr 1, a prezenter zamyka drzwi od 3 do 1 miliona, pozostawiając w grze tylko drzwi nr 1 i drzwi nr 2, czy przełączysz? Oczywiście że tak! Szanse na to, że prawidłowo wybrałeś Drzwi nr 1, to 1 na milion. Prawdopodobnie nie.

Innymi słowy, błąd w rozumowaniu wynika z przekonania, że ​​prawdopodobieństwo wykonania akcji jest równe prawdopodobieństwu wykonania akcji, gdy kontekst między nimi nie czyni ich równoważnymi stwierdzeniami. Odmiennie sformułowane, w zależności od kontekstu i okoliczności problemu, prawdopodobieństwo „prawidłowego wyboru” może nie być takie samo, jak prawdopodobieństwo „prawidłowego wyboru”.

Podobnie jest z problemem śpiącego piękna. Jeśli nie obudzono cię 2 razy w przypadku ogonów, ale 1 milion razy, sensowniej jest powiedzieć „to obecne przebudzenie, którego teraz doświadczam, jest o wiele bardziej prawdopodobne, że jest jednym z tych w środku seria milionów przebudzeń z rzutu Ogonami, niż ja właśnie wpadłem na to pojedyncze przebudzenie, które nastąpiło w wyniku Głowy ". Argument, że jest to uczciwa moneta, nie ma tu nic wspólnego z niczym. Rzetelna moneta mówi tylko, jakie są szanse na „wyrzucenie” głów, tj. Prawdopodobieństwo, że obudzisz się raz w porównaniu do miliona razy, gdy rzucisz tę monetę po raz pierwszy. Więc jeśli poprosisz SB przed eksperymentem, aby zdecydował, czy będzie spała raz czy milion razy przed każdym rzutem, jej prawdopodobieństwo „prawidłowego wyboru” rzeczywiście wynosi 50%.

Ale od tego momentu, zakładając kolejne eksperymenty i fakt, że SB nie jest poinformowana, w którym ekspercie jest obecnie, w żadnym momencie, w którym się obudziła, prawdopodobieństwo „wyrzucenia” głów jest znacznie mniejsze, ponieważ jest bardziej prawdopodobne, że obudzony z jednego z miliona przebudzeń niż z jednego.

Zauważ, że implikuje to kolejne eksperymenty, zgodnie ze sformułowaniem problemu. Jeśli SB od początku eksperymentu zapewnia się, że będzie tylko jeden eksperyment (tj. Tylko jeden kozioł), wówczas jej wiara sięga 50%, ponieważ w dowolnym momencie fakt, że mogła się obudzić wiele razy wcześniej staje się nieistotne. Innymi słowy, w tym kontekście prawdopodobieństwo „prawidłowego wyboru” i „prawidłowego wyboru” ponownie staje się równoważne.

Należy również pamiętać, że wszelkie przeformułowania za pomocą „zakładów” to także różne pytania zmieniające całkowicie kontekst. Np. Nawet w jednym eksperymencie, jeśli miałbyś zarabiać pieniądze za każdym razem, gdy poprawnie zgadywałeś, najwyraźniej sięgałeś po ogony; ale dzieje się tak dlatego, że oczekiwana nagroda jest wyższa, a nie dlatego, że prawdopodobieństwo ogonów różni się od głów. Dlatego wszelkie „rozwiązania”, które wprowadzają zakłady, są ważne tylko w takim stopniu, w jakim powodują zawalenie problemu do bardzo szczególnej interpretacji.

Zanim SB pójdzie spać, wierzy, że szansa na to, że kolejną monetą będzie główka, wynosi 1/2. Po przebudzeniu uważa, że ​​szansa, że ​​ostatnim rzutem monetą były głowy, wynosi 1/3. Te wydarzenia nie są tym samym, ponieważ nie ma żadnej relacji jeden do jednego między przebudzeniem a rzutami monetą.

Co powiesz na następujące rozwiązanie:

Pytanie polega na ocenie prawdopodobieństwa, że ​​moneta zbliży się do „głów”. Tak więc, jeśli Śpiąca Królewna została obudzona w poniedziałek i wiedziała, który jest dzień, rzeczywiście musiałaby uwierzyć, że prawdopodobieństwo „głów” wynosi 50%.

Gdyby jednak obudziła ją we wtorek i wiedziała, który jest dzień, prawdopodobieństwo, że monety nadejdą głów, wyniósłoby zero.

Zatem znajomość dnia, w którym jest godzina, dodaje kluczowych informacji zmieniających prawdopodobieństwo „głów”.

Śpiąca królewna nie wie jednak, który jest dzień, kiedy się budzi. Musimy zatem określić prawdopodobieństwo przebudzenia odpowiednio w poniedziałek lub wtorek.

Po pierwsze, rozważmy prawdopodobieństwo, że będzie wtorek. Kiedy eksperymentator rzuca monetą, wynik decyduje, który scenariusz eksperymentu będzie kontynuował. Jeśli to głowa, SB budzi się dopiero w poniedziałek. Jeśli to ogony, budzi się zarówno w poniedziałek, jak i wtorek. Prawdopodobieństwa eksperymentu na jednej z tych ścieżek wynoszą oczywiście 50/50. Teraz, jeśli jesteśmy w gałęzi „dwóch przebudzeń”, prawdopodobieństwo, że będzie to wtorek lub poniedziałek, gdy SB się obudzi, wynosi 50%. Możemy zatem obliczyć całkowite prawdopodobieństwo, że będzie to wtorek, gdy SB się obudzi, jako 0,5 * 0,5 = 0,25. Oczywiście zatem prawdopodobieństwo, że będzie w poniedziałek, kiedy się obudzi, wynosi 1-0,25 = 0,75

Gdyby SB wiedziała, że ​​obudziła się we wtorek, prawdopodobieństwo pojawienia się monety „głów” wyniósłoby zero.

Gdyby jednak wiedziała, że ​​obudziła się w poniedziałek, prawdopodobieństwo pojawienia się monety „głów” wyniósłoby 50%. Ale wiemy, że prawdopodobieństwo, że będzie w poniedziałek, wynosi 0,75. Tak więc, aby dowiedzieć się, jakie jest całkowite prawdopodobieństwo pojawienia się „głów” monety, musimy pomnożyć 0,75 * 0,5 = 0,375

Odpowiedź brzmi zatem: prawdopodobieństwo, że moneta wyszła „główkami”, wynosi 37,5%

Powyższe jest tylko sugestią. Proszę wskazać, jeśli widzicie wady w moim rozumowaniu.