Przykłady statystyki, która nie jest niezależna od rozkładu próbki?

To jest definicja statystyki na wikipedii

Bardziej formalnie, teoria statystyczna definiuje statystykę jako funkcję próbki, w której sama funkcja jest niezależna od rozkładu próbki; to znaczy funkcję można określić przed realizacją danych. Pojęcie statystyki jest używane zarówno dla funkcji, jak i dla wartości funkcji dla danej próbki.

Myślę, że rozumiem większość tej definicji, jednak część - gdzie funkcja jest niezależna od rozkładu próbki, nie byłam w stanie rozwiązać.

Moje dotychczasowe rozumienie statystyki

próbka jest zestaw realizacji z pewnej liczby niezależnych identycznie rozmieszczone (IID) zmiennych losowych z rozkładem F (10 realizacje rolki 20, kostkami targowych, 100 realizacjach 5 rolek 6-kostkami równych, losowo losuje 100 osób z populacji).

Funkcja, której domeną jest ten zestaw i której zakres jest liczbami rzeczywistymi (a może może wytwarzać inne rzeczy, takie jak wektor lub inny obiekt matematyczny ...) byłby uważany za statystykę .

Kiedy myślę o przykładach, średnia, mediana i wariancja mają w tym kontekście sens. Są funkcją zestawu realizacji (pomiary ciśnienia krwi z losowej próbki). Widzę też, jak model regresji liniowej można uznać za statystykę $y_{i} = \alpha + \beta \cdot x_{i}$ - czy to nie jest tylko funkcja na zbiorze realizacji?

Gdzie jestem zdezorientowany

Zakładając, że moje rozumienie z góry jest prawidłowe, nie byłem w stanie zrozumieć, gdzie funkcja może nie być niezależna od rozkładu próbki. Próbowałem wymyślić przykład, który miałby sens, ale bez powodzenia. Wszelkie informacje będą mile widziane!

Ta definicja jest dość niezręcznym sposobem jej sformułowania. „Statystyka” to dowolna funkcja obserwowalnych wartości. Ta definicja oznacza jedynie, że statystyka jest funkcją tylko obserwowalnych wartości, a nie funkcją rozkładu lub któregokolwiek z jej parametrów. Na przykład, jeśli $X_1, X_2, ..., X_n \sim \text{N}(\mu, 1)$ , a następnie statystyka będzie żadnych funkcji $T(X_1,...,X_n)$ a funkcja $H(X_1,....,X_n, \mu)$ nie byłby statystyką, ponieważ zależy od$\mu$ . Oto kilka dalszych przykładów:

Każda statystyka jest funkcją tylko obserwowalnych wartości, a nie ich rozkładu lub jego parametrów. Nie ma więc przykładów statystyki, która jest funkcją rozkładu lub jego parametrów (żadna taka funkcja nie byłaby statystyką). Należy jednak zauważyć, że rozkład statystyki (w przeciwieństwie do samej statystyki) będzie ogólnie zależeć od leżącego u podstaw rozkładu wartości. (Dotyczy to wszystkich statystyk innych niż statystyki pomocnicze ).

A co z funkcją, w której parametry są znane? W komentarzach poniżej Alecos zadaje doskonałe pytanie uzupełniające. Co z funkcją, która korzysta ze stałej hipotetycznej wartości parametru? Na przykład, co ze statystyką $\sqrt{n} (\bar{x} - \mu)$gdzie$\mu = \mu_0$przyjmuje się równa znanej wartości hipotetyczny$\mu_0 \in \mathbb{R}$. Tutaj funkcja jest rzeczywiście statystyką, o ile jest zdefiniowana w odpowiednio ograniczonej dziedzinie. Tak więc funkcja$H_0: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$o$H_0(x_1,...,x_n) = \sqrt{n} (\bar{x} - \mu_0)$będzie statystykę, lecz funkcja$H: \mathbb{R}^{n+1} \rightarrow \mathbb{R}$o$H(x_1,...,x_n, \mu) = \sqrt{n} (\bar{x} - \mu)$toniebyć statystyczny.

Interpretuję to jako powiedzenie, że powinieneś zdecydować, zanim zobaczysz dane, jaką statystykę zamierzasz obliczyć. Na przykład, jeśli zamierzasz usunąć wartości odstające, powinieneś zdecydować, zanim zobaczysz dane, co stanowi „wartość odstającą”. Jeśli zdecydujesz się po wyświetleniu danych, twoja funkcja zależy od danych.