Prawdopodobieństwo

9

Załóżmy, że i są niezależnymi losowymi zmiennymi geometrycznymi o parametrze . Jakie jest prawdopodobieństwo, że ? $X_1$ $X_2$ $p$ $X_1 \geq X_2$

Jestem zdezorientowany tym pytaniem, ponieważ nie powiedziano nam nic o i poza tym, że są geometryczne. Czy nie byłoby to ponieważ i mogą być czymkolwiek w tym zakresie? $X_1$ $X_2$ $50\%$ $X_1$ $X_2$

EDYCJA: Nowa próba

$P(X1 ≥ X2) = P(X1 > X2) + P(X1 = X2)$

$P(X1 = X2)$ = = $\sum_{x}$ $(1-p)^{x-1}p(1-p)^{x-1}p$ $\frac{p}{2-p}$

$P(X1 > X2)$ = i $P(X1 < X2)$ $P(X1 < X2) + P(X1 > X2) + P(X1 = X2) = 1$

Dlatego = = Dodawanie do tego, dostaję = $P(X1 > X2)$ $\frac{1-P(X1 = X2)}{2}$ $\frac{1-p}{2-p}$
$P(X1 = X2)=\frac{p}{2-p}$ $P(X1 ≥ X2)$ $\frac{1}{2-p}$

Czy to jest poprawne?

self-study random-variable geometric-distribution

— IrCa
źródło

3

Dodaj tag „samokształcenie”.

— StubbornAtom

1

Właściwie bo X1i X2są zmienne dyskretne równość sprawia, że rzeczy nieco mniej oczywiste.

— usεr11852

13

Nie może być ponieważ $50\%$ $P(X_1=X_2)>0$

Jedno podejście:

Rozważ trzy zdarzenia i , które dzielą przestrzeń próbki. $P(X_1>X_2), P(X_2>X_1)$ $P(X_1=X_2)$

Istnieje oczywisty związek między pierwszymi dwoma. Napisz wyrażenie dla trzeciego i uprość. Stąd rozwiąż pytanie.

— Glen_b - Przywróć Monikę
źródło

Zredagowałem, mój post z nową odpowiedzią. Czy możesz rzucić okiem i sprawdzić, czy to prawda?

— IrCa

1

Tak, twoje odpowiedzi wyglądają poprawnie. Alternatywną metodą (przy użyciu podobnego pomysłu) byłoby zwrócenie uwagi, że (ponownie, wykorzystując symetrię / wymienność i ).

P (X_{1} \geq X_{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} P (X_{1} = X_{2})

$P(X_1\geq X_2)=\frac12 + \frac12 P(X_1=X_2)$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— Glen_b

6

Twoja odpowiedź, zgodnie z sugestią Glen, jest poprawna. Innym, mniej eleganckim sposobem jest po prostu warunek:

\begin{aligned} Pr {X_{1} \geq X_{2}} & = \sum_{k = 0}^{\infty} Pr {X_{1} \geq X_{2} ∣ X_{2} = k} Pr {X_{2} = k} \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{ℓ = k}^{\infty} Pr {X_{1} = ℓ} Pr {X_{2} = k} . \end{aligned}

$\begin{align} \Pr\{X_1\geq X_2\} &= \sum_{k=0}^\infty \Pr\{X_1\geq X_2\mid X_2=k\} \Pr\{X_2=k\} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \sum_{\ell=k}^\infty \Pr\{X_1=\ell\}\Pr\{X_2=k\}. \end{align}$

Otrzymasz taki sam , po obsłudze dwóch serii geometrycznych. Droga Glen jest lepsza. $1/(2-p)$

— Zen
źródło

4

Uwaga - myślę, że Twoja droga jest lepsza w przypadku nowych problemów. Ponieważ opiera się na pierwszych zasadach. Trick / intuiton z odpowiedzi glen_b zwykle pojawia się po rozwiązaniu problemu na swój sposób

— probabilityislogic

3

@probabilityislogic Podzielam twój entuzjazm dla pochodnych z „pierwszych zasad”. Jednak dla współczesnego matematyka poszukiwanie i wykorzystywanie symetrii jest jeszcze bardziej fundamentalne niż pierwsze zasady (definicje), do których się odwołujesz: możemy to nazwać metaprincypą matematyki. To znacznie więcej niż zwykła „sztuczka”.

— whuber